基于有限元理論的含裂紋結(jié)構(gòu)1/4奇異單元計(jì)算分析

黃翱　　楊大尉　　鄭健

(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西南寧　530004)

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基于有限元理論的含裂紋結(jié)構(gòu)1/4奇異單元計(jì)算分析

黃翱楊大尉鄭健

(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西南寧530004)

摘要:介紹了ANSYS中1/4奇異單元的構(gòu)造，采用1/4奇異單元進(jìn)行了算例計(jì)算，并將結(jié)果與解析解作了對比，分析了該奇異單元的精度與應(yīng)用范圍，得出了采用奇異單元進(jìn)行斷裂分析的特性。

關(guān)鍵詞:1/4奇異單元，有限單元法，斷裂分析，應(yīng)力強(qiáng)度因子

隨著現(xiàn)代高強(qiáng)材料和大型結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，一些按傳統(tǒng)強(qiáng)度理論和常規(guī)方法設(shè)計(jì)、制造的產(chǎn)品，發(fā)生了不少重大斷裂事故。如20世紀(jì)50年代，美國北極星導(dǎo)彈固體燃料發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)射時(shí)發(fā)生低應(yīng)力脆斷;1965年，英國某大型合成塔在水壓試驗(yàn)時(shí)斷裂成兩段。事后的調(diào)查分析都指出事故起源于構(gòu)件中的裂紋。

在分析裂紋的理論中，傳統(tǒng)的強(qiáng)度理論通常按照式(1)進(jìn)行計(jì)算:

從式(1)可以看出，傳統(tǒng)強(qiáng)度理論并沒有考慮材料中是否有缺陷，對有缺陷的材料，傳統(tǒng)強(qiáng)度理論往往不能對安全可靠性做出正確的判斷。因此有必要對裂紋區(qū)進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)的分析。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及大型通用計(jì)算軟件的出現(xiàn)，人們越來越多的將目光轉(zhuǎn)向數(shù)值方法進(jìn)行分析計(jì)算斷裂問題。數(shù)值法能夠模擬復(fù)雜的幾何外形、邊界條件以及荷載工況，結(jié)合先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)，數(shù)值法得到了廣泛應(yīng)用，其中形成于20世紀(jì)60年代的有限元方法發(fā)展尤其迅速。為了解決由于裂尖應(yīng)力應(yīng)變r(jià)－1/2的奇異性造成的計(jì)算不準(zhǔn)確的問題，誕生了斷裂分析的特殊單元，該類單元通常自身應(yīng)變場具備奇異性，其中以傳統(tǒng)的1/4節(jié)點(diǎn)奇異單元最具代表性，它已發(fā)展出二維的8節(jié)點(diǎn)四邊形奇異單元、6節(jié)點(diǎn)三角形奇異單元和三維的12節(jié)點(diǎn)四面體單元、20節(jié)點(diǎn)六面體單元。GRAY［1］對奇異單元進(jìn)行了改進(jìn)，在形函數(shù)中加入三次項(xiàng)，該形函數(shù)使單元位移在裂尖遠(yuǎn)場具有線性而在裂尖依舊保持奇異性，改進(jìn)的奇異單元比普通奇異單元具備更高的精度。然而奇異單元依舊存在應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的計(jì)算精度依賴于奇異區(qū)大小的人為選取、后處理麻煩的缺陷［2，3］，故應(yīng)分析其適用范圍及計(jì)算精度。

1　1/4奇異單元的構(gòu)造

常見的四邊形奇異單元法由8節(jié)點(diǎn)等參元將邊中節(jié)點(diǎn)移至近裂尖1/4單元邊長處，從而使單元的應(yīng)力應(yīng)變具有r－1/2的奇異性。

如圖1所示，8節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元(角點(diǎn)i=1，3，5，7)，在單元局部坐標(biāo)系Oξη中的形函數(shù)可以表示為:

上下邊中間節(jié)點(diǎn)(i=2，6):

左右邊中間節(jié)點(diǎn)(i=4，8)。

于是在邊η=－1上有:

經(jīng)過裂尖的徑向線段123，如圖2所示。

圖18　節(jié)點(diǎn)等參元

圖2　奇異性構(gòu)造原理

在以裂尖O為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中，有:

在單元局部坐標(biāo)系中有:

通過坐標(biāo)變換可以得到該線段上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為:

在式(8)中令l=1/4，則可得到:

在一維單元中，該線段上任意節(jié)點(diǎn)的位移可以插值表示為:

應(yīng)變可表示為:

而:

因此:

所以有任意節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?

