一類帶有兩個Niho型指數(shù)的循環(huán)碼的重量分布

夏永波，上官曉天，白　濤

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

?

一類帶有兩個Niho型指數(shù)的循環(huán)碼的重量分布

夏永波，上官曉天，白濤

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

摘要研究了一類基于兩個Niho型指數(shù)構(gòu)造的循環(huán)碼，以指數(shù)和為工具，確定了這類循環(huán)碼的非零權(quán)重為5，進(jìn)一步運用求指數(shù)和的方冪和的方法確定了其重量分布.與已有的研究結(jié)果相比，由于采用了一種新的方法來計算方冪和，從而為計算這類循環(huán)碼的重量分布提供了一種更有效的途徑.

關(guān)鍵詞循環(huán)碼；Niho型指數(shù)；重量分布；指數(shù)和

循環(huán)碼是一類特殊的線性碼，循環(huán)碼的有效編碼和譯碼的算法，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)、糾錯碼、結(jié)合方案和網(wǎng)絡(luò)編碼等方向[1,2]. 在編碼理論中，碼的重量分布是反映其性能的一個重要參數(shù)，因此，計算循環(huán)碼的重量分布是一項十分有意義的工作，已具有較長的研究歷史.

一般來說，計算循環(huán)碼的重量分布是一個較為困難的問題，只有當(dāng)循環(huán)碼具有較少個數(shù)的重量時，才有可能確定循環(huán)碼的重量分布. 計算循環(huán)碼的重量分布經(jīng)常轉(zhuǎn)化為確定某些指數(shù)和的取值分布. 由于與二次型相關(guān)的指數(shù)和的研究比較多[3-7]，因此利用二次型的相關(guān)理論來計算循環(huán)碼的重量分布目前已經(jīng)有大量的研究成果[1,3-16].

令p是一個奇素數(shù)，n=2m，其中m為正整數(shù). 形如d≡pi(modpm-1)的d稱為Niho型指數(shù)，其中i為正整數(shù)[17,18]. 由于Niho指數(shù)所定義的指數(shù)和較為容易確定其可能的取值，最近部分學(xué)者開始研究基于Niho型指數(shù)構(gòu)造出的循環(huán)碼的權(quán)重分布[19-22]. 在此基礎(chǔ)上，本文考慮如下的兩個Niho型指數(shù):

di=si(pm-1)+1,i=1,2.

(1)

設(shè)Fpn表示階為pn的有限域，θ為Fpn的一個本原元. 基于d1,d2本文構(gòu)造了有限域Fp上的循環(huán)碼Cd1,d2:

Cd1,d2={c(a,b)=

(2)

其中Trn表示Fpn到Fp的完全跡函數(shù)[23]. 本文主要研究了循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布，所使用的構(gòu)造方法與文獻(xiàn)[20-22]中所使用的構(gòu)造方法一致，但在確定Cd1,d2的重量分布時使用了一種不同的方法來確定一類方程的解數(shù)；同時，作為一點應(yīng)用，本文還給出了由d1,d2所確定的指數(shù)和與一類已知的Niho型指數(shù)所確定的指數(shù)和之間的關(guān)系.

1預(yù)備知識

1.1基本定義與符號

(3)

Ω={θi|0≤i≤pm}.

注意S和Ω之間有如下關(guān)系：

S={xpm-1|x∈Ω} .

(4)

對于Niho型指數(shù)(1)有g(shù)cd(di,pn-1)=gcd(2i-1,pm+1),i=1,2. 設(shè)d=s(pm-1)+1和d′=s′(pm-1)+1為兩個Niho指數(shù)， 如果存在正整數(shù)j，使得d′≡pjd(modpn-1)，則稱d和d′等價. 不難驗證兩個Niho型指數(shù)d和d′等價當(dāng)且僅當(dāng)s≡s′(modpm+1)或s+s′≡1(modpm+1).

1.2計算循環(huán)碼Cd1,d2重量分布的方法

下面的描述雖然以(2)式中的Cd1,d2為例，但所述步驟對計算一般循環(huán)碼的重量分布都適用.

步驟1將循環(huán)碼的重量轉(zhuǎn)化成指數(shù)和的形式. 設(shè)c(a,b)為Cd1,d2中任一碼字，則其Hamming重量wH(c(a,b))可以表示成如下指數(shù)和的形式：

(5)

則wH(c(a,b))=

(6)

因此，計算循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布即等價于計算(5)式中指數(shù)和T(a,b)的取值分布.

步驟 2 確定指數(shù)和T(a,b)的可能取值，有如下命題1.

命題1設(shè)S為(3)式定義的循環(huán)群，di為(1)式定義的Niho型指數(shù)，i=1,2，T(a,b)由(5)式定義，則:

T(a,b)=(N(a,b)-1)pm-1,a,b∈Fpn,

命題1的證明過程類似文獻(xiàn)[20]中引理1及文獻(xiàn)[18]中引理2.

令N2表示方程組:

(7)

(8)

引理1令p是奇素數(shù)，n=2m，m為正整數(shù)，T(a,b)由(5)式定義. 則有：

通過計算N2和N3的值來確定T(a,b)的方冪和，從而可以得到一個關(guān)于μ1,μ2,μ3,μ4的線性方程組，求解此線性方程組即確定μ1,μ2,μ3,μ4的值，這種方法稱為方冪和方法，它是處理分布問題的一種常用方法[17].

2計算N2，N3的值

從上面的分析可以知道，確定T(a,b)的取值分布?xì)w結(jié)為確定方程組(7)的解數(shù)N2以及方程組(8)的解數(shù)N3.

