基于delta波包疊加的時(shí)間域深度偏移

石秀林, 孫建國, 孫輝, 劉明忱, 劉志強(qiáng)

吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長春　130026

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基于delta波包疊加的時(shí)間域深度偏移

石秀林, 孫建國*, 孫輝, 劉明忱, 劉志強(qiáng)

吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長春130026

摘要delta波包可由高斯波束經(jīng)傅里葉逆變換得到，是高斯波束在時(shí)空域的表達(dá).它最早出現(xiàn)在合成理論地震圖的研究中，本文將其應(yīng)用于偏移領(lǐng)域.通過delta波包疊加表達(dá)時(shí)間域格林函數(shù)，可將高斯波束偏移由頻率域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域，再結(jié)合Rayleigh積分和激勵(lì)時(shí)間成像條件，本文給出了基于delta波包疊加的深度偏移算法.該偏移算法可在時(shí)間域直接計(jì)算，但因包含褶積運(yùn)算，成像時(shí)將耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間.針對(duì)這一問題，本文提出了將褶積簡化為乘積的近似公式.近似后的偏移算法，不僅保留了高斯波束偏移的優(yōu)點(diǎn)，而且計(jì)算效率得到顯著提升.文中通過兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了上述結(jié)論.

關(guān)鍵詞delta波包； 高斯波束； 褶積運(yùn)算； 數(shù)值近似； 時(shí)間域深度偏移

1引言

20世紀(jì)90年代，Hill(1990)將高斯波束應(yīng)用于偏移成像，提出了基于傾斜疊加的高斯波束偏移方法.該偏移方法通過τ -p變換將波場分解為沿不同方向傳播的平面波，經(jīng)高斯波束傳播后，在目標(biāo)區(qū)域疊加成像.Hill的高斯波束偏移算法不僅計(jì)算效率高，并且具有可處理多走時(shí)，計(jì)算焦散區(qū)振幅等優(yōu)點(diǎn).近些年來，許多勘探地震學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究和改進(jìn)(Hill,2001; Nowack et al.,2003; Albertin et al.,2004; Gray,2005; Gray and Bleistein,2009; 岳玉波,2011).但我們同時(shí)注意到，若利用高斯波束表達(dá)點(diǎn)源波場的格林函數(shù)，則無需τ -p變換，就可進(jìn)行偏移計(jì)算.基于此種思路，Popov等(2010)提出了另一種嚴(yán)格遵守Kirchhoff型積分理論的高斯波束偏移算法.它不用進(jìn)行Hill(2001)和Gray(2005)等人提出的最陡下降近似，理論上要優(yōu)于Hill的算法，但缺點(diǎn)是耗費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間(孫建國，2012).

基于delta波包的偏移算法可在時(shí)間域直接計(jì)算，并保留了高斯波束偏移的諸多優(yōu)點(diǎn)，如可計(jì)算多走時(shí)、計(jì)算焦散區(qū)振幅等，但因包含褶積運(yùn)算，成像時(shí)將耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間.針對(duì)這一問題，本文根據(jù)褶積算子性質(zhì)，通過泰勒函數(shù)展開，將褶積運(yùn)算簡化為乘積運(yùn)算.理論上，虛部越小，誤差越小，近似公式越準(zhǔn)確.相反，虛部越大，誤差越大.但當(dāng)虛部變大時(shí)，由于delta波包的振幅衰減明顯，誤差對(duì)于疊加結(jié)果的影響變小.所以在疊加充分區(qū)域，可近似認(rèn)為成像結(jié)果是準(zhǔn)確的.在疊加不充分區(qū)域，近似誤差可能影響成像結(jié)果.近似偏移算法，幾乎不需褶積運(yùn)算(僅需對(duì)地震記錄的時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行一次Hilbert變換)，計(jì)算時(shí)間僅為近似前的0.2～0.25倍，計(jì)算效率得到了顯著提升.本文最后通過Marmousi和Sigsbee2a兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了新偏移算法的成像效果.

2基本原理

2.1延拓波場

假設(shè)S代表地表，xs=(xs,ys,zs)為震源，xg=(xg,yg,zg)為地表檢波器的位置，U(xg,t;xs)為檢波器xg接受到由震源xs引起的地震反射波場.x′=(x′,y′,z′)為地下成像點(diǎn).根據(jù)第一種Rayleigh積分，成像點(diǎn)x處的延拓波場U(x,x′;t)滿足表達(dá)式(BornandWolf，1999；孫建國，2012)

(1)

其中，G(x,x′;t)為檢波器xg到成像點(diǎn)x′的時(shí)間域格林函數(shù).?/?n代表沿地表外法線方向求導(dǎo).角標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛.

