二階Fredholm 積分微分方程的有限差分—配置法

覃燕梅，羅衛(wèi)華，孔 花，張 莉

(1．內(nèi)江師范學(xué)院四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江641112; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610064)

二階Fredholm 積分微分方程的有限差分—配置法

覃燕梅1，羅衛(wèi)華1，孔 花1，張 莉2*

(1．內(nèi)江師范學(xué)院四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江641112; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610064)

針對(duì)二階Fredholm積分微分方程，提出了一種新的有限差分配置法．該方法的關(guān)鍵思想在于利用中心差分和分片線性Lagrange插值函數(shù)，將奇異核分裂成有限項(xiàng)，并用分部積分克服了奇異性．通過分析，給出了對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程組，證明了代數(shù)方程組的解的存在唯一性和收斂性．通過多個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所給方法的有效性．

配置法;有限差分;Fredholm積分微分方程;Lagrange插值

帶Cauchy核或Hadamard核的奇異積分微分方程是計(jì)算的許多問題，如:力學(xué)［1］、熱彈性力學(xué)［2－3］和機(jī)翼問題［4］等的重要模型．

眾所周知，由于積分的奇異性，除了一些特定的情況，這些方程的精確解通常無法獲得．因此，這些模型的數(shù)值方法成為了研究熱點(diǎn)．

近幾十年來，關(guān)于Fredholm積分微分方程帶不同邊界條件的數(shù)值解一直被研究．M．Gulsu等［5］利用第二類切比雪夫多項(xiàng)式，提出用配置方法求解方程(1)，其中Maleknejad等［6］通過Taylor級(jí)數(shù)展開和Galerkin方法，數(shù)值求解了帶Cauchy核的一階Fredholm積分微分方程;X．Yang等［7］針對(duì)四階偏積分微分弱奇異方程，引入了Crank－Nicolson/quasi－wavelets方法; A．V．Andreev［1］采用正交高斯—雅可比公式［8］，給出了一階強(qiáng)奇異積分微分方程的數(shù)值解．關(guān)于方程(1)的數(shù)值方法還可參加文獻(xiàn)［9－16］．

本文利用 Lagrange插值多項(xiàng)式，研究帶有Cauchy/Hadamard核的Fredholm奇異積分微分方程邊界條件為:其中為正整數(shù)，s≠t，K(x，y)∈ C［a，b］，u(x)是未知函數(shù)．

1 有限差分配置法

在區(qū)間［a，b］上，定義剖分:JN={xn|xn=a+為步長，N為給定正整數(shù)．當(dāng)所選基函數(shù)為分片線性多項(xiàng)式時(shí)，這些網(wǎng)格點(diǎn)也是配置點(diǎn)．

記ui=u(xi)．根據(jù)中心差分公式，方程(2)中的可以表示為

分段線性Lagrange插值多項(xiàng)式uh(x)近似代替u(x):

在配置點(diǎn)xk，k=2，3，…，N處可以變形為

其中

方程(6)中的前2項(xiàng)

本文重點(diǎn)討論奇異積分Δ1和Δ2的數(shù)值計(jì)算方法．由(5)式可得

和

由(10)、(11)式和分部積分公式，經(jīng)過一些簡單的代數(shù)運(yùn)算，可得

因此，綜合(4)、(6)、(7)和(12)式，原方程(2)可以離散為

在(13)式中的O(h2)舍去，并將(5)式代入(13)式可得近似方程為

其中，Ai－1，Bi－1，Ci－1，i=2，3，…，N為對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量．記 A=(A1，A2，…，AN－1)T，B=(B1，B2，…，BN－1)T，C=(C1，C2，…，CN－1)T，則(13)式可轉(zhuǎn)化為線性方程組:

其中F=FF+AA+BB+CC，且記z=y－x2，r=y－xN，

由于N+1階方陣B比較復(fù)雜，下面將逐行給出其計(jì)算格式:

第1行:

第k行:(k=2，3，…，N－2)

第N－1行:

矩陣C:

定理1 線性方程組(16)的解存在唯一，且|ui

證明 首先容易知道矩陣珘A可逆，且

由K(x，y)的連續(xù)性，可知存在常數(shù)c＞0，使得

記H=A+B+C，用A－1左乘H可得

根據(jù)(19)式可知矩陣 珘B與 h無關(guān)，進(jìn)一步結(jié)合(20)式和可得:當(dāng)h充分小時(shí)，I嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)．從而H可逆，且‖H－1‖有界，故線性方程組(16)的解存在且唯一．

