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    改進(jìn)的超越函數(shù)分段線性逼近方法

    2016-07-19 19:17:09田征杜慧敏黃小康
    計(jì)算機(jī)應(yīng)用 2016年7期
    關(guān)鍵詞:斜率分段線性

    田征 杜慧敏 黃小康

    摘要:針對(duì)超越函數(shù)計(jì)算中所采用的分段線性逼近算法存在的無(wú)法提前確定精度及部分區(qū)間資源浪費(fèi)的問(wèn)題,提出一種改進(jìn)的分段線性逼近超越函數(shù)算法。該算法由預(yù)定義的逼近區(qū)間端點(diǎn)計(jì)算出用于逼近的線性函數(shù),根據(jù)被逼近函數(shù)的凹凸性對(duì)所計(jì)算線性函數(shù)進(jìn)行調(diào)整,在此基礎(chǔ)上計(jì)算出預(yù)定義逼近區(qū)間內(nèi)調(diào)整后函數(shù)與被逼近函數(shù)之間的最大誤差;按照所需精度的要求,自動(dòng)調(diào)整逼近區(qū)間,通過(guò)該過(guò)程的迭代,獲得了較少分段次數(shù)。算法結(jié)果在Matlab上進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果表明,所提算法的分段數(shù)相比等分法減少了60%。所提算法在保證精度的前提下,降低了查找表(LUT)的資源消耗。

    關(guān)鍵詞:

    分段線性逼近;超越函數(shù);查找表;資源浪費(fèi);優(yōu)化分段方法

    中圖分類號(hào): TP391.75 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    0引言

    圖形處理器(Graphics Processing Unit, GPU)是各種嵌入式系統(tǒng)、個(gè)人機(jī)(Personal Computer, PC)、工作站和游戲機(jī)等不可缺少的重要部件。浮點(diǎn)超越函數(shù)單元是GPU數(shù)據(jù)通路中的重要部件,其性能直接影響圖形渲染效果[1-2]。

    目前在現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FieldProgrammable Gate Array, FPGA)中計(jì)算超越函數(shù)常用的方法有級(jí)數(shù)近似法、查表法(Look Up Table, LUT)、坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算(Coordinate Rotation Digital Computer, CORDIC)算法和分段線性逼近法等。

    其中,級(jí)數(shù)近似法展開式較為復(fù)雜,硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜,資源消耗較大。查表法雖然計(jì)算簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn),但是所需存儲(chǔ)單元隨著計(jì)算精度的提高呈指數(shù)形式增加,資源消耗大[3]。CORDIC算法[4]作為一種便于FPGA實(shí)現(xiàn)的超越函數(shù)計(jì)算方法得到了廣泛關(guān)注,但其收斂速度與數(shù)據(jù)的表示精度成反比,當(dāng)精度要求較高時(shí),算法的迭代次數(shù)較多,計(jì)算延遲會(huì)增大。與之相比,分段線性逼近法[5-6]將低階多項(xiàng)式與較小的查找表相結(jié)合,資源消耗少,速度較快,被廣泛應(yīng)用于傳感網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)壓縮[7]、非線性模型到線性模型的轉(zhuǎn)換[8]以及圖形圖像處理[9]等領(lǐng)域,已成為在計(jì)算資源有限條件下超越函數(shù)計(jì)算的一種較為理想的選擇。

    為了提高函數(shù)的計(jì)算速度,在硬件設(shè)計(jì)中一般利用查找表實(shí)現(xiàn)分段線性逼近算法[6],段數(shù)越多,查找表越大,誤差則越小,因此,分段線性逼近算法需要在查找表、精度和分段數(shù)目之間尋求一個(gè)合理的平衡。其中有均方誤差法[10]、區(qū)間2k等分法[11]、面積法[12]等多種分段算法,但這些算法都是在計(jì)算完成后才可以知道分段精度,難以在精度已知的條件下完成分段數(shù)的計(jì)算。

    文獻(xiàn)[6]中提出了一種超越函數(shù)計(jì)算的最佳等距分段線性逼近(Optimal EquiDistant PieceWise Linear approximation,OED_PWL)方法,該方法可以通過(guò)調(diào)節(jié)分段數(shù)目來(lái)完成計(jì)算精度的靈活控制,從而可以在保證精度的條件下完成分段數(shù)的計(jì)算。相較區(qū)間2k等分法其算法性能、資源消耗等方面的表現(xiàn)更好;但是,根據(jù)文獻(xiàn)[6]提出的方法進(jìn)行tanh函數(shù)計(jì)算時(shí),部分區(qū)間的計(jì)算誤差較大,原因是tanh函數(shù)斜率在某些分段較平緩,而在另外一些分段斜率較陡峭,若采用均勻分段的方法,則存在分段平緩處的資源浪費(fèi)問(wèn)題。在后面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中,本文會(huì)與OED_PWL算法進(jìn)行對(duì)比。