在高斯波束求和方法中，需要先計(jì)算頻率域格林函數(shù)，再經(jīng)傅里葉逆變換得時(shí)間域格林函數(shù).其中頻率域格林函數(shù)GGB(x,x′;ω)滿足表達(dá)式

(2)

其中，γ=(γ1,γ2)為射線坐標(biāo)，通?？梢匀∏蜃鴺?biāo)系或笛卡爾坐標(biāo)系，區(qū)域D為射線坐標(biāo)的積分范圍.UGB(ω)為單條高斯波束的波場表達(dá)式.Φ(γ)為權(quán)函數(shù)，滿足Φ(γ)=ΦR(γ)+isgn(ω)ΦI(γ).

當(dāng)?shù)乇鞸水平，利用高頻漸近方法，忽略掉高階項(xiàng)，導(dǎo)數(shù)?GGB(x,x′;ω)/? n可近似為(Popovetal.，2010)

(3)

其中，vg為檢波器xg處的地表速度，θg為檢波器xg處射線出射方向與z坐標(biāo)軸正方向的夾角.

將公式(3)代入(1)，可得

(4)

上式為高斯波束方法計(jì)算延拓波場U(x,x′;t)的基本表達(dá)式.

2.2delta波包

與高斯波束求和方法不同，本文在計(jì)算時(shí)間域格林函數(shù)GGB(x,x′;t)時(shí)，采用先對(duì)單條高斯波束進(jìn)行傅里葉逆變換，再在時(shí)間域疊加求和的順序.

(5a)

(5b)

其中，gDP(t)為delta波包.

用delta波包疊加表示的時(shí)間域格林函數(shù)GDP(x,x′;t)為

(6)

其中，g(γ,t)滿足表達(dá)式

g(γ,t)=Φ(γ)*gDP(γ,t)

(7)

公式(7)表明利用高斯波束理論中的權(quán)函數(shù)Φ(γ)、振幅AGB和走時(shí)τGB，可計(jì)算時(shí)間域g(γ,t).為了以后推導(dǎo)方便，去掉角標(biāo)，使用振幅A和走時(shí)τ表示.這里振幅A和走時(shí)τ為復(fù)數(shù)，滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)射線追蹤方程.

(8)

(8)式為delta波包方法計(jì)算延拓波場U(x,x′;t)的公式，其中g(shù)*(γ,t)滿足關(guān)系式

(9)

2.3成像公式

使用激勵(lì)時(shí)間成像條件，當(dāng)t=0時(shí)，成像條件為I(x′,xs)=U(x,x′;t=0)

(10)

其中，g*(γ,t)滿足關(guān)系式(9)，并且

(11)

這里，Φs、As和τs分別代表由震源xs到成像點(diǎn)x′的權(quán)函數(shù)、振幅和走時(shí)；Φg、Ag和τg分別代表由檢波點(diǎn)xg到成像點(diǎn)x′的權(quán)函數(shù)、振幅和走時(shí).

3波包解析式

通過之前的推導(dǎo)可知，利用公式(9)—(11)可進(jìn)行時(shí)間域深度偏移.但從數(shù)值計(jì)算角度考慮，仍存在兩個(gè)問題：一是delta波包表達(dá)式(9)仍需積分計(jì)算；二是成像公式(10)中褶積過程會(huì)耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間.

(12)其中

(13)

這里，函數(shù)b(t)為高斯波束中包含復(fù)走時(shí)τ=τR+iτI項(xiàng)的傅里葉逆變換.需要注意的是，當(dāng)權(quán)函數(shù)Φ或振幅A與頻率ω有關(guān)時(shí)，若權(quán)函數(shù)Φ或振幅A的時(shí)間域解析式存在，仍可以寫成類似公式(13)的形式，但這并不屬于本文的研究范圍，本文將只討論權(quán)函數(shù)Φ或振幅A與頻率ω?zé)o關(guān)的情況.

本文將b(t)稱為褶積算子，褶積算子的性質(zhì)取決于復(fù)走時(shí)τ.由于復(fù)走時(shí)實(shí)部τR和虛部τI對(duì)算子的影響并不相同，為了便于研究，將b(t)進(jìn)一步分解為兩個(gè)子算子，滿足b(t)=b1(t)*b2(t)，其中

(14a)

(14b)

(15)

圖1給出了不同τI下褶積算子b2(t)隨時(shí)間t的變化曲線.結(jié)合公式(15)可知，b2(t)為偶函數(shù)，峰值為1/πτI.τI越小，峰值越大，能量也越集中于零點(diǎn)附近；τI越大，峰值越小，能量越發(fā)散.

