兩個計數(shù)原理的應(yīng)用

陳科

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）14-214-02

分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是解決排列、組合問題的理論基礎(chǔ).在利用這兩個原理解決排列、組合問題時要弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件.這兩個原理都是指完成一件事的不同方法數(shù)而言的.其區(qū)別在于：（1）分類計數(shù)原理是“分類”，分步計數(shù)原理是“分步”；（2）分類計數(shù)原理中每類辦法中的每一種方法都能獨立完成一件事，分步計數(shù)原理中每步中每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事.本文談?wù)勅绾斡煤脙蓚€記數(shù)原理迅速解決相關(guān)問題.

一、分類問題

例1： 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？

解法一：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個，故有8個；個位是8，則十位可以是1，2，3，…，7中的一個，故有7個；同理，個位是7的有6個；個位是6的有5個；……個位是2的只有1個.

由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8= （個）

解法二：按十位數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.

則共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.

方法歸納：本題是用分類加法計數(shù)原理解答的.結(jié)合本題可進(jìn)一步加深對“完成一件事，有n類方案”的理解，所謂“完成一件事，有n類方案”，這里是指對完成這件事情的所有方案的一個分類.分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求：完成這類事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理.

二、分步問題

例2 ：在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有_____________.

解法一：1、2、3、4、5組成無重復(fù)五位數(shù)，大于23145且小于43521的有

（1）形如 ，后兩位只能填5、4，

∴有1種數(shù)合要求.

（2）形如 ，第三位選4或5都滿足要求，后兩位任選都可.

∴符合要求的數(shù)有C ·A =4種.

（3）形如 ，第二位選4或5，后三位任選，方法數(shù)為C ·A =12種.

（4）形如 ，第二位開始，均可任選，方法數(shù)為A =24種.

（5）形如 ，第二位選1或2，后三位任選，方法數(shù)為C ·A =12種.

同理形如 ，2A =4種，形如 ，1種.

∴合要求總數(shù)為（1+4+12）×2+24=58種.

解法二：可用類似方法算出小于43521的5位數(shù)個數(shù)與小于等于23145的五位數(shù)個數(shù).兩數(shù)之差即為小于43521且大于23145的五位數(shù)個數(shù).

答案：58種

評述：用分步排位的方法計算排列數(shù)時，必須注意三個方面：（1）在題設(shè)條件制約下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不可??；

（2）在某一步排位后，下一步排位可取元素的個數(shù)，應(yīng)視具體情況而定；

（3）若某一步必須分類，則分類后各步都必須按各類分別計算.

三、分類、分步綜合問題

例3：某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如下圖）.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____________種.（以數(shù)字作答）

解法一：從題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求.

（1）②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48種；

（2）③與⑤同色，則②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48種；

（3）②與④且③與⑥同色，則共有N3=4×3×2×1=24種.

所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種.

解法二：記顏色為A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 種不同的栽法，不妨設(shè)1、2、3已分別栽種A、B、C，則4、5、6栽種方法共5種，由以下樹狀圖清晰可見.

根據(jù)分步計數(shù)原理，不同栽種方法有N=A ×5=120.

答案：120

評述：解法一是常規(guī)解法，要先弄清什么是區(qū)域相鄰的概念，如果兩個區(qū)域至少有一條公共邊，那么我們說這兩個區(qū)域相鄰，如圖中1、2、3三個區(qū)域兩兩相鄰，與不相鄰，因此1、2、3三個區(qū)域的顏色兩兩不同，②與⑤、③與⑤、②與④及③與⑥它們可以同色，也可以不同色，由此進(jìn)行分類即可解決.

解法二安排4、5、6時又用了分類和列舉的方法.

總結(jié)：在具體分類或分步時，常遇到困難，要多練習(xí)，多積累經(jīng)驗，掌握思維方法，逐步做到恰當(dāng)分類，合理分步.元素能重復(fù)的問題往往用計數(shù)原理.