切換斷路時間對非線性切換系統(tǒng)振蕩特性的影響

陳章耀,王亞茗

(江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

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切換斷路時間對非線性切換系統(tǒng)振蕩特性的影響

陳章耀,王亞茗

(江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

摘要：針對切換斷路時間對非線性切換系統(tǒng)影響的問題，構建了非線性混合切換系統(tǒng)數(shù)學模型，并以廣義Boh?ffer-Vander Pol(BVP)切換電路為例，進一步畫出了不同切換斷路時間的切換系統(tǒng)分岔圖。對分岔圖的分析表明：切換斷路時間對切換系統(tǒng)的各種振蕩行為如混沌解和周期解等會產(chǎn)生不同程度的影響。另外，考慮切換斷路時間情況下，切換系統(tǒng)還會產(chǎn)生一種特殊的倍周期分岔行為。

關鍵詞：非線性動力系統(tǒng)；混合切換；切換斷路時間；廣義BVP系統(tǒng)

0引言

切換是工程中常見的控制方法，如電網(wǎng)控制[1]、飛行器導航[2]和汽車換擋[3]等都有切換系統(tǒng)的應用。其中，線性切換系統(tǒng)已有很多研究[4-5]，而非線性系統(tǒng)由于較為復雜，研究還相對較少。在非線性動力學領域，學者們已經(jīng)構建了大量描述自然規(guī)律和工程現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)模型，如Chua式電路[6]和Duffing方程[7]等，這些系統(tǒng)加入切換條件后會產(chǎn)生更為復雜的現(xiàn)象，因此，需要深入探討具體切換系統(tǒng)的動力學演化過程，進而揭示其本質。

非線性切換系統(tǒng)按切換規(guī)則可以分為時間切換、狀態(tài)切換和混合切換。關于時間切換系統(tǒng)的研究較多[8-10]，而狀態(tài)切換和混合切換系統(tǒng)的相關研究則相對較少[11-12]，并且這些研究所用的模型都較為理想化，即在滿足切換條件的時刻，切換系統(tǒng)瞬間從一個子系統(tǒng)切換到另一個子系統(tǒng)。在實際應用中，切換系統(tǒng)從一個子系統(tǒng)斷開，切換到另一個子系統(tǒng)，會產(chǎn)生一段切換斷路時間，關于該因素對切換系統(tǒng)造成的影響還鮮有報道。因此,本文以廣義Boh?ffer-Vander Pol(BVP)電路[13]為例，通過設置依賴于狀態(tài)的切換條件，并考慮切換斷路時間對切換系統(tǒng)的影響，研究具有復雜振蕩行為的非線性切換系統(tǒng)，以期為實際應用提供理論依據(jù)。

1切換系統(tǒng)數(shù)學模型的建立

本文的切換斷路時間是指切換系統(tǒng)在子系統(tǒng)之間切換時，由于切換裝置的物理結構，從一個子系統(tǒng)切換到另一個子系統(tǒng)過程中，必然有一段切換所需要的時間，該段時間不受兩個非線性子系統(tǒng)控制。而在該段時間內，電路會形成一個新的線性系統(tǒng)，把這個新的系統(tǒng)也看成一個子系統(tǒng)?？紤]切換斷路時新的線性子系統(tǒng)，切換系統(tǒng)一共有3個子系統(tǒng)，實質上是一個時間和狀態(tài)的混合切換系統(tǒng)。其數(shù)學模型通?？珊唽憺椋?/p>

(1)

其中：X={x,y,z}T；Fσ為相應的子系統(tǒng)；σ表示相應的切換規(guī)律，數(shù)學定義為：

其中：τ0為切換斷路時間;σ=1為切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制;σ=2為切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)2控制；σ=0+為從子系統(tǒng)1切換到子系統(tǒng)2的中間過程；σ=0-為從子系統(tǒng)2切換到子系統(tǒng)1的中間過程；X=X01和X=X02為相應子系統(tǒng)的狀態(tài)切換面，用∑1和∑2表示。這樣就把切換斷路問題轉化成3個子系統(tǒng)的混合切換問題，通過調整切換斷路時間T的值，來研究其對整個系統(tǒng)的影響。

模型(1)是廣義的切換系統(tǒng)模型，具有概括性。為了分析更為具體的切換系統(tǒng)振蕩行為，本文用一個具有復雜動力學行為的廣義BVP振蕩模型，通過一個雙向開關構建了一個非線性切換電路系統(tǒng)，如圖1所示。之所以引入電路系統(tǒng)，是因為實際中很多動力學模型的運動情況都可以通過傳感器轉化為電路信號，通過構建與實際數(shù)學模型對應的電路系統(tǒng)，就可以完全模擬實際振蕩情況，大大方便對實際系統(tǒng)的分析。

