關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)的β次混合均值

張利霞,趙西卿

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

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關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)的β次混合均值

張利霞,趙西卿

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

摘要：利用初等及解析的方法，研究Smarandache LCM函數(shù)SL(n)與最大素因子函數(shù)P(n)之差的β次方的值分布問題,并給出一個有趣的漸進公式.

關(guān)鍵詞：Smarandache LCM函數(shù);最大素因子函數(shù);初等方法; 均值性質(zhì)

0引言及結(jié)論

其中Ci(i=2,3,…,k)為可計算的常數(shù).

在文獻[2]中研究了復(fù)合函數(shù)SL(Z(n))的均值,并得到一個較強的漸進公式

其中bi(i=2,3,…,k)為可計算的常數(shù),Z(n)為著名的偽Smarandache函數(shù).

在文獻[3]中研究了函數(shù)SL(n)在2p+1和2p-1上的下界估計,給出了當p≥17時,有較強的估計

SL(2p+1)≥10p+1;SL(2p-1)≥10p+1.

在文獻[4]中研究了S(n)和P(n)的均方差的均值分布,對于任意的實數(shù)x≥3,β>1有漸進公式

在文獻[5]中研究了S(n)與P(n)之差的β次方的值分布問題,給出了當x≥3,β>1時的漸進公式

在文獻[6]中研究了SL(n)和P(n)的均方差的均值分布問題,給出了漸進公式

受文獻[5]的啟發(fā),應(yīng)用與上述文獻相同的方法,對文獻[6]中結(jié)論進行了推廣和延伸,主要研究SmarandacheLCM函數(shù)SL(n)與最大素因子函數(shù)P(n)之差的β次方的值分布問題,給出了較強的漸進公式,具體結(jié)果如下.

定理1設(shè)k>1是給定的正整數(shù),則對任意的實數(shù)x≥1,當β≥1時,有漸進公式

其中ζ(n)為RiemannZeta-函數(shù),ci(i=2,3,…,k)為可計算的常數(shù).

1定理的證明

首先,由集合A和B的定義易得SL(n)=P(n),故

(1)

然后,由集合C的定義得

而對任意的k(1≤k≤2β-1)有

故可得

(2)

(3)

結(jié)合(1)～(3)式可得

其中ci(i=2,3,…,k)為可計算的常數(shù).

2參考文獻

[1] 趙院娥.關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)的一類均方差問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(1):71-74.

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[8] Apostol T M.Introduction to analytic number theory[M].New York：Spring-verlag,1976.

(責任編輯趙燕)

On the β-th hybrid mean value of the Smarandache LCM function

ZHANG Lixia，ZHAO Xiqing

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000，China)

Abstract：Theβ-th value distribution problem of F.Smarandache LCM functionSL(n) and the biggest prime divisor functionP(n) is studied by using the elementary and analytic method，and give an interesting asymptotic formula.

Key words：Smarandache LCM function; the biggest prime divisor function; elementary methods; asymptotic formula

文章編號:1000-2375(2016)03-0315-03

收稿日期:2016-02-28

基金項目：陜西省教育廳科研計劃項目(2013JK0557)和延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目資助

作者簡介：張利霞(1989-),女,碩士生；趙西卿，通信作者，副教授,E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

中圖分類號:O156.4

文獻標志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.04.010