三電機(jī)卷繞系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制
——LMI方法

侯海良，　年曉紅，　彭智，　王忠

(1.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙 410004； 2.湖南人文科技學(xué)院 信息學(xué)院，湖南 婁底 417000)

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三電機(jī)卷繞系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制
——LMI方法

侯海良1，2，年曉紅1，彭智1，王忠1

(1.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙 410004； 2.湖南人文科技學(xué)院 信息學(xué)院，湖南 婁底 417000)

摘要:針對(duì)具有強(qiáng)耦合、不確定性和非線性的三電機(jī)卷繞系統(tǒng)，提出一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的全局魯棒控制方法。首先，在三電機(jī)卷繞系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上給出了一種系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制輸入和參考速度的計(jì)算方法，得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差模型。接著，考慮到卷繞過程中存在的參數(shù)不確定和時(shí)變性，引入?yún)^(qū)間矩陣進(jìn)行描述，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論得到了使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的LMI充分條件。最后，以實(shí)驗(yàn)室搭建的三電機(jī)卷繞系統(tǒng)為例進(jìn)行了仿真和平臺(tái)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的控制方法的有效性和魯棒性。

關(guān)鍵詞:卷繞系統(tǒng)；線性矩陣不等式；狀態(tài)反饋；區(qū)間變量；魯棒漸近穩(wěn)定

0引言

多電機(jī)卷繞系統(tǒng)在造紙、印刷、紡織、金屬箔、聚合物等生產(chǎn)工業(yè)中得到廣泛應(yīng)用。該類系統(tǒng)的主要目標(biāo)是在控制張力穩(wěn)定的基礎(chǔ)上盡可能的提高處理速度，以實(shí)現(xiàn)在保證產(chǎn)品質(zhì)量的基礎(chǔ)上提高生產(chǎn)效率[1]。實(shí)際上，由于卷繞系統(tǒng)的工料張力和速度之間存在耦合，速度的變化會(huì)影響張力的變化，張力的變化也會(huì)引起速度的變化，這給實(shí)際控制帶來了困難。目前，實(shí)際工業(yè)中的卷繞系統(tǒng)大多采用分散PI或者PID控制，將張力速度控制解耦成速度控制環(huán)和張力控制環(huán)，但對(duì)于一些控制精度要求較高的場合，這種類型的控制策略難以獲得令人滿意的控制效果[1-3]。文獻(xiàn)[4]提出了一種針對(duì)鋼管柔性生產(chǎn)線的開卷張力進(jìn)行控制的二維模糊控制控制方案。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了模糊二階自抗擾控制器實(shí)現(xiàn)了電機(jī)間張力和速度的解耦；文獻(xiàn)[6-7]提出了基于極點(diǎn)配置的解耦控制方法，并分別應(yīng)用到帶鋼平整機(jī)和退火機(jī)的張力速度控制中；文獻(xiàn)[8-9]分別設(shè)計(jì)了帶增益調(diào)度的二自由度H2和H魯棒控制器，通過前饋單元實(shí)現(xiàn)張力和速度的解耦，通過反饋單元提高系統(tǒng)的抗干擾能力。然而，由于卷繞系統(tǒng)中存在時(shí)變和不確定參數(shù)，導(dǎo)致前述的解耦控制方法很難完全有效的抑制速度和張力之間的相互影響[10]。

在整個(gè)工作過程中，收、放卷輥的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨時(shí)間大范圍內(nèi)變化，環(huán)境溫度和濕度對(duì)工料楊氏模量和摩擦系數(shù)影響較大，因此，魯棒性是卷繞系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)需要考慮的問題。文獻(xiàn)[2]通過引入線性變參數(shù)策略(linear parameter varying，LPV)增強(qiáng)了PI控制器對(duì)半徑變化的魯棒性；文獻(xiàn)[1,8-9,11]的控制器設(shè)計(jì)是基于卷繞系統(tǒng)的局部線性化模型，通過引入LPV[1,8]或者增益調(diào)度策略[1,8-9,11]增強(qiáng)控制器對(duì)半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化的魯棒性。文獻(xiàn)[10]考慮了楊氏模量、輥?zhàn)影霃胶娃D(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)有界不確定(偏離標(biāo)稱值±10%)情況下H控制器的設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[12-13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制的非線性逼近能力處理系統(tǒng)模型的不確定性。文獻(xiàn)[14-15]分別提出了非線性滑膜控制和模型參考自適應(yīng)控制，這兩種控制方法都將卷繞系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)(如輥?zhàn)影霃?、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等)融入到控制器中。實(shí)際上，在卷繞過程中，收、放卷輥的半徑和卷動(dòng)慣量是不斷變化的，環(huán)境溫度和濕度對(duì)工料楊氏模量和摩擦系數(shù)影響較大，有時(shí)根據(jù)生產(chǎn)的要求需要調(diào)整張力和速度的大小，因此，這些參數(shù)的值是不確定的或時(shí)變的。但由于實(shí)際條件的限制，半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能在一定的范圍內(nèi)變化，環(huán)境溫度和濕度對(duì)參數(shù)的影響也是有限的，參考張力和速度也只能在一定范圍內(nèi)重新設(shè)定。因此，這些參數(shù)可以看成區(qū)間變量[16]，卷繞系統(tǒng)可以看成區(qū)間系統(tǒng)[17]。