    因此本文提出一種改進(jìn)的超越函數(shù)分段線性逼近方法,通過(guò)自動(dòng)識(shí)別逼近誤差進(jìn)行分段使其不斷細(xì)分,實(shí)現(xiàn)了一個(gè)精度已知條件下較優(yōu)的分段方法。

    1分段線性逼近算法基本原理

    分段線性逼近算法的原理是把非線性特性曲線分成若干個(gè)區(qū)段,在每個(gè)區(qū)段中用直線段近似地逼近特性曲線。算法原理如圖1所示。

    分段線性逼近算法是根據(jù)一定的分段方法,如面積法、等分法等,將曲線f(x)所在的一段區(qū)間[A,B]劃分為若干段,在每一段里面通過(guò)一個(gè)線性函數(shù)來(lái)進(jìn)行逼近:

    y(x)ax+b(1)

    其中:a表示線性函數(shù)的斜率;b表示線性函數(shù)的偏移量。其中,在每一段逼近區(qū)間[x1,x2]里面,區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)需要滿足:

    {f(x1)=y(x1), f(x2)=y(x2)}(2)

    在通過(guò)某種方法得到[A,B]上超越函數(shù)曲線的分段情況以及各個(gè)段的逼近系數(shù)ai、bi后,即可完成超越函數(shù)的分段線性逼近。

    算法硬件實(shí)現(xiàn)分為3步:

    步驟1按照某種方法進(jìn)行分段區(qū)間的劃分,求取所有分段點(diǎn)。

    步驟2在每個(gè)分段區(qū)間,根據(jù)兩個(gè)端點(diǎn)的值求取直線段f(x)=ax+b,將每一段的ai和bi存放在查找表中以待使用。

    步驟3利用查找表,讀取每一段直線方程的系數(shù),通過(guò)乘法和加法計(jì)算每一段函數(shù)的逼近值,從而實(shí)現(xiàn)超越函數(shù)的分段線性逼近。

    2改進(jìn)的分段線性逼近算法

    2.1算法原理

    如何在給定的精度下,得到一個(gè)較好的分段,使得應(yīng)用分段計(jì)算值滿足給定的精度要求是分段線性逼近算法的一個(gè)難題。本文提出一種基于區(qū)間2k等分法,通過(guò)迭代來(lái)獲得分段區(qū)間的分段逼近方法,接下來(lái)對(duì)其原理進(jìn)行詳細(xì)介紹。

    區(qū)間2k等分法會(huì)將[A,B]上的曲線均勻地分為2k段,k的取值取決于查找表的大小及資源的分配情況。這是分段線性逼近中最常用的一種分段方法,具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、精度較高等優(yōu)點(diǎn);但是由于超越函數(shù)曲線的斜率在定義域內(nèi)是不均勻分布的,部分計(jì)算域內(nèi)曲線段斜率較大,因此采用直線段線性逼近誤差較大;而另外一部分計(jì)算域曲線段斜率較小,逼近誤差較小。為了滿足誤差較大曲線段的誤差要求,往往會(huì)導(dǎo)致分段數(shù)過(guò)多,導(dǎo)致斜率較小曲線段的資源浪費(fèi)。

    因此本文提出一種改進(jìn)型的超越函數(shù)分段線性逼近算法,可以在精度已知的前提下,完成對(duì)分段數(shù)的最優(yōu)選取,使得計(jì)算函數(shù)誤差在一定的范圍內(nèi)。算法的主要思想為:對(duì)斜率較大、誤差較大的函數(shù)區(qū)間進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)分,避免了對(duì)曲線平滑部分分段的浪費(fèi),減少了查找表資源的消耗。

    以對(duì)數(shù)lb x在區(qū)間[1,5]的計(jì)算說(shuō)明算法的思想:首先整個(gè)逼近區(qū)間等分為[1,3]和[3,5]回復(fù):分段區(qū)間沒(méi)有問(wèn)題兩段,并對(duì)兩段分別進(jìn)行線性逼近,得到line1的兩條直線段,可以看出,在[1,3]區(qū)間的直線逼近誤差比較大,因此,對(duì)區(qū)間[1,3]繼續(xù)進(jìn)行細(xì)分,分為更小的兩個(gè)區(qū)間:[1,2]和[2,3]在等于2時(shí),兩個(gè)區(qū)間都包含在內(nèi),其中一個(gè)需用開區(qū)間來(lái)表示,請(qǐng)明確?;貜?fù):分段區(qū)間沒(méi)有問(wèn)題,并對(duì)其分別進(jìn)行線性逼近,得到兩條誤差較低的直線段line2,完成分段區(qū)間的細(xì)分過(guò)程。