圖1　不同τI時(shí)褶積算子b2(t)Fig.1　The amplitude of operator b2(t) with different τI

將g*(γ,t)的解析式(12)代入延拓波場U(x,x′;t)表達(dá)式(8)，可得

(16)

其中

f(t)=Re(Φ*A*)x(t)-Im(Φ*A*)h(t),

(17)

這里

(18a)

(18b)

h(t)為x(t)的Hilbert變換.公式(16)—(18b)可在時(shí)間域直接計(jì)算延拓波場U(x,x′;t)，無需傅里葉變換.

4數(shù)值近似

雖然利用公式(16)—(18b)可在時(shí)間域直接進(jìn)行深度偏移，但公式中存在的褶積運(yùn)算f(t)*b(t)會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間.從提升計(jì)算效率的角度考慮，本節(jié)將根據(jù)算子b2(t)的性質(zhì)，對(duì)褶積運(yùn)算進(jìn)行數(shù)值近似.

4.1數(shù)值積分近似

將子算子(14a)和(14b)代入公式(16)得

(19)

設(shè)K(t)=f(t+τR)*b2(t)，將其改寫成關(guān)于變量ξ的積分形式為

(20)

f(ξ+τR)=f(t+τR)+f′(t+τR)(ξ-t)

(21)

其中，η介于ξ與t之間.所以K(t)可近似為

(22)仔細(xì)觀察上式，K(t)被寫成三項(xiàng)相加求和的形式.因?yàn)?ξ-t)在ξ=t處為奇函數(shù)，b2(t-ξ)在ξ=t處為偶函數(shù)，當(dāng)τI≠0時(shí)，在積分范圍[t-Δt,t+Δt]內(nèi)，第二項(xiàng)的積分值為零.則K(t)可近似為第一項(xiàng)，當(dāng)τI≠0時(shí)，得

(23)

截?cái)嗾`差由第三項(xiàng)決定，有

(24)

4.2參數(shù)取值

通過上節(jié)的推導(dǎo)，K(t)被近似為

(25)

其中

(26)

這里，振幅衰減程度由衰減項(xiàng)A衰決定.A衰為Δt和τI的比值，并且A衰∈[0,1].設(shè)β=Δt/τI，β越小，A衰越小，振幅衰減越明顯.相反，β越大，A衰趨近于1.

理論上，積分區(qū)間[t-Δt,t+Δt]越小，f(t+τR)的一階泰勒展開越準(zhǔn)確，所以本文建議Δt只取幾個(gè)時(shí)間采樣間隔.此時(shí)，當(dāng)τI較小時(shí)，因?yàn)閎2(t)能量聚焦于零點(diǎn)附近，所以近似公式(25)仍保有較高精度；當(dāng)τI較大時(shí)，b2(t)的能量發(fā)散，近似公式誤差變大，但由于delta波包振幅快速衰減，其對(duì)疊加結(jié)果的影響卻變小.綜上所述，當(dāng)Δt只取幾個(gè)時(shí)間采樣間隔時(shí)，既滿足數(shù)值近似的精度要求，也滿足偏移的需要.

關(guān)于Δt的取值，本文還建議最好能保證衰減項(xiàng)A衰與實(shí)際振幅衰減程度相近.這里以Ricker子波為例(如圖2)，褶積計(jì)算的K(t)為理論值(見圖2a)，近似公式(25)計(jì)算的K(t)為近似值(見圖2b)，圖2c給出了K(t)峰值振幅隨τI變化曲線.由圖2c可以看出，隨著τI的增大，峰值振幅逐漸變小.Δt越大，振幅衰減越慢；Δt越小，振幅衰減越迅速.當(dāng)Δt=0.005 s時(shí)，K(t)幅值衰減程度與理論值相近.此時(shí)，K(t)近似值(圖2b)與褶積值(圖2a)的形態(tài)也是一致的.

圖2　(a) K(t)的理論值(不同τI); (b) K(t)的近似值(不同τI)，Δt取0.005 s; (c) K(t)峰值隨τI變化曲線(不同Δt)Fig.2　(a) The theoretical values of K(t) with different τI; (b) The approximate values of K(t) with different τI, Δt=0.005 s; (c) The peak amplitudes of K(t) varies with τI under different Δt

4.3近似成像公式

將公式(25)、(26)和(17)代入公式(19)，延拓波場U(x,x′;t)滿足表達(dá)式

(27)

所以，成像條件I(x′,xs)可重新整理為

(28)其中

(29)這里，x(t)和h(t)分別滿足公式(18a)和(18b).利用成像條件(28)和(29)可直接在時(shí)間域進(jìn)行深度偏移.近似后的成像條件幾乎不需褶積運(yùn)算(僅需對(duì)x(t)進(jìn)行Hilbert變換得到h(t)，單道地震記錄只需計(jì)算一次)，計(jì)算效率得到很大的提升.

