高溫超導(dǎo)軸向磁懸浮軸承的懸浮力分析

劉飛，裴曠怡，孔奎，張鋼，孟慶棟

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)由超導(dǎo)體(HTS)、永磁體(PM)和冷卻系統(tǒng)組成，主要應(yīng)用在超導(dǎo)磁懸浮軸承[1-2]、飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)[3-4]、磁懸浮導(dǎo)軌列車[5-6]、陀螺導(dǎo)航等領(lǐng)域。隨著各種交叉學(xué)科、高新技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外對(duì)高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承試驗(yàn)及理論研究也越來(lái)越廣泛深入。高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承(SMB)分為徑向和軸向2種類型[7-10]。文獻(xiàn)[11]通過(guò)對(duì)楊氏模型和Hull John R模型進(jìn)行改進(jìn)，提出一種改進(jìn)的磁通凍結(jié)-鏡像模型，其雖然考慮了磁滯模型，也可以適用徑向和軸向的超導(dǎo)磁懸浮軸承且方法簡(jiǎn)單，但只能對(duì)超導(dǎo)軸承進(jìn)行定性分析，不能對(duì)磁偶極子進(jìn)行精確計(jì)算。文獻(xiàn)[12]在超導(dǎo)計(jì)算中加入了超導(dǎo)的各向異性，給出了臨界電流密度與各向異性的關(guān)系，利用T方法對(duì)超導(dǎo)懸浮力展開了數(shù)值計(jì)算，并對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀況下的懸浮力進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[13-14]基于A-V方法，采用控制體積法對(duì)高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力和導(dǎo)向力進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，經(jīng)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較接近。下文介紹一種基于磁矢勢(shì)的懸浮力計(jì)算方法，對(duì)軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)展開力學(xué)分析，并與已有試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

1 數(shù)學(xué)計(jì)算

1.1 基于分子電流法求解磁場(chǎng)強(qiáng)度

分子電流法是基于對(duì)永磁環(huán)表面等效電流的分析建立的數(shù)學(xué)模型，即假設(shè)永磁體內(nèi)部沒有電流，其磁動(dòng)勢(shì)可用等效的表面電流表達(dá)。軸向磁化的永磁環(huán)的等效電流模型如圖1所示。

圖1 軸向磁化永磁環(huán)的分子電流模型

根據(jù)Biot-Savart定律，電流元在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

式中：dB為電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度；μ0為真空磁導(dǎo)率；i為環(huán)形導(dǎo)線中的電流；dl為電流元長(zhǎng)度；r為電流元矢徑。

利用Biot-Savart定律對(duì)永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度Br求解，通過(guò)磁場(chǎng)強(qiáng)度求解出永磁體在空間的磁場(chǎng)分布情況。建立柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)如圖2所示，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)柱形永磁體，其磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為

(2)

式中：Sr為柱形永磁體外表面面積；Rp為柱形永磁體的外半徑；az為沿z軸方向的單位矢量。

圖2 無(wú)限長(zhǎng)圓柱永磁體

高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承中的永磁轉(zhuǎn)子多采用環(huán)形永磁體，計(jì)算永磁環(huán)在空間磁場(chǎng)分布，即計(jì)算2個(gè)柱形永磁體計(jì)算的矢量和。為便于計(jì)算，建立如圖3所示的柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)，點(diǎn)P(ρ,φ,z)為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，P′(ρ′,φ′,z′)為永磁體面上任意一點(diǎn)。通過(guò)對(duì)單個(gè)電流元積分，可得柱形永磁體在空間任意一點(diǎn)P的磁矢勢(shì)為

(3)

r-r′=(ρ-ρ′cosφ″)aρ+

(ρ′sinφ″)aφ+(z-z′)az，

φ″=φ-φ′，

式中：aρ為沿半徑ρ方向的單位矢量；aφ為沿偏移角度方向φ的單位矢量。

圖3 永磁體磁場(chǎng)分布模型

由 (2) 式和(3)式可得外徑為Rp、厚度為tp的柱形永磁體在P點(diǎn)的磁矢勢(shì)為

。(4)

環(huán)形永磁體的磁矢勢(shì)可等效為求解外半徑為Rp柱形永磁體的磁矢勢(shì)AR(ρ,z)和內(nèi)半徑為rp柱形永磁體的磁矢勢(shì)Ar(ρ,z) 的矢量和，即

。(5)

上式為定積分表達(dá)式，由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，可以通過(guò)積分的近似數(shù)值求解

(6)