圖1　廣義BVP切換電路

該電路系統(tǒng)由一個線性電阻r、兩個電容C、一個電感L和兩個不同的非線性電阻R1、R2組成。開關S隨電壓v1的不同,會在SW1和SW2之間切換。其切換規(guī)律為：假設開關位于SW1，在系統(tǒng)振蕩過程中電壓v1的值達到v1=vS2時，開關S離開SW1，并消耗時間T切換到SW2；當系統(tǒng)振蕩過程中v1的值達到v1=vS1時，開關S離開SW2，消耗時間T回到SW1。當開關在SW1或SW2端時，均為一廣義BVP系統(tǒng)，只是非線性電阻不同；當開關處于SW1和SW2之間，失去非線性電阻的線性電路構成子系統(tǒng)0。系統(tǒng)狀態(tài)可以由如下方程描述：

(2)其中：σ每取一個值，就對應一個方程組，σ=1時，開關S位于SW1，系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制；σ=2時，開關S位于SW2，系統(tǒng)受子系統(tǒng)2控制；σ=0±時，系統(tǒng)處于切換過程中，受新的線性子系統(tǒng)0控制。gσ(v1)=-aσv1-bσtanh(cσv1)表示非線性電阻的電壓和電流特性，aσ、bσ和cσ為常數(shù)(σ=1,0±,2)，σ=0±時，a0=b0=0，即g0(v1)=0。

(3)

其中：x,y,z分別為圖1中廣義BVP切換電路的電壓v1、v2和電流i無量綱化后的未知變量;Aσ、Bσ和δ都是和電路中電容電感相關的參數(shù)，當σ=0±時，A0=B0=0。由于式(3)中的所有變量和參數(shù)都是無因次量，因此沒有單位。

2切換斷路時間對切換系統(tǒng)振蕩特性的影響

只要存在切換斷路時間T，肯定會對切換系統(tǒng)造成影響，T越大對系統(tǒng)的影響也越大，T趨向于0時對系統(tǒng)影響最小。當T增大到一定程度，軌線會脫離切換條件控制落入子系統(tǒng)的其他吸引域，因此，本文選取一個盡量大但又不會使軌線脫離切換條件控制的T值范圍進行研究，以便觀察其對切換系統(tǒng)的影響。這里選0≤T≤0.22，并且令A1=B1=0.7，A2=B2=q，取狀態(tài)切換面∑1∶x=0,∑2∶x=2，初始值為(0,0.665,0.124)，分別畫出不考慮切換斷路時間的理想狀態(tài)和考慮切換斷路時間的切換系統(tǒng)隨q變化的分岔圖，用以比較其振蕩行為的差異。

在比較差異之前，首先簡要說明該切換系統(tǒng)的運動規(guī)律。取q=0.67,T=0.22，對考慮切換斷路時間的切換系統(tǒng)軌線路徑進行分析，其相圖和時間歷程圖如圖2所示。從圖2a中可以明顯看出：這是一個周期一振蕩，可以分為AB、BC、CD和DA這4個部分。首先，假設初始點為A，切換系統(tǒng)受子系統(tǒng)1控制沿圖2a中箭頭方向的粗實線運動。當運動到切換面∑2上的B點，滿足切換條件發(fā)生切換，切換后開關需要時間T=0.22才能到達子系統(tǒng)2，在這段時間里軌線受新形成的子系統(tǒng)0控制沿細線BC運動。當經(jīng)過時間0.22后軌線到達C點，開關切換到子系統(tǒng)2，因此，軌線受子系統(tǒng)2控制沿實線CD運動。當運動到切換面∑1上的D點，又滿足切換條件產(chǎn)生切換，而切換過程同樣需要時間T=0.22才能到達系統(tǒng)1，這段時間內同樣受子系統(tǒng)0控制沿細線DA運動。最后經(jīng)過時間T=0.22回到A點形成一個周期一振蕩。從圖2b中可以很清楚地看出q=0.67,T=0.22時切換系統(tǒng)在x方向隨著時間變化的振蕩行為，其中，A點、B點、C點和D點與圖2a中的點相對應。

