運用“弦長公式”優(yōu)化解題策略

◇　河北　李文惠

?

通法研究

運用“弦長公式”優(yōu)化解題策略

◇河北李文惠

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一,它一直扮演著讓學(xué)生“談虎色變”的角色,尤其是解答題的第2問或第3問,許多同學(xué)對此倍感困難乃至無從下筆．由于橢圓、雙曲線、拋物線3者之間有許多共同的性質(zhì),而這些共性也常常成為考題命制的背景和源泉，因此,在平時的解題訓(xùn)練中,同學(xué)們一定要有意識地培養(yǎng)自己解題反思的習(xí)慣、發(fā)展變式拓展的思維,逐漸提高解決問題的能力和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在解圓錐曲線綜合問題時,同學(xué)們常遇到這種情況:感覺方法是對的,但最后為什么算不下去?究其原因:解題思維沒有做到合理的優(yōu)化.

(1) 求橢圓方程;

(2) 斜率為k的直線l過點F,且與橢圓交于A、B2點,P為直線x=3上的一點,若△ABP為等邊三角形,求直線l的方程.

幾何問題代數(shù)化是處理解析幾何問題的常用策略,解題中既可以將幾何問題直接代數(shù)化,也可先把幾何問題利用幾何方法進行適度簡化,再代數(shù)化.通常前者思維量小，但計算量大;后者計算量小，但思維量大．

圖1

代數(shù)化的主要途徑是:設(shè)出直線與橢圓的2個交點坐標(biāo),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,代入消元得含x或y的一元二次方程,由直線與橢圓有2個交點,則一元二次方程有2個實根,即判別式大于0,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得2交點的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))之和、積與直線斜率之間的關(guān)系．再根據(jù)題意結(jié)合平面幾何圖形的相關(guān)性質(zhì),列出關(guān)系式求解即可.

對于第(2)問部分同學(xué)的解題思路是:

設(shè)AB的中點為M(x0,y0)，可得

也有同學(xué)想到利用等邊三角形的性質(zhì)

當(dāng)然從解題思維來看第2種思路明顯要優(yōu)于第1種思路,但為何仍無法求解呢?在第2種思維的基礎(chǔ)上能否將其進一步優(yōu)化?

思維受阻的原因是受到弦長公式中“弦長”二字的局限．提到弦長公式,我們主觀上一直認(rèn)為是直線被曲線所截的兩點A、B間的距離,其實則不然,對于一條直線上任意不重合的2個點之間的距離,都可以利用此公式求．

圓錐曲線的運算問題不僅涉及圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì),還可以與函數(shù)、方程、不等式、三角、平面向量等知識交會,綜合性強,能力要求高,成為歷年高考格外關(guān)注的熱點．這就要求我們在處理問題時既要“大處著眼”,即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想,又要“小處著手”,即在細(xì)節(jié)上能熟練運用各種數(shù)學(xué)方法與技巧．因此掌握一些簡化圓錐曲線運算的策略,對優(yōu)化解題過程、提高運算效率大有裨益．

通過上述分析,筆者建議同學(xué)們在解答圓錐曲線問題時可從以下幾方面來著手: 1)熟悉常見模型; 2)熟練掌握圓錐曲線問題中常見的基本方法和基本技巧; 3)認(rèn)真審題,理清題中的基本關(guān)系和內(nèi)在結(jié)構(gòu); 4)善于發(fā)現(xiàn)利用; 5)加強代數(shù)運算、變形能力; 6)盡量使用原始數(shù)據(jù); 7)增強自信心.

在解題時若能適當(dāng)?shù)剡\用上述策略，對優(yōu)化解題過程、簡化圓錐曲線運算起著很大的作用，從而使解題過程更加優(yōu)美、簡潔.

(作者單位：河北省灤平縣第一中學(xué))