假設(shè)U=(u2，u3，…，uN)T為方程組(13)的解．將(13)和(14)兩式相減，可得

根據(jù)‖H－1‖的有界性，可得

2 算例

下面通過多個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證所給的有限差分配置方法的有效性．

用En表示L∞范數(shù)下配置點(diǎn)xi，i=1，2，…，N+ 1處產(chǎn)生的誤差，收斂率

例1

精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

例2

精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

例3精確解為:u(x)=x2，x∈I=［－1，1］．

表1 例1的結(jié)果Table 1 Result of example 1

表2 例2的結(jié)果Table 2 Result of example 2

表3 例3的結(jié)果Table 3 Result of example 3

表1～3的結(jié)果表明:本文所給的有限差分配置方法具有O(h2)精度，且其誤差收斂率與α無關(guān)，進(jìn)而驗(yàn)證了定理1的正確性．

3 結(jié)語

本文針對(duì)二階Fredholm奇異積分微分方程，基于分片線性Lagrange插值多項(xiàng)式，結(jié)合中心差分和配置法，提出了一種有限差分配置方法．推出了相應(yīng)的代數(shù)方程組，通過多個(gè)數(shù)值算例，驗(yàn)證了方法的有效性．?dāng)?shù)值結(jié)果表明:所給方法在配置點(diǎn)能達(dá)到二階精度，且與α取值無關(guān)．

致謝 內(nèi)江師范學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(14ZA02)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

參考文獻(xiàn)

［1］ANDREEV A V．Development of direct numerical integration methods for one－dimensional integro－differential equations in mechanics［J］．Mechanics of Solids，2007，42(2):209－222．

［2］LADOPOULOS E G．Singular Integral Equations:Linear and Non－linear Theory and Its Applications in Science and Engineering［M］．Berlin，Heidelberg，New York:Springer－Verlag，2000．

［3］LADOPOULOS E G．Non－linear singular integral equations in elastodynamics［J］．Singular Integ Eqns，2000，2000:509－532．

［4］LUO W H，HUANG T Z，LI H B，et al．A numerical method and efficient preconditioner for generalized airfoil equations［J］．Appl Math Comput，2013，219(24):11451－11459．

［5］GULSU M，OZTURK Y．Numerical approach for the solution of hypersingular integro－differential equations［J］．Appl Math Comput，2014，230(2):701－710．

［6］MALEKNEJAD K，ARZHANG A．Numerical solution of the Fredholm singular integro－differential equation with Cauchy kernel by using Taylor－series expansion and Galerkin method［J］．Appl Math Comput，2006，182(1):888－897．

［7］YANG X，XU D，ZHANG H．Crank－Nicolson/quasi－wavelets method for solving fourth order partial integro－differential equation with a weakly singular kernel［J］．J Comput Phys，2013，234(2):317－329．

［8］IOVANE G，LIFANOV I K，SUMBATYAN M A．On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics［J］．Acta Mechanica，2003，162(1/2/3/4):99－110．

［9］SHAW R E，GAREY L E．A shooting method for singular nonlinear second order Volterra integro－differential equations［J］．Inter J Math Math Sci，1997，20(3):589－598．

［10］IURIE N C，F(xiàn)AQIH F M．Approximate solution of singular integro－differential equations in generalized Holder spaces［J］．Numer Algor，2007，45:205－215．

［11］XU Y，ZHANG H．Multiple positive solutions of a m－point boundary value problem for 2nth－order singular integro－differential equations in Banach spaces［J］．Nonlinear Analysis，2009，70(9):3243－3253．

［12］張陽，薛運(yùn)華．求解一類高階線性Fredholm積分微分方程Tau方法［J］．高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27:1－5．

［13］韓惠麗，朱莉．Legendre多小波數(shù)值求解Fredholm積分－微分方程(英)［J］．寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，32(4): 301－304．

［14］魏金俠，單銳，劉文，等．CAS小波法求解高階弱奇異非線性積分微分方程數(shù)值解［J］．合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，35(9):1293－1296．

［15］陳一鳴，劉麗麗，孫璐，等．Adomian分解法求解非線性分?jǐn)?shù)階Fredholm積分微分方程［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，26(4):785－790．

［16］單銳，魏金俠，張雁．Bernstein算子矩陣法求高階弱奇異積分微分方程數(shù)值解［J］．華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，33(5):595－600．

A Finite Difference-collocation Method for Second-order Fredholm Integro-differential Equations

QIN Yanmei1，LUO Weihua1，KONG Hua1，ZHANG Li2

(1．Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province Colleges and Universities/ College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal College，Neijiang 641112，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610064，Sichuan)

In this paper，based on the central difference and piecewise linear Lagrange interpolation function，a finite differencecollocation method is presented for second-order linear Fredholm integro-differential equations．The corresponding algebraic equations are obtained．Three numerical examples are employed to illustrate the effectiveness of the proposed technique．

collocation method;finite difference;Fredholm integro-differential equation;Lagrange interpolation

O242．21

A

1001－8395(2016)04－0531－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．013

(編輯 周 俊)

2016－01－31

國家自然科學(xué)基金(11301257)和四川省教育廳青年基金(15ZA0288、16ZB0300和11ZB083)

*通信作者簡介:張 莉(1982—)，女，講師，主要從事偏微分方程數(shù)值解的研究，E－mail:lizhang_hit@163．com

2010 MSC:65M70