    2.2算法實(shí)現(xiàn)流程

    本文實(shí)現(xiàn)的算法流程如圖3所示,通過(guò)迭代的方法來(lái)完成分段區(qū)間的計(jì)算。

    圖4說(shuō)明了算法的一次逼近過(guò)程,其中逼近區(qū)間段的中點(diǎn)處逼近誤差為d,假設(shè)原逼近直線y0=ax+b向曲線方向偏移d/2,得到新的逼近直線y1=ax+b+d/2,新的直線更加逼近曲線。

    本文在求取被逼近函數(shù)f(x)與新的逼近直線y1 (x)之間的最大誤差dmax=f(x)-y1(x),對(duì)dmax求導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)等于零,將得到x的值,代入dmax計(jì)算出最大誤差。

    在本文的改進(jìn)型分段線性逼近算法中,所有數(shù)據(jù)采用雙精度類型,在每個(gè)分段區(qū)間上,判斷被逼近函數(shù)的凹凸性以及該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在拐點(diǎn),求取逼近直線以及被逼近函數(shù)之間的最大誤差,然后與給定誤差進(jìn)行比較:若小于給定誤差,則停止該段的繼續(xù)細(xì)分;若大于給定誤差,則對(duì)該段逼近區(qū)間繼續(xù)細(xì)分。

    若刪除,可從此處刪除偽代碼。

    下面是改進(jìn)型的分段線性逼近算法的C語(yǔ)言偽代碼。

    圖3的表述,與此處的“c語(yǔ)言偽代碼”?是否有重復(fù)表達(dá)現(xiàn)象,是否可以刪除某一種表述方式?請(qǐng)明確。

    回復(fù):其中分段區(qū)間沒(méi)有問(wèn)題,還有就是那個(gè)關(guān)于偽代碼和流程圖重復(fù)問(wèn)題,我和我們老師商量了,可以刪除也可以不刪除,如果要?jiǎng)h除,就把偽代碼部分刪除。(附件是刪除偽代碼的稿件)

    程序前

    void subsection(double x0, double x1)

    {

    double y0=x0坐標(biāo)處要逼近的函數(shù)值f(x0);

    double y1=x1坐標(biāo)處要逼近的函數(shù)值f(x1);

    y′=f ″(x)=sign/*對(duì)逼近函數(shù)求導(dǎo)判斷凹凸性,sign=1表示凸函數(shù),sign=0表示凹函數(shù)*/

    令f ′(c)=0求出c值,c則為函數(shù)逼近區(qū)間內(nèi)的拐點(diǎn);

    if(y′=0)/*函數(shù)有拐點(diǎn)*/

    {

    重新劃分逼近區(qū)間為[x0,c]及[c,x1],確保每段新的逼近區(qū)間都是單調(diào)的;

    }

    else;

    mid=(x0+x1)/2.0;

    a=(y1-y0)/(x1-x0);

    b=y1-a*(x1);

    max=d=f(mid)-(a*mid+b);/*mid坐標(biāo)處的逼近誤差*/

    if(sign==1)

    b1=b+d/2.0;

    else

    b1=b-d/2.0;

    y1(x)=ax+b1;//得到新的逼近直線y1

    d=f(x)-y//被逼近函數(shù)與逼近函數(shù)的差值

    d′=f ′(x)-y′//對(duì)函數(shù)d求導(dǎo)數(shù)

    d′=f(m)-y1′(m)=0//求函數(shù)的極值點(diǎn)m

    max=f(m)-y1(m);//逼近區(qū)間內(nèi)的最大誤差

    if (max<指定誤差){

    打印x0,x1坐標(biāo),并打印逼近直線參數(shù)m及n到指定文檔;

    }

    else {

    subsection(x0,mid);

    subsection(mid,x1);

    }

    }

    //說(shuō)明:x0與x1為要逼近的函數(shù)取值范圍;

    程序后

    3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與對(duì)比

    為了更好地說(shuō)明問(wèn)題,采用1E-3和1E-4作為預(yù)設(shè)的精度,可以滿足移動(dòng)端圖形圖像處理等應(yīng)用的精度要求;取值范圍設(shè)定為[1,2],可以充分地說(shuō)明逼近的正確性。表1為各個(gè)超越函數(shù)在區(qū)間2k等分法和本文算法下得到的分段數(shù)量對(duì)比。