5數(shù)值算例

本節(jié)將展示兩個(gè)數(shù)值算例.第一個(gè)為Marmousi模型，圖3為速度模型，橫向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為737，網(wǎng)格間距12.5m；縱向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為750，網(wǎng)格間隔4m.使用的地震記錄共240炮，第一炮位置在x=3000m處，每炮207道，道間距和炮間距均為25m，中間放炮，兩邊接收，炮點(diǎn)位置與第104道接收位置相同.每道時(shí)間采樣點(diǎn)為750個(gè)，采樣間隔4ms.

圖3　Marmousi速度模型Fig.3　Stratigraphic interval velocity model for Marmousi dataset

圖4為單炮的時(shí)間域偏移結(jié)果(Δt=0.005s)，圖4a、4c為包含褶積運(yùn)算的偏移結(jié)果，圖4b、4d為使用近似公式的偏移結(jié)果.通過對(duì)比可以看出，兩種算法的偏移結(jié)果基本一致，但在細(xì)節(jié)處，前者的信噪比要高于后者，圖像更為清晰些.

圖4　(a) 第100炮褶積運(yùn)算的偏移結(jié)果(x=5475 m)； (b) 第100炮近似公式的偏移結(jié)果(x=5475 m)； (c) 第150炮褶積運(yùn)算的偏移結(jié)果(x=6725 m)； (d) 第150炮近似公式的偏移結(jié)果(x=6725 m)Fig.4　(a) The No.100 migrated shot record obtained by using the the exact method (x=5475 m)； (b) The No.100 migrated shot record obtained by using the approximated method (x=5475 m)； (c) The No.150 migrated shot record obtained by using the the exact method (x=6725 m)； (d) The No.150 migrated shot record obtained by using the approximated method (x=6725 m)

圖5為疊加后的偏移剖面(Δt=0.005s).可以看出，兩種方法偏移結(jié)果一致，三個(gè)斷層與兩個(gè)背斜構(gòu)造清晰可見，較淺背斜右側(cè)翼，因?yàn)閮A角過大，邊界模糊.較深背斜中的小儲(chǔ)層構(gòu)造清晰可見.之前單炮記錄(近似公式，圖4b、4d)中的噪聲，經(jīng)疊加后被有效壓制.表1給出了兩種方法的計(jì)算效率(CPU耗時(shí))對(duì)比，在使用MPI進(jìn)行多線程計(jì)算條件下，使用近似公式的計(jì)算時(shí)間約為近似前的0.2～0.25倍，計(jì)算效率得到了明顯提升.

圖5　(a) 褶積運(yùn)算的疊加剖面；(b)近似公式的疊加剖面Fig.5　(a) Stacked image obtained by using the exact method； (b) Stacked image obtained by using the approximated method

第二個(gè)算例為Sigsbee2A模型.圖6為速度模型.橫向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為2133，網(wǎng)格間隔為11.43m，縱向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為1201，網(wǎng)格間隔為7.62m.地震記錄共500炮，最大道數(shù)為348道，炮間距和道間距均為22.86m.

圖6　Sigsbee2A速度模型Fig.6　Stratigraphic interval velocity model for Sigsbee2A dataset

第100炮第150炮疊加剖面近似前21.619.63312.5近似后4.23.9705.6

圖7為給出了兩種算法的疊加剖面(Δt=0.005 s).通過對(duì)比可以看出，兩種方法對(duì)鹽丘的陡傾邊界以及鹽體下斷層構(gòu)造與繞射體進(jìn)行了較好的成像，但鹽體左翼及右翼最深處的下方構(gòu)造，近似后的成像質(zhì)量相比近似前，信噪比要低，干擾更大一點(diǎn)，這是由于鹽下區(qū)域照明不足，delta波包疊加不充分，噪聲沒有得到有效壓制.最后給出兩種方法的計(jì)算效率(CPU耗時(shí))對(duì)比，在使用MPI進(jìn)行多線程計(jì)算的條件下，近似前的偏移時(shí)間為119小時(shí)15分，近似后的偏移時(shí)間為25小時(shí)13分.

