結構剛度優(yōu)化問題模型比較研究

彭細榮（湖南城市學院，湖南 益陽 413000）

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結構剛度優(yōu)化問題模型比較研究

彭細榮
（湖南城市學院，湖南 益陽 413000）

摘 要：針對結構剛度優(yōu)化問題存在不同優(yōu)化模型，本文以懸臂梁分布參數(shù)優(yōu)化問題為例，對體積比約束下柔順度極小優(yōu)化模型及位移約束下重量極小優(yōu)化模型進行了比較。對集中荷載及均布荷載兩種作用情況下，采用拉格朗日乘子法求解得到了設計變量梁高的分布函數(shù)表達式，并給出了最優(yōu)解時梁的撓曲線方程，通過優(yōu)化模型解析解及撓曲線方程的比較，得到結論：在單個集中荷載作用時，兩種模型間可建立等價關系，但在均布荷載情況下，難以建立兩種模型間的等價。

關鍵詞：剛度優(yōu)化；柔順度；位移約束；模型比較

結構優(yōu)化設計必須滿足結構在強度、剛度及穩(wěn)定性等方面的要求［1］。對結構剛度的優(yōu)化問題，目前存在兩種優(yōu)化模型，一種是位移約束下重量極 小 化 模 型 （ Minimum Weight with a Displacement Constraint，簡稱MWDC模型），另一種是體積約束下結構柔順度極小化模型（ Minimum Compliance with a Volume Constraint，簡稱MCVC模型）［2］。在尺寸及形狀優(yōu)化問題中，通常建立MWDC模型，很少建立MCVC模型，但在拓撲優(yōu)化問題中，MCVC模型卻研究得比MWDC模型更多［2-3］。例如，變密度法［4］（SIMP法［5］為代表）、水平集方法［6］、相場法［7］等通常均建立MCVC模型，只有少數(shù)方法如ICM法［8］、進化結構優(yōu)化方法［9］等建立MWDC模型。MCVC模型在拓撲優(yōu)化中研究較多，主要是由于模型求解的簡單方便［10］。

本文應用拉格朗日乘子法，研究MCVC模型及MWDC模型的解析最優(yōu)解，從而保證兩種模型的比較建立在嚴格的理論推導基礎之上，所得結論更具說服力。同時，給出的優(yōu)化問題解析解可作為類似優(yōu)化問題數(shù)值求解方法研究的考題。

1　MCVC模型與MWDC模型

其中x為設計向量，V為結構總體積，V0為指定的體積上限約束。

大部分工程問題，包括各類國家規(guī)范，均是以位移限值的方式來提出對結構剛度的要求。位移約束下結構重量最小化的優(yōu)化模型（MWDC模型）為：

對懸臂梁分布參數(shù)優(yōu)化問題，下面內(nèi)容將針對上述兩個優(yōu)化模型，求解出最優(yōu)解的解析解，并進行比較分析。

2　單個集中荷載作用懸臂梁分布參數(shù)優(yōu)化及模型比較

如圖1所示，懸臂梁受單個集中荷載F作用，梁截面寬度為 b，梁高 h（x）為設計變量。由于設計變量 h（x）為連續(xù)函數(shù)，所以此優(yōu)化問題為分布參數(shù)優(yōu)化問題。對 MCVC模型優(yōu)化問題，設計h（x），指定體積約束V0，最小化結構總應變能C。

圖1　懸臂梁受單個集中荷載作用的分布參數(shù)優(yōu)化

梁截面慣性矩為：

梁所受彎矩為：

由梁理論可得結構總應變能C為：

所以，建立的MCVC優(yōu)化模型為：

應用拉格朗日乘子法，式（4）優(yōu)化模型對應的拉格朗日函數(shù)為：

最優(yōu)截面高度h（x）由下列條件確定：

解得:

由梁理論，最優(yōu)解時梁的撓曲線方程為：

求解得到梁的撓曲線為：

所以，梁自由端撓度為：

由梁理論，梁自由端撓度還可用單位力法計算：

同樣可以得到與式（9）相同的結果。

以此位移值作為約束條件，設計 h（x），最小化結構總體積（即最小化結構總重量），建立的MWDC模型為：

同樣應用拉格朗日乘子法，式（11）優(yōu)化模型對應的拉格朗日函數(shù)為：

最優(yōu)截面高度h（x）由下列條件確定：

取V0=b×2b×L ，則最優(yōu)化梁截面高度變化如圖2所示。

圖2　優(yōu)化求解得到梁截面高度變化

由此可見，當MWDC模型的位移約束取荷載作用方向上MCVC模型最優(yōu)解的位移值時，MWDC模型得到的最優(yōu)解體積正好是 MCVC模型所指定的體積約束值，兩個模型得到的最優(yōu)截面高度分布函數(shù)是相同的，最優(yōu)解時梁的撓度曲線也是相同的，即兩個模型是完全等價的。