由式(14)可看出，當(dāng)r→0時(shí)有ε→∞，即裂尖應(yīng)變具有r－1/2的奇異性，在彈性范圍內(nèi)σ=Eε，應(yīng)力在裂尖同樣具備奇異性。ANSYS中將8節(jié)點(diǎn)四邊形奇異單元的一條邊壓縮成一點(diǎn)，改進(jìn)后任何沿裂尖出發(fā)的射線，其應(yīng)力、應(yīng)變都呈r－1/2的奇異性，構(gòu)造的奇異單元如圖3所示。

圖3　2-D模型的奇異單元

2　算例分析

如圖4所示兩邊有穿透裂紋的有限寬板，兩端承受均布拉力f作用。材料彈性模量E=206×109Pa，泊松比μ=0．3，平板及裂紋尺寸如圖4所示。分析Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ與文獻(xiàn)［4］中解析解的差異。

選用Plane82單元進(jìn)行分析，該單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度，分別為x和y方向的平移，既可用作平面單元，也可用作軸對稱單元。Plane82單元具有塑性、蠕變、輻射膨脹、應(yīng)力剛度、大變形以及大變異的能力，可以很好的模擬平板受力的平面應(yīng)力問題。以a/b=0．2為例，這時(shí)的應(yīng)力分布云圖如圖5所示。

圖5　a/b=0.2時(shí)的應(yīng)力分布圖

為了分析對比有限元解與理論解，下面將a/b的值從0．1到0．65變化時(shí)有限元得出的KⅠ值與解析解得出KⅠ進(jìn)行對比。結(jié)果列于表1中。

表1　不同裂紋寬度的KⅠ

由表1可以看出，數(shù)值解與解析解的誤差穩(wěn)定在8%～10%以內(nèi)，同時(shí)對于兩邊有穿透裂紋的有限寬板，裂紋寬度的變化對于數(shù)值解與解析解的偏差影響不大，但在a/b=0．5時(shí)KⅠ的偏差有一個(gè)增大的突變，說明1/4奇異單元的解不是很穩(wěn)定。

為了比較網(wǎng)格劃分粗細(xì)對KⅠ計(jì)算結(jié)果的影響，在a/b=0．2時(shí)裂尖取不同數(shù)目的奇異單元進(jìn)行計(jì)算各自的KⅠ并以解析解為基準(zhǔn)進(jìn)行誤差分析。計(jì)算結(jié)果見表2。

表2　裂尖奇異單元數(shù)對KⅠ計(jì)算結(jié)果的影響

由表2可以看出，裂尖奇異單元個(gè)數(shù)對計(jì)算精度影響不大，即裂尖網(wǎng)格不必劃分的很細(xì)即可得到穩(wěn)定的結(jié)果。但同時(shí)數(shù)值解與理論解的偏差值始終在8%～10%之間，說明奇異單元的精度有待提高。

3　結(jié)語

本文通過詳細(xì)介紹1/4奇異單元的構(gòu)造過程說明其可以滿足裂尖r－1/2奇異性的要求，因此能夠應(yīng)用到斷裂問題的計(jì)算中。對比了用ANSYS中1/4奇異單元計(jì)算得到的Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ與解析解給出的KⅠ，并且分析了用奇異單元計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)裂尖劃分不同單元數(shù)得出的KⅠ的差異;進(jìn)一步給出了奇異單元進(jìn)行斷裂分析時(shí)的特性。結(jié)果表明:

1)1/4單元在裂尖可以不必進(jìn)行精細(xì)的網(wǎng)格劃分即可得到較準(zhǔn)確的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值。2)不同裂紋長度進(jìn)行斷裂分析時(shí)，1/4奇異單元的計(jì)算結(jié)果可能不穩(wěn)定，但偏差不是很大。3)1/4奇異單元計(jì)算的結(jié)果與解析解的偏差總是大于8%，即使細(xì)分網(wǎng)格也不能有顯著提高，說明1/4奇異單元的計(jì)算精度有待改進(jìn)。

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中圖分類號:TU311

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1009-6825(2016)17-0034-03

收稿日期:2016-04-04

作者簡介:黃翱(1989-)，男，碩士，工程師;楊大尉(1992-)，男，在讀碩士;鄭健(1990-)，男，在讀碩士

On 1/4 singular element calculation and analysis of cracked structures based on finite element theory

Huang AoYang DaweiZheng Jian
(College of Architectural Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China)

Abstract:Based on the finite element theory，the paper introduces the 1/4 singular element calculation in ANSYS，undertakes the comparison between results and analytical solution，analyzes the accuracy and applied scopes of the singular elemnt，and concludes the features for the crack analysis of the singular element．

Key words:1/4 singular element calculation，finite element method，crack analysis，stress intensity factor