本文研究了多電機(jī)卷繞系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，提出了一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的狀態(tài)反饋魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法。首先在文獻(xiàn)[14]的非線性數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，采用Taylor公式得到了系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)的控制輸入并推導(dǎo)出動(dòng)態(tài)誤差模型。接著，為了處理動(dòng)態(tài)誤差模型中的不確定和時(shí)變參數(shù)，引入?yún)^(qū)間矩陣[17]進(jìn)行描述。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的魯棒控制器，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論推導(dǎo)出使系統(tǒng)魯棒漸近鎮(zhèn)定的LMI充分條件。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)證明了本文方法的有效性。

1卷繞系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型與預(yù)備知識(shí)

實(shí)驗(yàn)室研制的三電機(jī)卷繞系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1所示，該系統(tǒng)由放卷輥、牽引輥和收卷輥3個(gè)獨(dú)立的機(jī)電子系統(tǒng)組成，3個(gè)子系統(tǒng)通過工料(白色牛皮紙帶)聯(lián)成一體。正常工作時(shí)，工料從放卷輥展開，經(jīng)過一系列處理后由收卷輥收取。

圖1　實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.1　Experimental setup

圖2為平臺(tái)的結(jié)構(gòu)示意圖。圖中Ri為第i個(gè)輥?zhàn)拥膶?shí)時(shí)半徑；vi為第i個(gè)輥?zhàn)由瞎ち系木€速度，工料在輥?zhàn)由蠠o滑動(dòng)時(shí)，工料線速度等于輥?zhàn)泳€速度；系統(tǒng)的輸入是電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩ui(i=0,1,2)；被控量為放卷張力t1、收卷張力t2和牽引輥速度v1，整個(gè)系統(tǒng)的速度由v1決定，放卷張力t1和收卷張力t2分別通過控制放卷和收卷電機(jī)的速度進(jìn)行調(diào)節(jié)。

圖2　實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖Fig.2　Sketch of the experimental setup

三電機(jī)卷繞系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型為[14]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Ji和bfi分別為第i個(gè)輥?zhàn)拥膶?shí)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦系數(shù)；ni為第i個(gè)電機(jī)軸與對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)輥之間的傳動(dòng)比；E、S、ρ、b和h分別為工料的楊氏模量、截面積、密度、寬度和厚度；L1和L2分別為放卷輥到牽引輥和牽引輥到收卷輥的工料長度；t0為放卷前放卷工料的內(nèi)張力；Jci和Rci分別為空收、放卷輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和半徑；Jmi為電機(jī)側(cè)旋轉(zhuǎn)單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其中放卷端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0和半徑R0隨著工料的釋放而不斷減小，由于收集處理后的工料而使收卷端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2和半徑R2不斷增大。

在本節(jié)結(jié)束前給出一些后面證明中需要用到的定義和引理。

引理1[18]區(qū)間矩陣A∈[Am,AM]，A可以寫成

其中

A0=(Am+AM)/2，

ΔA=ΕaΣaFa,

HA=(AM-Am)/2=[ζij]n×n，

|χij|1,1i,jn}。

這里ei(i=1,2,…,n)為n×n維單位矩陣的第i個(gè)列向量。顯然對(duì)?Σ∈Σ*，有ΣTΣI。

引理2[19]設(shè)X和Y為合適維數(shù)的實(shí)矩陣，對(duì)于任意給定的正常數(shù)ε，有下列不等式成立：

XTY+YTXε-1XTX+εYTY。

注：文中矩陣小于0表示該矩陣是負(fù)定的。本文中所有對(duì)矩陣大于0或小于0的描述都分別表示該矩陣是正定或負(fù)定的。

2魯棒控制器設(shè)計(jì)