式中：Ak(k=0,1,2,…,n) 為求積系數(shù)，與函數(shù)f(xk)無(wú)關(guān)；ζk,xk為積分變量。

根據(jù)以上原理對(duì)柱形永磁體的磁矢勢(shì)求解。首先進(jìn)行變量變換，將φ的積分分成μ1，μ2，μ3，…，μM，變換形式為

φ′(ui)=πui-sin πui，

(7)

則dφ′(ui)=π-πcos πui。

將 (7) 式代入 (5) 式可得

(8)

式中：tpm(m=1,2,3，…,M)為將柱形永磁體分解成M個(gè)部分后每個(gè)磁體的厚度。

在坐標(biāo)系中，對(duì)磁矢勢(shì)A求旋度，可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

(9)

由 (3) 式可知磁矢勢(shì)的方向與環(huán)形電流的方向相同，因此柱形永磁體產(chǎn)生的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(10)

式中：F，E分別為第一類、第二類完全橢圓積分。

柱形永磁體產(chǎn)生的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度為

。(11)

永磁環(huán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為半徑Rp和rp的柱形永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。在高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)中，永磁轉(zhuǎn)子多為永磁環(huán)的疊加。不同的疊加方式產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布如圖4所示。圖4a表明磁環(huán)軸向疊加的徑向磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度呈對(duì)稱分布；圖4b表明磁環(huán)徑向疊加的軸向磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度則呈不規(guī)則連續(xù)分布，在磁極外半徑處磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大值。

圖4 不同的疊加方式產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

1.2 懸浮力的計(jì)算

由Faraday電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)磁場(chǎng)變化時(shí)導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生渦流現(xiàn)象。在超導(dǎo)體內(nèi)部任意一點(diǎn)的磁矢勢(shì)為永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)Ap和超導(dǎo)體內(nèi)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)As的矢量和，即

A=Ap+As。

(12)

根據(jù)Biot-Savart定律，超導(dǎo)體內(nèi)電流產(chǎn)生的磁矢勢(shì)為

(13)

式中：rs，Rs分別為超導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑；ts為超導(dǎo)體厚度；Js為超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度。

(14)

E-J冪指數(shù)關(guān)系模型[1]為

(15)

式中：Ec為超導(dǎo)體中的臨界場(chǎng)強(qiáng)；J為電流密度；Jc為溫度T下的臨界電流密度。

將 (15) 式代入 (14) 式可得

(16)

結(jié)合 (8)，(12)，(13)和(16) 式可得

(17)

選取的高溫超導(dǎo)體為塊狀釔鋇銅氧，該材料中的電流密度有很強(qiáng)的各向異性。為此，將超導(dǎo)塊沿厚度方向劃分為Nz個(gè)平行薄片，只考慮氧化銅內(nèi)的屏蔽電流。為了便于計(jì)算，在每一薄片內(nèi)再進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖5所示，分別從徑向和圓周方向?qū)⒈∑确譃镹ρ×Nφ個(gè)。求解過(guò)程中假設(shè)每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的電導(dǎo)率是恒定值。對(duì)于涉及時(shí)間域的電磁計(jì)算，選取等長(zhǎng)的時(shí)間跨度dt，對(duì) (17) 式三重積分的求解轉(zhuǎn)化為

(18)

式中：ΔV為網(wǎng)格的體積。

圖5 超導(dǎo)體網(wǎng)格劃分

由(17) 式求出超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度后，根據(jù)洛倫茲力可求得高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力為

(19)

具體計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 懸浮力計(jì)算流程

2 超導(dǎo)軸向磁懸浮軸承懸浮力性能分析

對(duì)于軸向超導(dǎo)磁懸浮軸承，一般永磁體位于超導(dǎo)體的上方，如圖7所示。若永磁體受到軸向的擾動(dòng)力Fz而產(chǎn)生軸向位移z，則超導(dǎo)體會(huì)給予永磁體反作用力Fsz阻止其運(yùn)動(dòng)。

圖7 軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮的軸向移動(dòng)

2.1 場(chǎng)冷高度40 mm(零場(chǎng)冷)

為便于與其他計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果[14-15]作比較以校正模型的正確性，選取與文獻(xiàn)中相同的柱形超導(dǎo)體：半徑Rs=10.5 mm，厚度ts=10 mm，臨界電場(chǎng)Ec=1，臨界電流密度Jc=1×108A/m2，指數(shù)n=20；永磁體半徑Rp=11 mm；厚度tp=20 mm，剩磁強(qiáng)度Br=1.1 T。

