關于不定積分解題方法的探討

韓艷娜

(商丘學院 計算機工程學院，河南 商丘 476000)

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關于不定積分解題方法的探討

韓艷娜

(商丘學院 計算機工程學院，河南 商丘 476000)

摘要：分析不定積分的直接積分法、換元積分法和分部積分法的解題方法，可以幫助學生更好地掌握不定積分的求解方法.通過實例對一道不定積分題用了多種方法求解，使學生更靈活地掌握這些方法.

關鍵詞：不定積分；直接積分法；換元積分法；分部積分法

0引言

1直接積分法

適用對象：該方法只能求出很少一部分比較簡單的函數(shù)的不定積分.

處理方法：被積函數(shù)經(jīng)過整理、恒等變形后能夠根據(jù)不定積分運算法則和不定積分公式直接寫出原函數(shù).

2換元積分法

換元積分法就是通過適當?shù)淖兞看鷵Q，把積分轉化為積分表中的類型或容易積分的形式[3].

2.1第一類換元積分法

第一類換元積分法又稱湊微分法，它通過引入中間變量u=φ(x)，把原來對自變量x的積分變?yōu)閷χ虚g變量u的積分[4]：

適用對象：主要用于被積函數(shù)是復合函數(shù)的不定積分.

處理方法：在求積分時，應先找復合函數(shù)的中間變量u=φ(x)，把中間變量的微分du=φ′(x)dx“湊”出來，把被積函數(shù)由自變量為x的復合函數(shù)轉化為自變量為u的單一函數(shù)，再根據(jù)直接積分法得F(u)+C，最后再將u換回φ(x)即可.

2.2第二類換元積分法

第二類換元積分法又稱變量代換法，引入變量x=φ(t)，把原來關于自變量x的積分轉化為關于新自變量t的積分.

適用對象：主要適用于被積函數(shù)中含有根式的不定積分，通過變量代換把根式消去.

3分部積分法

適用對象：主要適用于被積函數(shù)是兩個不同類型的函數(shù)乘積的不定積分，形如∫f(x)g(x)dx.

處理方法：選取其中的一個函數(shù)u，另一個函數(shù)看成v′，通過湊微分得到dv.在使用分部積分法時，要注意兩點：(1)在選取函數(shù)v′時，v要容易求出，這是分部積分法的前提；(2)積分∫vdu比∫udv簡單，把一個較難的積分轉化為一個較簡單的積分，這是分部積分法的目的.

一般情況下u的選擇順利為“反三角、對數(shù)、冪、三角、指數(shù)”型函數(shù)，剩余的函數(shù)選為v′[5].

例4求∫xcosxdx.

4.1多種解法

方法1第一類換元積分法.

方法2第二類換元積分法.

方法3第二類換元積分法.

方法4第二類換元積分法.

同理可得，當x<0時此結果也成立.

方法5[6]第二類換元積分法.

方法6先整理再換元.

方法7[1]分部積分法.

4.2積分結果的統(tǒng)一

在上述第二類換元積分法中，由于用了不同的函數(shù)進行換元，故所得不定積分的結果在形式上出現(xiàn)了不同，下面證明上述求法的結果本質上是一樣的，因此，只需證明

(1)

(2)

(3)

由于不定積分結果在形式上的多樣性，故不同的積分方法求得的結果也不一樣，它們都可能是正確的，我們只需將所求結果求導看它是否等于被積函數(shù)即可.

參考文獻

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[3]何挺.不定積分三種基本解題方法的歸類[J].安順師范高等專科學校學報，2004，6(4):78-81.

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[6]同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學:上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：200-203.

Discussing the Solving Methods of Indefinite Integration

HAN Yanna

(School of Computer Engineering， Shangqiu University， Shangqiu 476000， China)

Abstract:Discussing the solving methods of indefinite integration with direct integration, substitution and integration by parts to help students master the method of indefinite integral. It can help students use these methods flexibly by solving one sample of indefinite integration with different methods.

Key words:indefinite integral； direct integration； integral method by substitution； integration by parts

收稿日期：2016-01-30

基金項目：河南省高等學校重點基金項目(16A110015)

作者簡介：韓艷娜(1981—)，女，河南周口人，商丘學院計算機工程學院講師.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.014

中圖分類號：O172.2

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0059-04