卷繞系統(tǒng)的控制輸入分成兩部分，一部分是穩(wěn)態(tài)控制量，指在不考慮外界干擾和系統(tǒng)不確定性的情況下，保持張力和速度穩(wěn)定在參考值時(shí)所需要的控制量；另一部分是控制補(bǔ)償，當(dāng)系統(tǒng)存在干擾作用時(shí)，使張力和速度跟隨誤差收斂所需要的控制量。

2.1穩(wěn)態(tài)控制輸入和誤差動(dòng)態(tài)模型

為了獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制輸入，定義如下變量：

(9)

式中，vri和tri為速度和張力的參考值，usi為穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的控制輸入，Vi和Ti為速度和張力的跟蹤誤差，Ui為控制補(bǔ)償。

采用Taylor公式將式(1)展開，忽略余項(xiàng)，同時(shí)將ti=Ti+tri代入有

(10)

(11)

放卷張力的跟隨誤差模型可表示為

(12)

同樣，采用Taylor公式可將式(2)展開為

(13)

(14)

放卷輥速度的跟隨誤差模型為

(15)

同樣，由式(3)、式(4)和式(5)可以得到：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式(11)和式(18)為收、放卷輥的參考速度，對(duì)于任意一組設(shè)定值(tr1,tr2,vr1) ，其值是確定的。式(14)、式(16)和式(20)為系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的控制輸入，它們是輥?zhàn)影霃?、參考速度和參考張力的函?shù)，因此，穩(wěn)態(tài)控制輸入對(duì)不同的工作點(diǎn)具有自適應(yīng)能力。

根據(jù)式(12)、式(15)、式(17)、式(19)和式(21)可將系統(tǒng)誤差模型寫成

(22)

式中：

2.2狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)前面的分析可知，模型(22)中含有時(shí)變和不確定參數(shù)，要獲得好的控制效果，設(shè)計(jì)的控制器必須有足夠強(qiáng)的魯棒性以消除這些參數(shù)的影響。下面將給出魯棒控制器的設(shè)計(jì)過程。

對(duì)于給定的多電機(jī)卷繞系統(tǒng)，受實(shí)際工作條件的限制，其參數(shù)R0、R2、J0和J2在一定的范圍內(nèi)變化，設(shè)定值vr1、tr1和tr2也不能超過某一特定的值，環(huán)境對(duì)E和bfi(i=0,1,2)的影響也是有限的。因此，這些參數(shù)可以看成區(qū)間變量，下列假設(shè)是合理的。

(23)

根據(jù)區(qū)間變量的四則運(yùn)算和代數(shù)性質(zhì)[16]，由式(7)可以求出在條件(23)下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0、J2變化的上下界，收、放卷的參考速度vr0和vr2的上、下界也可由式(11)和式(18)得到。由式(22)可以看出系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B中的一些元素為上述區(qū)間變量的函數(shù)，根據(jù)區(qū)間變量的四則運(yùn)算和代數(shù)性質(zhì)[16]同樣可以推算出這些元素的變化區(qū)間。這樣，根據(jù)引理1，模型(22)可以寫成

(B0+EbΣbFb)(U+Fc)。

(24)

設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制器

U=KX-Fc。

(25)

其中K是反饋增益矩陣。

系統(tǒng)(24)在控制器(25)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為

(26)

可以得到如下定理。

定理1對(duì)于滿足條件(23)的系統(tǒng)(22),如果存在實(shí)對(duì)稱正定矩陣Q、正常數(shù)α，β和矩陣M使下面的LMI成立，則系統(tǒng)(22)在控制器(25)作用下得到的閉環(huán)系統(tǒng)(26)對(duì)平衡狀態(tài)X0=0是漸近穩(wěn)定的。

(27)

證明：由式(26)可知X0=0是閉環(huán)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。要使卷繞系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)張力和速度的漸近跟蹤，需要系統(tǒng)(26)在X0=0是漸近穩(wěn)定的。

選取Lyapunov候選函數(shù)為

V(X)=XTPX。

(28)

式中P為實(shí)對(duì)稱正定矩陣。將式(28)沿軌跡(26)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，經(jīng)整理后可得

(EaΣaFa)TP+P(EaΣaFa)P+

(EbΣbFbK)T+P(EbΣbFbK)]X。

(29)

(EaΣaFa)TP+P(EaΣaFa)=

(30)

和

(EbΣbFbK)TP+PEbΣbFbK≤

(31)

其中α，β為正常數(shù)，將式(30)和式(31)代入式(29)有

(32)

式中

(33)