假設(shè)永磁體在距離超導(dǎo)體上表面40 mm位置開始冷卻，冷卻后施加向下的Fz使永磁體以1 mm/s的速度下降到距離超導(dǎo)體上表面3 mm處，再施加反向Fz使永磁體以1 mm/s的速度向上移動(dòng)到40 mm處。永磁體往復(fù)運(yùn)動(dòng)中受到超導(dǎo)定子的反向作用力Fsz。場(chǎng)冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖8所示。由圖可知：永磁體上升過(guò)程中，理論計(jì)算值與文獻(xiàn)[14-15]中的試驗(yàn)值吻合度較高，在3 mm處的最大值比試驗(yàn)值小0.7 N左右；永磁體下降過(guò)程中，二者差別較大。這是因?yàn)楫?dāng)永磁體與超導(dǎo)體之間的間距最小時(shí)，超導(dǎo)體所處的磁場(chǎng)強(qiáng)度最大，有大量磁通穿入超導(dǎo)體內(nèi)；當(dāng)永磁體與超導(dǎo)體的間距逐漸增大時(shí)，超導(dǎo)體所處的外部磁場(chǎng)強(qiáng)度減小，使得穿入超導(dǎo)體的部分磁通被排出，但由于磁通釘扎作用，產(chǎn)生了磁滯現(xiàn)象，此時(shí)超導(dǎo)體內(nèi)部磁通運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，文中采用的E-J模型雖然可以給出磁通運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律，但由于進(jìn)行了大量簡(jiǎn)化，因此當(dāng)磁通運(yùn)動(dòng)劇烈時(shí)模擬結(jié)果存在誤差。

圖8 場(chǎng)冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化

2.2 場(chǎng)冷高度1 mm

選取與文獻(xiàn)[16]中相同的試驗(yàn)參數(shù)：高溫超導(dǎo)體直徑為30 mm，高度為12 mm，臨界電流密度為Jc=100 A/cm2；永磁體的直徑和高度均為12.7 mm，剩磁強(qiáng)度為0.831 T。

將高溫超導(dǎo)體在場(chǎng)冷高度為1 mm處進(jìn)行冷卻，在足夠的永磁體產(chǎn)生的外磁場(chǎng)強(qiáng)度條件下，高溫超導(dǎo)體由正常態(tài)轉(zhuǎn)變成超導(dǎo)態(tài)。同樣施加Fz以1 mm/s的速度上升到距離高溫超導(dǎo)體上表面25 mm處，再返回初始位置。場(chǎng)冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖9所示。

圖9 場(chǎng)冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化

由圖9可知：永磁體開始上升時(shí)，理論計(jì)算值與試驗(yàn)值基本吻合，隨著軸向位移的增大，二者的差值增大，直至軸向力最小(軸向位移8 mm)時(shí)誤差為1 N；永磁體下降過(guò)程中，理論計(jì)算值和試驗(yàn)結(jié)果的最大誤差約為2 N。這是因?yàn)樵趫?chǎng)冷過(guò)程中，部分磁通被釘扎在超導(dǎo)體內(nèi)(即凍結(jié)磁通)，其與永磁體的相互作用使永磁體受到的懸浮力與零場(chǎng)冷卻下的懸浮力不同。另外，選取的E-J關(guān)系模型與實(shí)際有所差距，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加會(huì)使溫度發(fā)生變化從而影響計(jì)算結(jié)果。

2.3 小結(jié)

通過(guò)對(duì)比2種不同場(chǎng)冷高度下的理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果可知：文中計(jì)算方法對(duì)零場(chǎng)冷卻下和場(chǎng)冷卻下懸浮力(軸向力)的分析均適用。在零場(chǎng)冷卻下懸浮力幾乎均為正值，超導(dǎo)體主要表現(xiàn)抗磁特性；場(chǎng)冷卻下懸浮力為負(fù)值，先快速增大后逐漸減小，由于超導(dǎo)體俘獲的磁通較多，主要表現(xiàn)出磁通釘扎特性，使得永磁體和超導(dǎo)體之間的磁力較大。由此可知，初始冷卻條件對(duì)懸浮力的影響顯著，可以通過(guò)調(diào)整初始冷卻條件實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮力的控制。

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)永磁環(huán)的磁場(chǎng)分布情況進(jìn)行了分析，列出了高溫超導(dǎo)磁懸浮力計(jì)算方法和流程，利用該方法對(duì)不同冷卻方式下軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力進(jìn)行了計(jì)算。對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果可知，該方法在永磁體軸向時(shí)對(duì)軸向力計(jì)算是可靠的。在軸對(duì)稱情況下，永磁體在超導(dǎo)體上方軸向移動(dòng)過(guò)程中受到反作用力；超導(dǎo)體在零場(chǎng)下冷卻時(shí)產(chǎn)生的軸向懸浮力比場(chǎng)冷卻下的大，且磁滯特性不明顯。