次對合矩陣及其性質(zhì)

周　濤

(重慶師范大學涉外商貿(mào)學院 數(shù)學與計算機學院, 重慶 401520)

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次對合矩陣及其性質(zhì)

周濤

(重慶師范大學涉外商貿(mào)學院 數(shù)學與計算機學院, 重慶 401520)

摘要：根據(jù)次對合矩陣的定義, 從一個實例出發(fā), 討論了實次對合矩陣的存在性, 最后給出了次對合矩陣的若干性質(zhì).

關(guān)鍵詞：次單位矩陣; 次對合矩陣; 對角矩陣; 次對角矩陣; 張量積

1準備知識

本文用E表示單位矩陣；Jn表示次對角線元素為1，其余元素全為0的n階方陣，稱為n階次單位矩陣, 在不引起混亂的情況下,也簡記為J, 顯然有J-1=J；A*表示矩陣A的伴隨矩陣;A∈Pn×n表示數(shù)域P上的n階方陣; N表示全體自然數(shù)之集;把對角矩陣

簡記為diag{λ1,λ2,…,λn}.

定義1[1]對A∈Pn×n,若A2=E則稱A為對合矩陣; 若A2=J,則稱A為次對合矩陣.

定義2[2]設(shè)A是n階方陣，若存在n階矩陣B，使得AB=BA=J，則稱B為矩陣A的次逆，記為A(-1)．

由定義1、2顯然有, 若A是次對合矩陣, A一定是可逆矩陣. 若A是次可逆矩陣, 則一定有AJ=JA；且容易證明次可逆矩陣一定可逆.

定義3[3]設(shè)矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)p×q，則mp×nq矩陣

稱為矩陣A和B的張量積，記為A?B．

引理1[4](Laplace定理)設(shè)在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)個行, 由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式D.

2實次對合矩陣的存在性討論

在文獻[1]中, 給出了一些實次對合矩陣的有關(guān)結(jié)論. 但是在討論中, 發(fā)現(xiàn)次對合矩陣并不像對合矩陣那么簡單, 顯然存在任意節(jié)的實對合矩陣, 但并不是任意階實次對合矩陣都存在, 首先，我們很容易得到下面這個結(jié)論.

結(jié)論1不存在2階實次對合矩陣.

由此可知, 不是任意階實次對合矩陣都存在, 那么階數(shù)n滿足什么條件, 才存在實次對合矩陣呢?

定理1設(shè)A∈Rn×n(即n階實方陣), 當n=4k+2或n=4k+3(k∈N)時, A一定不是次對合矩陣, 換句話說, 不存在4k+2,4k+3(k∈N)階實次對合矩陣.

證明當n=4k+3時, 首先討論n階次單位矩陣J的特征值, J的特征多項式為

由Laplace定理,

若A2=J, 則A的特征值只能為1,-1,i,-i,其中1，-1的個數(shù)之和是2k+2,i與-i個數(shù)之和為2k+1, 它們是A的全部特征值, 于是它的特征多項式為

f(λ)=(λ-1)r1(λ+1)(2k+2)-r1(λ-i)r2(λ+i)(2k+1)-r2,

顯然f(λ)不是實多項式, 而A是實矩陣,它的特征多項式一定是一個實多項式, 矛盾, 所以不存在4k+3階實次對合矩陣.

當n=4k+2時, 用同樣的方法可得J的特征值為1(2k+1重), -1(2k+1重), 于是,若A2=J,可得到A的特征多項式不是實系數(shù)多項式, 與A是實矩陣矛盾.

綜上, 不存在4k+2,4k+3(k∈N)階實次對合矩陣.

由定理1知, 不存在4k+2,4k+3(k∈N)階實次對合矩陣, 那么對于其他階數(shù)的方陣,實次對合矩陣是不是存在？下面以4階為例, 說明這樣的實次對合矩陣是存在的.

例1求一個4階實次對合矩陣.

則有T-1JT=diag{1,1,-1,-1}.

另一方面,容易得到

于是記

則A2=J, 即A即是一個4階實次對合矩陣.

由此可得以下定理:

定理2一定存在4k+1,4k+4(k∈N)階實次對合矩陣.

以上兩個定理不僅給出了實次對合矩陣的存在性, 并給出了在存在的情況下, 次對合矩陣的求法, 顯然如果在復數(shù)域內(nèi), 次對合矩陣的存在性變得更簡單了, 即存在任意階復次對合矩陣. 3次對合矩陣有如下性質(zhì).

性質(zhì)1若A是次對合矩陣, 則AT,A-1都是次對合矩陣.

證明 (AT)2=(A2)T=JT=J;(A-1)2=(A2)-1=J-1=J.

性質(zhì)2 設(shè)A是n階方陣, 若n=4k,4k+1時, A*也是次對合矩陣.

所以A*是次對合矩陣.

性質(zhì)3若A是次對合矩陣，T是次可逆矩陣，則B=T-1AT是次對合矩陣.

證明由T可逆知: TJ=JT, 又因為A是次對合矩陣, 所以A2=J. 于是B2=(T-1AT)2=T-1A2T=T-1JT=T-1TJ=EJ=J,所以B是次對合矩陣.

性質(zhì)4設(shè)A,B都是n階方陣, 且AB=BA,

1)若A,B都是次對合矩陣, 則AB是對合矩陣;

2)若A是次對合矩陣, B是對合矩陣, 則AB是次對合矩陣.

證明1)、2)證明方法相同, 這里只證1), 由條件知: A2=J,B2=J,且AB=BA,于是

(AB)2=A(BA)B=A(AB)B=(AA)(BB)=J2=E,

所以AB是對合矩陣.

推論設(shè)A,B都是n階方陣, 且AB=BA,

1)若A,B都是次對合矩陣, 則(AB)k(k為正整數(shù))是對合矩陣;

2)若A是次對合矩陣, B是對合矩陣, 則ABk(k為正整數(shù))是次對合矩陣.

性質(zhì)5設(shè)A,B分別是m,n級次對合矩陣，則A?B是mn級次對合矩陣.

證明因為A2=Jm,B2=Jn，于是(A?B)2=A2?B2=Jmn，故A?B是mn級次對合矩陣.

參考文獻

[1]陳湘赟. 次對稱矩陣的一些性質(zhì)[J]. 鹽城工學院學報，2007，20 (4):17-18.

[2]劉玉, 陳創(chuàng)鑫. 次可逆矩陣及其性質(zhì)[J]. 大學數(shù)學,2010,26(3): 177-180.

[3]許甫華, 張賢科. 高等代數(shù)解題方法[M]. 2版.北京：清華大學出版社，2014：504-505.

[4]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版. 王萼芳, 石生明，修訂.北京：高等教育出版社， 2007：89-92.

Sub-involutory Matrix and Its Properties

ZHOU Tao

(School of Mathematics and Computer, Foreign Trade and Business College of ChongqingNormalUniversity,Chongqing401520,China)

Abstract:According to the definition of sub-involutory matrix and on the basis of an example, discuss the existence of the sub-involutory matrix, and give some properties of sub-involutory matrix.

Key words:sub-identity matrix; sub-involutory matrix; diagonal matrix; sub-diagonal matrix; tensor product

收稿日期：2015-11-15

作者簡介：周濤(1986—)，男，河南駐馬店人，重慶師范大學涉外商貿(mào)學院數(shù)學與計算機學院講師.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.003

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0010-03