    可以看出,改進(jìn)后的分段線性逼近算法對(duì)斜率變化較大的超越函數(shù)作用會(huì)比較明顯。而且如果精度提升,2k分段數(shù)會(huì)劇烈增長(zhǎng),而本文提出的算法分段數(shù)增加較慢。

    表2為本文算法與其他兩種算法在相同實(shí)驗(yàn)條件下的分段結(jié)果比較,可以看出:在保證誤差精度的前提下,本文算法的分段數(shù)相比等分法減少了60%以上,相比OED_PWL法減少了20%。對(duì)于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)而言,分段數(shù)越少,需要的查找表則越小,從而節(jié)省了硬件查找表資源。

    針對(duì)超越函數(shù)中的對(duì)數(shù)函數(shù)lb (1+x),文獻(xiàn)[9,13-14]等多篇文獻(xiàn)都對(duì)其進(jìn)行了分段區(qū)間的優(yōu)化。表3為本文算法對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的分段逼近結(jié)果與其他文獻(xiàn)算法的對(duì)比,由于其他文獻(xiàn)的分段算法沒(méi)有做到精度已知下的分段劃分,因此實(shí)現(xiàn)精度各不相同。

    由表2與表3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出:

    1)與其他已經(jīng)提出的算法相比,在相同精度下,本文的算法劃分的逼近區(qū)間更少,則查找到所屬分段的時(shí)間就會(huì)變少,所占據(jù)的存儲(chǔ)空間更小,更適合用硬件實(shí)現(xiàn)。

    2)根據(jù)表3,與文獻(xiàn)[9]相比,分段數(shù)目相差不多的情況下,本文的算法可以大大降低逼近誤差。

    綜上所述,改進(jìn)型的分段線性逼近算法同樣適用于tanh(x)函數(shù)、lb x函數(shù)等多種超越函數(shù)算法。

    4對(duì)數(shù)函數(shù)的FPGA實(shí)現(xiàn)

    完成算法的基本設(shè)計(jì)之后,本文將其應(yīng)用在某個(gè)超越函數(shù)運(yùn)算單元中,用于計(jì)算以2為底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換結(jié)果,其電路結(jié)構(gòu)如圖5所示。

    對(duì)數(shù)運(yùn)算的原理如下所示:

    lb x=k+lb (1+f)(3)

    其中,對(duì)于lb (1+f)進(jìn)行分段線性逼近,絕對(duì)值模塊計(jì)算a_in的絕對(duì)值。前導(dǎo)零檢測(cè)模塊通過(guò)檢測(cè)前導(dǎo)零的個(gè)數(shù)來(lái)得到首1的位置k′。然后通過(guò)取首1之后的剩余位數(shù)來(lái)得到尾數(shù)值f。 f的高6位被用作尋址查找表來(lái)逼近lb (1+f)的非線性部分。其中,n表示尾數(shù)的位數(shù),將首1的位置數(shù)減去尾數(shù)位數(shù),將會(huì)得到首1的實(shí)際位置k。最終的轉(zhuǎn)換結(jié)果會(huì)通過(guò)連接k值和逼近區(qū)域部分的值來(lái)得到。

    其中LUT存放查找表的系數(shù),直接關(guān)系到最終消耗的硬件資源的多少。文獻(xiàn)[9]采用了15段的分段區(qū)間劃分,而經(jīng)過(guò)算法的自動(dòng)優(yōu)化,在同等精度4.1E-003條件下,本文的分段區(qū)間為7段,大大降低了查找表的資源消耗。

    5結(jié)語(yǔ)

    本文實(shí)現(xiàn)的改進(jìn)后的超越函數(shù)分段線性逼近算法可以在精度可控條件下,實(shí)現(xiàn)一個(gè)在不同取值范圍內(nèi)分段逼近區(qū)間的較優(yōu)劃分,能夠有效地降低分段區(qū)間的數(shù)量,減少查找表資源消耗。計(jì)算了多種不同的超越函數(shù),并與其他文獻(xiàn)算法進(jìn)行對(duì)比,其結(jié)果充分表明:本文算法在保證計(jì)算精度的前提下,能夠有效地降低資源消耗,并且適用于不同的超越函數(shù)計(jì)算,而且其精度已知的特點(diǎn)也進(jìn)一步增加了算法的適用性和靈活性。同時(shí),本文提出了這種改進(jìn)的算法,已經(jīng)用于自主開發(fā)的GPU上,并經(jīng)過(guò)FPGA驗(yàn)證。接下來(lái)的研究方向是采用查找表與更高階的多項(xiàng)式相結(jié)合的方式對(duì)超越函數(shù)進(jìn)行逼近,研究分段區(qū)間中的函數(shù)最優(yōu)逼近方式。

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