一塊水泥混凝土路面板塊表面曲面方程的推導及其特性

張儒雅

（上海民航新時代機場設計研究院有限公司 上海 200335）

一塊水泥混凝土路面板塊表面曲面方程的推導及其特性

張儒雅

（上海民航新時代機場設計研究院有限公司 上海 200335）

本文通過對施工狀況的簡化和抽象，推導出了一塊水泥混凝土路面板塊表面的曲面方程。該方程為二次函數(shù)。隨后討論了該曲面的等高線、坡度等特性。最后根據(jù)該曲面方程的特性對其在工程上的實際應用提出了建議。

水泥混凝土路面；攤鋪；表面曲面；曲面方程；二次曲面；等高線；雙曲線；內插；坡度

1 問題的提出

目前我國水泥混凝土路面或機場道面面層多采用兩側立模板現(xiàn)場澆筑的方式施工，如圖1、2所示。通常情況下，在面層板塊一對相互平行的長邊上立模板，控制每條模板兩個端點也就是板塊四個角點的高程，然后向兩條模板之間澆入混凝土，振搗密實后采用垂直于模板的圓柱形滾筒或攤鋪機整平模塊對混凝土表面進行初步找平，而后經人工精平后成型，后續(xù)再進行拉毛、切縫、刻槽等其他工序。

圖1 傳統(tǒng)人工方式施工水泥混凝土面層場景

圖2 攤鋪機施工水泥混凝土面層場景

在不考慮滾筒或攤鋪機整平模塊豎向撓度的大前提下，如果每條模板的兩個端點間的高差相同，那么這塊水泥混凝土板塊表面顯然為一平面。但在實際情況中卻存在兩模板端點高差不同的情況，如道路的超高漸變段、交叉口等橫坡變化處，機場道面的道口、機坪內的扭坡段等等。從直覺上想象，這些部位的水泥混凝土板塊表面應該為一曲面，這就提出了此曲面的方程為何，有何特性等問題。接下來本文將推導此曲面的解析方程，并結合工程上的實際應用對其特性進行初步探討。

2 板塊表面曲面方程的推導

2.1 問題的簡化和抽象

以一塊板塊的某一角點O為原點建立坐標系。為便于該曲面等高線的討論，以過O點的水平面為Oxy平面，y軸為模板方向，x軸與之垂直，z軸豎直向上，如圖3所示。板塊的另外三個角點分別為A、B、C，那么直線OA和BC分別代表兩條模板，設P為OA上的動點，Q為BC上的動點，且動直線PQ始終與y軸垂直，即平行于Oxz平面。當滾筒或整平模塊（不考慮豎向撓度）在模板上前后運動時，相當于動直線PQ沿OA和BC運動，那么動直線PQ運動所形成的曲面即為所求的板塊表面曲面OACB。

圖3 板塊曲面推導簡圖

2.2 曲面方程的推導

設所討論的一塊板塊長度（沿模板方向）為l，寬度為m，角點A、B、C與O點的高差分別為a，b，c。那么點A、B、C的坐標就分別為（0，l，a）、（m，0，b）、（m，l，c），則向量={0，l，a}，向量={0，l，c-b}。

所以直線OA的參數(shù)方程為[1]：

（t為參數(shù)）

直線BC的參數(shù)方程為[1]：

（t為參數(shù)）

由于動直線PQ始終與y軸垂直，即點P、Q的y坐標應相同，因此可設點P、Q的坐標分別為（0，tl，ta）、（m，tl，b+t(c-b)）。故向量={m，0，b+t(c-b-a)}，所以動直線PQ的參數(shù)方程為[1]：

（s、t為參數(shù)）

上式即所求曲面OACB的參數(shù)方程，消去式中的參數(shù)s、t，即得到該曲面一般方程為：

由此可見，所求曲面為二次曲面，下面繼續(xù)探討其特性。

3 所求曲面的特性

上述曲面的推導過程雖然是由水泥混凝土板塊澆筑的實際情況引出的，但推導過程中并未對其中所使用參數(shù)和自變量x，y的正負或取值范圍進行限制，因此該曲面方程在滿足l≠0且m≠0的大前提下各參數(shù)和自變量x，y可取任意實數(shù)值。由此我們可以得出以下幾點該曲面的重要性質。

（1）該曲面與平面x=x0或y=y0相交的交線均為直線。

（2）該曲面與平面z=z0相交的曲線方程為：

當c-b-a≠0時該曲線為一雙曲線，其漸進線為z=z0平面上的兩條直線：

該兩直線的位置與 z0的取值無關，也即本文所討論曲面的等高線為一族以上述兩條直線為漸進線的雙曲線。

（3）當c-b-a=0即∥時該曲線退化為平面，其等高線也變?yōu)橹本€。

（4）為考察該曲面沿x，y方向的坡度，分別取兩個方向的偏導數(shù)得到：

由此可知，該曲面沿某個方向的偏導數(shù)與該方向自變量取值無關，也即該方向的坡度為定值，這也從另一方面驗證了性質（1）。當c-b-a≠0時，令兩個方向的偏導數(shù)均等于零可以求得一點（），該點在兩個方向上的坡度均為零，該點同時也是曲面等高線所組成的雙曲線族的兩條漸進線的交點。

下面分別為其三維圖像和平面等高線圖[2]，可以明顯的看出其相關特性。

圖4 曲面三維圖像（l=5，m=4，a=-1，b=-1，c=2）

圖5 曲面等高線圖（l=5，m=4，a=-1，b=-1，c=2）

4 工程上實際應用

基于上述曲面的解析方程和性質討論，在工程實際中對水泥混凝土板塊的設計和施工可以得到以下幾點實際用途：

（1）在已知四個角點高程的前提下，板塊上任意一點的高程均可通過直線內插的方式求出，而且采用任一組相互平行的邊內插出的高程結果相同。

（2）為防止板塊積水，設計時盡量避免兩個方向坡度均為零的點位于板塊中，即盡量避免點（）位于曲面OACB內部。

[1]同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學第六版，高等教育出版社，2007；

[2]丁大正，Mathematica基礎與應用，電子工業(yè)出版社，2013。

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1007-6344（2016）07-0021-01

張儒雅（1981～），男，漢族，工程師，目前于上海民航新時代機場設計研究院有限公司從事機場設計工作。