由式(9)可知實(shí)際控制量ui=Ui+usi，(i=0,1,2)，通過式(14)、式(16)和式(20)可以計(jì)算出usi，未知干擾和系統(tǒng)不確定性帶來的影響通過控制量Ui進(jìn)行抑制，其總體的控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3　三電機(jī)卷繞系統(tǒng)控制框圖Fig.3　Block diagram of three-motor winding system

3實(shí)驗(yàn)研究

3.1仿真實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的魯棒控制器的有效性，采用Matlab對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并與常規(guī)的分散PID控制進(jìn)行比較。

在控制器設(shè)計(jì)時(shí)，考慮了楊氏模量和摩擦系數(shù)在上述標(biāo)稱值的±30%范圍內(nèi)波動(dòng)，半徑和參考值的變化范圍如下：

(34)

首先假設(shè)楊氏模量和摩擦系數(shù)為標(biāo)稱值，牽引輥初始給定值vr1為0.5m/s，3s時(shí)突加到1m/s，放卷張力初始值tr1為10N，1s時(shí)突加到15N，收卷張力初始值tr2為15N，2s時(shí)突減到10N，采用PID控制和魯棒控制時(shí)的響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4　標(biāo)稱參數(shù)下張力和速度仿真曲線Fig.4　Simulation curves of the tensions and　　　velocity with the nominal parameters

由圖4可以看到，與PID控制相比，采用本文所提出的魯棒控制方法張力和速度能更快、更穩(wěn)定的跟隨設(shè)定值。當(dāng)速度突變時(shí)，PID控制對(duì)放卷和收卷張力影響明顯；收、放卷張力變化對(duì)速度也有明顯的影響。而采用魯棒控制時(shí)，無論放卷張力變化還是收卷張力變化對(duì)速度的影響都不明顯；當(dāng)放卷張力或者速度發(fā)生變化時(shí)，收卷張力有很小的變化，當(dāng)收卷張力變化時(shí)，甚至采用PID控制時(shí)放卷張力看不到明顯變化。表1統(tǒng)計(jì)了兩種控制方式下張力和速度的相對(duì)最大變化值(括號(hào)中的數(shù)表示出現(xiàn)的時(shí)間)。由表1可以看出采用本文提出的魯棒控制方法，張力和速度的最大變化比PID控制時(shí)小很多。

表1　仿真中設(shè)定值改變時(shí)張力和速度最大變化統(tǒng)計(jì)

為了驗(yàn)證本文方法的魯棒性，假設(shè)楊氏模量E、摩擦系數(shù)bfi和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji(i=0,1,2)等參數(shù)存在不確定性，在仿真時(shí)假設(shè)它們在標(biāo)稱值上下30%范圍內(nèi)隨機(jī)變化(實(shí)際應(yīng)用中這些參數(shù)的不確定性不可能有如此強(qiáng)烈)。圖5顯示了楊氏模量E、摩擦系數(shù)bf0和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0的變化曲線，限于篇幅，其他參數(shù)未一一顯示。在該條件下，PID控制和魯棒控制的效果見圖6。

圖5　部分系統(tǒng)參數(shù)變化曲線Fig.5　Change curves of some system parameters

圖6　不確定參數(shù)下張力和速度突變的響應(yīng)曲線Fig.6　Simulation curves of the tensions and　　　velocity with the uncertain parameters

由圖6可以看出，在參數(shù)存在不確定性的情況下，兩種控制方法下張力和速度的控制效果都有一定的變差。由表1可以看出，PID控制時(shí)收、放卷張力和速度相對(duì)最大變化值增加比較明顯，當(dāng)速度發(fā)生變化時(shí)(3 s時(shí))，放卷張力最大變化由1.92%增加到5.98%，收卷張力最大變化由4.86%增加到11.65%。而采用本文提出的方法兩者變化值分別從0.43%和1.32%增加到0.54%和1.66%，增加量并不太明顯。從仿真效果來看，本文提出的方法對(duì)參數(shù)變化有較強(qiáng)的魯棒性。

3.2實(shí)驗(yàn)研究

采用本文所提出的方法在圖1所示的自制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與常規(guī)的PID控制方法進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的收、放卷電機(jī)型號(hào)為西門子1FK7060-5AH71-1型永磁同步電機(jī)，牽引電機(jī)型號(hào)為西門子1FK7042-5AH71-1型永磁同步電機(jī)。電機(jī)速度由編碼器測量，張力由科帝公司的張力傳感器測量。