圖2　q=0.67,T=0.22時切換系統(tǒng)振蕩機理圖

通常，畫出切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖可以很好地表現(xiàn)其分岔特性，因此,取不同的切換斷路時間T的值，畫出切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖，并對這些圖進行比較，觀察不同的時間T對切換系統(tǒng)分岔圖的影響，以便發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。其中，分別取T=0和T=0.22，以∑1為Poincaré截面，畫出參數(shù)q∈(0.664,0.900)切換系統(tǒng)的分岔圖,如圖3所示。

圖3　不同切換斷路時間T時切換系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖

由圖3可以看出：隨著T的增大，切換系統(tǒng)的動力學行為有很大改變。首先，不考慮切換時間的切換系統(tǒng)分岔圖中參數(shù)為(0.775,0.894)的混沌區(qū)域，在考慮切換時間后隨著時間的增大，大部分參數(shù)范圍都變?yōu)橹芷谡袷?，局部參?shù)范圍還會產(chǎn)生新的混沌現(xiàn)象。另外，在圖3a中，參數(shù)為q∈(0.664,0.775)的周期解區(qū)域，隨著T的增大，大部分參數(shù)范圍都變?yōu)榛煦鐓^(qū)域，少部分區(qū)域周期解的結構發(fā)生了改變。在不考慮切換時間時出現(xiàn)的如圖3a周期解區(qū)域的周期突變現(xiàn)象，隨著時間T的增大，會逐漸消失，在圖3b中已經(jīng)幾乎看不到周期突變現(xiàn)象。

3切換斷路導致新的分岔行為

圖4　　　　T=0.22時切換系統(tǒng)在參數(shù)q為　　　(0.702 0,0.714 0)時的分岔圖

當切換斷路時間T增大到一定程度，如當T=0.22，還會產(chǎn)生一種特殊的倍周期分岔行為，圖4為圖3b在參數(shù)q為(0.702 0,0.714 0)的放大圖，通過圖4可以看出其分岔過程。

通常倍周期分岔都對應著通往混沌的路徑，而在圖4中，隨著參數(shù)的變大，在參數(shù)q(0.703 7,0.707 7)時切換系統(tǒng)發(fā)生2次倍周期分岔，即從周期二解分岔為周期四解，又從周期四解分岔為周期八解。但是，該過程并沒有形成概周期解或者通往混沌，而是又轉化為周期四解。這里的倍周期分岔指的是相應切換面上切換點數(shù)目的成倍增長，其成倍增長的過程構成了其分岔序列。圖5a和圖5b分別是q=0.704 0和q=0.706 0時切換系統(tǒng)的相圖，通過比較可以明顯發(fā)現(xiàn)：圖5b的周期數(shù)要比圖5a的周期數(shù)多，在圖5a中切換系統(tǒng)存在一個周期二解，其對應的每個子系統(tǒng)控制的軌線都存在兩種運動，兩種不同的運動循環(huán)構成了一個周期二解。在圖5b中，切換系統(tǒng)存在一個周期八解，可以發(fā)現(xiàn)其振蕩行為已經(jīng)類似混沌，但還是周期解，隨著參數(shù)的變大并沒有變?yōu)榛煦纭?/p>

圖5　T=0.22時切換系統(tǒng)的特殊倍周期分岔過程

4結論

考慮切換斷路時間的狀態(tài)切換系統(tǒng)，實質上是一個有3個子系統(tǒng)的時間狀態(tài)混合切換系統(tǒng)?？紤]切換斷路時間后，隨著斷路時間T的變大，在相同參數(shù)和初始值下，原狀態(tài)切換系統(tǒng)的混沌解會轉化成周期解和不同類型的混沌解，而周期解的結構也會逐漸發(fā)生變化，并可能演化成混沌解。因此，實際應用中應綜合考慮切換系統(tǒng)的動力學特性，把切換斷路時間控制在一個合理的值。最后，考慮切換斷路時間的切換系統(tǒng)還會產(chǎn)生與原切換系統(tǒng)不同的分岔行為，主要體現(xiàn)在倍周期分岔并沒有通向混沌。

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基金項目：國家自然科學基金項目(11472115,11572141,11502091);鎮(zhèn)江市科技攻關基金項目(GY2013032,GY2013052)

作者簡介：陳章耀(1960-),男,江蘇鎮(zhèn)江人,副教授,博士,碩士生導師,主要從事非線性動力學方面的研究.

收稿日期：2016-03-08

文章編號：1672-6871(2016)05-0087-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.019

中圖分類號：O322

文獻標志碼：A