3　均布荷載作用懸梁參數(shù)優(yōu)化及模型

梁所受彎矩為：

由梁理論可得結構總應變能C為：

所以，建立的MCVC優(yōu)化模型為：

圖3　懸臂梁受均布荷載作用的分布參數(shù)優(yōu)化

應用拉格朗日乘子法，式（15）優(yōu)化模型對應的拉格朗日函數(shù)為：

最優(yōu)截面高度h（x）由下列條件確定：

解得:

取V0=b×2b×L ，則h（x）=4bL-1x，最優(yōu)化梁截面高度變化如圖4所示。

圖4　懸臂梁受均布荷載作用MCVC模型求解得到梁截面高度變化

由梁理論，最優(yōu)解時梁的撓曲線方程為：

求解得到梁的撓曲線為：

所以，梁自由端撓度為：

梁自由端撓度用單位力法計算：

同樣可以得到與式（20）相同的結果。

以MCVC模型最優(yōu)解時自由端位移值（即式（20）所示）作為約束條件，設計 h（x），最小化結構總體積（即最小化結構總重量），建立MWDC模型為：

同樣應用拉格朗日乘子法，式（11）優(yōu)化模型對應的拉格朗日函數(shù)為：

最優(yōu)截面高度h（x）由下列條件確定：

解得:

取V0=b×2b×L ，則h（x）=3.3bL-3/4x3/4，最優(yōu)化梁截面高度變化如圖5所示。

圖5　懸臂梁受均布荷載作用MWDC模型求解得到梁截面高度變化

MCVC模型與MWDC模型得到的最優(yōu)解時梁的高度變化比較如圖6所示。

圖6　最優(yōu)解梁高變化比較

求解得到梁的撓曲線為：

比較式（26）與式（19）可知，MWDC模型與MCVC模型最優(yōu)解時梁的撓曲線不同，如圖7所示。

圖7　均布荷載作用下兩種模型最優(yōu)解梁撓曲線

梁自由端撓度為：

與式（20）相同，滿足式（23）中位移約束條件。

此時梁的總體積為：

MWDC模型得到的最優(yōu)解時梁的總體積比MCVC模型指定的體積約束值V0小。

4　結論

針對結構剛度優(yōu)化問題，本文對懸臂梁受單個集中荷載作用及均布荷載作用兩種情況，應用拉格朗日乘子法求得了MCVC模型及MWDC模型的最優(yōu)解及對應的梁撓曲線的解析表達式。主要結論如下：

（1）在單個集中荷載作用下，當MWDC模型位移約束荷載作用點的位移時，MCVC模型與MWDC模型可以建立等價模型。即MWDC模型位移約束值取 MCVC模型最優(yōu)解時對應的位移值，得到的最優(yōu)解結構總體積正好等于MCVC模型中指定的體積約束。

（2）在均布荷載作用下，當MWDC模型僅約束一點位移值時，MCVC模型與MWDC模型所得結果完全不同。MCVC模型與MWDC模型間很難建立等價模型。

參考文獻：

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［9］Y. M. Xie，G. P. Steven. A Simple Evolutionary Procedure for Structural Optimization ［J］. Computers & Structures，1993，49: 885-896.

［10］Bendsoe M P，Sigmund O. Topology optimization: theory，methods and applications［M］. 2nd ed. New York: Springer Berlin Heidelberg，2003.

［11］Peter W. Chritensen，Anders Klabring. An introduction to structural optimization. New York: Springer Berlin Heidelberg，2009.

（責任編輯：廖建勇）

中圖分類號：TU391

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.001

文章編號：1672–7304（2016）01–0001–04

作者簡介：彭細榮（1972-），男，江西宜春人，博士后，副教授，研究方向：結構優(yōu)化設計、結構監(jiān)測。

A Comparative Study on Models of Structural Stiffness Optimization Problems

PENG Xi-rong
（Hunan City University，Yiyang Hunan 413000）

Abstract:Different optimization models exist for the structural stiffness optimization problems. Taking the distribution parameter optimization problem of a cantilever beam as an example，the optimization model with minimizing structural compliance objective subject to specified volume constraint and the optimization model with minimizing structural volume （or weight） objective subject to specified displacement constraints are compared. For a concentrated load and a uniformly distributed load cases，using the Lagrange multiplier method， the distribution function of beam section height is obtained，which is the design variable in optimization models. The extramural equation of optimal beams obtained by optimization is also derived an analytic expression. By comparing analytic solutions of the optimization model and the extramural equation of optimal beams，conclusions are obtained. For the case of a single concentrated load，equivalent relation can be built between the two kinds of model，but in the case of uniformly distributed load，it is difficult to establish the equivalence between the two models.

Keywords:Stiffness optimization；Compliance；Displacement constraints； Model comparison