當(dāng)牽引電機(jī)以線速度0.5 m/s，放卷和收卷張力分別為10 N和15 N穩(wěn)定運(yùn)行后，開始采集數(shù)據(jù)。20 s時(shí)將放卷張力由10 N突增到15 N，50 s時(shí)將收卷張力突減到10 N，80 s時(shí)將速度由0.5 m/s突增到1 m/s，PID控制和本文的方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖7、圖8和表2所示。

通過對(duì)比圖7和圖8可以看出采用本文的方法明顯減小了速度和張力間的相互影響，其結(jié)果與仿真結(jié)果相一致。給定速度為0.5 m/s時(shí)，放卷張力增大50%，采用PID控制時(shí)速度變化為15.88%，收卷張力減小50%時(shí)，速度變化為26.72%。而速度增大到1 m/s，速度的調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.1 s，放卷張力和收卷張力變化分別為5.07%和9.20%。本文設(shè)計(jì)的控制器放卷和收卷張力變化對(duì)速度的影響小得多，分別為11.30%和15.58%；速度變化的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.06s，超調(diào)小，對(duì)收、放卷張力的影響也小很多，分別為2.84%和4.90%。表2列出了張力和速度設(shè)定值變化時(shí)的相互影響，由表2中的速度和張力最大變化值可以看出，對(duì)以PID控制，提出的魯棒控制明顯減小了張力和速度間的相互影響，抑制干擾的能力更強(qiáng)。綜合以上分析可以看出，采用本文提出的魯棒控制器控制時(shí)控制效果明顯優(yōu)于PID控制。

圖7　PID控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7　Experiment results with PID controllers

圖8　本文方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8　Experiment results with the proposed method

最大變化/%速度改變放卷張力改變收卷張力改變PID本文方法PID本文方法PID本文方法T1/tr15.072.84——3.682.31T2/tr29.204.904.533.12——V1/vr1——15.8811.3026.7215.58

5結(jié)論

本文以三電機(jī)卷繞系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出了一種基于LMI的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法。首先，根據(jù)系統(tǒng)參考張力和參考速度計(jì)算出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制輸入和收、放卷輥的參考速度，同時(shí)得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差模型；接著，在動(dòng)態(tài)誤差模型的基礎(chǔ)上，提出了一種基于狀態(tài)反饋的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法，在控制器設(shè)計(jì)過程中將設(shè)定值的改變，將收、放卷輥半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和受環(huán)境影響大的楊氏模量、摩擦系數(shù)等看成區(qū)間變量進(jìn)行處理，因而所得的控制器對(duì)不同的工作點(diǎn)具有自適應(yīng)能力且對(duì)參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性；此外，控制器參數(shù)只需要通過求解LMI就可得到，求解方便。最后，仿真和平臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文所提出的控制方法的有效性。

參 考 文 獻(xiàn):

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(編輯：劉琳琳)

State feedback robust control for three-motor winding system—LMI approach

HOU Hai-liang1,2,NIAN Xiao-hong1,PENG Zhi1,WANG Zhong1

(1.School of Information Science and Engineering,Central South University,Changsha 410004,China；2.School of Information,Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi 417000,China)

Abstract:For the multi-motor winding system with strong coupling,uncertainties and nonlinearities,a global robust control strategy based on linear matrix inequality (LMI) was proposed.Firstly,a method for computing the equilibrium control inputs and reference speeds based on the mathematic model of the winding system was given,and the variation dynamic model was derived.Then,in order to cope with the uncertain and time-varying parameters existing in the winding system,interval matrix was introduced.Sufficient condition of closed-loop winding system robustly asymptotic stability was derived based on Lyapunov stability theory and the result was presented in terms of the LMI.Finally,the effectiveness and robustness of the proposed method was validated by some computer simulation and experimental setup experiments.

Keywords:winding system; linear matrix inequality (LMI); state feedback; interval variable; robustly asymptotic stability

收稿日期:2015-03-31

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(61473314,61403425,61321003,61472135)；婁底市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015KJ012)；湖南省重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科項(xiàng)目

作者簡介：侯海良(1980—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)槎嚯姍C(jī)系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制、復(fù)雜系統(tǒng)建模與優(yōu)化； 年曉紅(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻涣骷夹g(shù)與傳動(dòng)控制，多電機(jī)協(xié)調(diào)控制；

通信作者:侯海良

DOI:10.15938/j.emc.2016.07.015

中圖分類號(hào):TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-449X(2016)07-0111-08

彭智(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)槎嚯姍C(jī)協(xié)調(diào)控制；

王忠(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)槎嚯姍C(jī)協(xié)調(diào)控制。