圖7　(a) 褶積運(yùn)算的疊加剖面；(b)近似公式的疊加剖面Fig.7　7(a) Stacked image obtained by using the exact method； (b) Stacked image obtained by using the approximated method

6結(jié)論

本文將delta波包應(yīng)用到偏移領(lǐng)域，給出了基于delta波包疊加的深度偏移算法，并根據(jù)褶積算子的性質(zhì)，進(jìn)一步將褶積運(yùn)算簡化為乘積形式.在近似公式中，衰減項(xiàng)A衰由Δt和τI的比值β所決定，本文建議Δt的取值為幾個(gè)時(shí)間采樣間隔，并最好保證A衰與實(shí)際振幅衰減程度相近.最后，通過Marmousi和Sigsbee2A兩個(gè)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的基于delta波包疊加的深度偏移算法，保留了高斯波束偏移的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)復(fù)雜介質(zhì)具有良好的成像能力，并且近似算法的偏移結(jié)果與近似前基本一致，但計(jì)算時(shí)間約為近似前的0.2～0.25倍，計(jì)算效率得到顯著提升.該偏移算法適用于多種反射地震采集方式(如共炮，共炮檢距等)，易于進(jìn)行面向目標(biāo)成像，可拓展到3維地震數(shù)據(jù)偏移，在勘探地震學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景.同時(shí)，該算法仍存在諸多有待解決的問題，如Δt的影響，鹽下區(qū)域成像改善等，需要進(jìn)一步研究與討論.

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(本文編輯胡素芳)

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金(41274120)，國家科技專項(xiàng)(Sinoprobe 09-01)，國家自然科學(xué)基金(41404085，41504084)資助.

作者簡介石秀林, 男, 1985年生, 吉林大學(xué)地球探測與信息技術(shù)專業(yè)在讀博士, 主要從事地震偏移成像研究.E-mail: xiulinshi@126.com *通訊作者孫建國, 男, 1956年生, 博士, 教授, 主要從事波動(dòng)理論與成像技術(shù)、地震資料處理方法與解釋技術(shù)等方面的教學(xué)和研究工作．E-mail: sun_jg@jlu.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160727 中圖分類號(hào)P631

收稿日期2015-10-10，2016-03-09收修定稿

The time-domain depth migration by the summation of delta packets

SHI Xiu-Lin, SUN Jian-Guo*, SUN Hui, LIU Ming-Chen, LIU Zhi-Qiang

GeoExplorationofScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China

AbstractDelta packets may serve as building blocks of a wavefield in space-time domain, just as Gaussian beams do in space-frequency domain. This paper will present a depth migration using the summation of delta packets and develop an approximate method that can speed up the convolution between the data and the delta packet. By definition, a delta packet is the inverse Fourier transformation of Gaussian beam under consideration. Thus, the Green′s function in the space-time domain can be asymptotically expressed as an integral superposition of delta packets. In the Rayleigh integral, the choice of Green′s function determines the migration method. Choosing a Green′s function of the delta packet summation form will lead to a new depth migration in space-time domain. The space-time formulation contains a convolution with respect to time between the filtered seismogram and the delta packet, which makes the new depth migration very time-consuming. Here the convolution integration is rewritten in terms of Taylor expansion, and is further reduced to product formula.

In the approximate expression of convolution, the time-shifted seismogram only uses multiplication by the term Aattenuation, so that the computational cost is much lower than before approximation. The term Aattenuationindicates attenuation degree of amplitudes, and depends on ratio of parameter Δt (the half width of the integration interval) and imaginary part of the complex travel time. When the value of Δt takes no more than several time sampling intervals, such as Δt=0.005 s, there will be a satisfactory approximation. Numerical tests using the Marmousi and the Sigsbee2A models show that the migration quality for the approximated method is comparable to the one with the exact method. However, the computation time can reduce by about 75%. The depth migration using the summation of delta packets can be recognized as a flexible and effective migration technique. And it is also easily extended to 3-D depth migration and suitable for different kinds of acquisition geometries.

KeywordsDelta packet; Gaussian beam; Convolution; Numerical approximation; Time-domain depth migration

石秀林, 孫建國, 孫輝等. 2016. 基于delta波包疊加的時(shí)間域深度偏移. 地球物理學(xué)報(bào)，59(7):2641-2649,doi:10.6038/cjg20160727.

Shi X L, Sun J G, Sun H, et al. 2016. The time-domain depth migration by the summation of delta packets. Chinese J. Geophys. (in Chinese),59(7):2641-2649,doi:10.6038/cjg20160727.