(i)N2=pn-1；

(ii)N3=(pn-1)(pm-2).

(9)

由于(d1,pn-1)=1，所以方程組(9)只有1個解，從而方程組(7)有(pn-1)×1個解.

故N2=pn-1.

(10)

(11)

將(11)式代入方程組(8)中，可將方程組(8)轉(zhuǎn)化成矩陣方程的形式：

(12)

將方程組(8)兩邊pm次方，則得:

其等價于下面矩陣方程：

(13)

根據(jù)方程(12)和(13)可知N3即為滿足矩陣方程:

(14)

(i) 若u1,u2,u3互不相等. 此時對方程(14)中系數(shù)矩陣進(jìn)行行變換和列變換：

這與cj≠0，yj≠0，j=1,2,3矛盾. 因此，此時方程(14)無解.

(ii) 若u1,u2,u3中有兩個相等，另一個不相等. 不妨設(shè)u1=u2≠u3，對方程(14)中系數(shù)矩陣進(jìn)行類似的分析，可知方程(14)此時等價于下面的方程組:

這與c3≠0，y3≠0矛盾，因此方程(14)也無解.

(iii) 若u1=u2=u3，則此時方程(14)等價于:

c1y1+c2y2+c3y3=0.

t1(pm-1)≡t2(pm-1)≡t3(pm-1)(modpn-1)，

即有:

t1≡t2≡t3(modpm+1).

(15)

(pm+1)(pm-1)(pm-2)=(pn-1)(pm-2).

綜上所述，方程組(8)的解的個數(shù)N3=(pn-1)(pm-2).

結(jié)合命題2和引理1，可以得到關(guān)于μi的一些線性方程，從而可以確定指數(shù)和T(a,b)的取值分布，即有下面定理1.

定理1設(shè)T(a,b)由(5)式定義， 則T(a,b)的取值分布由表1給出.

表1　指數(shù)和T(a,b)的取值分布

3循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布

由T(a,b)的取值分布及(6)式，就可以確定循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布.

定理2設(shè)Cd1,d2是(2)式中定義的循環(huán)碼，則其重量分布如表2.

證明將定理1中指數(shù)和T(a,b)的取值分布代入到(6)式中直接計算，即可以得到循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布如表2. 證畢.

表2　循環(huán)碼Cd1,d2的重量分布

表 3　F34上指數(shù)和T(a,b)的取值分布

表4　循環(huán)碼C41,33的重量分布

4一點應(yīng)用

化簡得:

由上式可得:

2-pm≡pm(2pm-1)(modp2m-1).

利用跡函數(shù)的性質(zhì)，有:

Trn(by2-pm)=Trn(bpmy2pm-1)，

即得T(a,b)=Sd(a,bpm). 因此，Sd(a,b)和T(a,b)具有相同的取值分布.

5本文結(jié)果與已知的一些研究結(jié)果之間的比較

1)本文證明的核心部分在于確定方程組(7)和(8)的解數(shù). 本文所使用的確定方程解數(shù)的方法受文獻(xiàn)[21]中所使用方法的啟發(fā)，但與文獻(xiàn)[21]不同. 具體不同之處在于：本文在將方程組(7)和(8)轉(zhuǎn)化為矩陣方程時使用了不同的代換方法，本文所使用的代換方法更容易處理類似方程的解數(shù)問題. 本文所使用的代換方法可以推廣到其他類似問題的研究之中；

2)對于Niho型指數(shù)d=2pm-1所定義的指數(shù)和Sd(a,b)，本文提供了一種新的方法來確定其取值分布；

參考文獻(xiàn)

[1]CarletC,DingC,YuanJ.Linearcodesfromperfectnonlinearmappingsandtheirsecretschemes[J].IEEETransInfTheory, 2005, 51(6): 2089-2102.

[2]YuanJ,DingC.Secretsharingschemesfromthreeclassesoflinearcodes[J].IEEETransInfTheory, 2006, 52(1): 206-212.

[3]FengK,LuoJ.Valuedistributionsofexponentialsumsfromperfectnonlinearfunctionsandtheirapplications[J].IEEETransInfTheory, 2007, 53(9): 3035-3041.

[4]LuoJ,FengK.Ontheweightdistributionoftwoclassesofcycliccodes[J].IEEETransInfTheory, 2008, 54(12): 5332-5344.

[5]LuoJ,FengK.CycliccodesandsequencesfromgeneralizedCoulter-Matthewsfunction[J].IEEETransInfTheory, 2008, 54(12): 5345-5353.

[6]FengK,LuoJ.Weightdistributionofsomereduciblecycliccodes[J].FiniteFieldsAppl, 2008, 14(4): 390-409.

[7]ZengX,HuL,JiangW,etal.Theweightdistributionofaclassofp-arycycliccodes[J].FiniteFieldsAppl, 2010, 16(1): 56-73.

[8]ZhouZ,DingC,LuoJ,etal.Afamilyoffive-weightcycliccodesandtheirweightenumerators[J].IEEETransInfTheory, 2013,59(10): 6674-6682.

[9]DingC,GaoY,ZhouZ.Sevenfamiliesofthree-weightcycliccodes[J].IEEETransCommun, 2013, 61(10): 4120-4126.

[10]DingC,GaoY,ZhouZ.Fivefamiliesofthree-weightternarycycliccodesandtheirduals[J].IEEETransInfTheory, 2013, 59(12):7940-7946.

[11]LiuY,YanH,LiuC.Aclassofsix-weightcycliccodesandtheirweightdistribution[J].DesCodesCryptogr, 2015, 77(1): 1-9.

[12]ZhouZ,DingC.Aclassofthree-weightcycliccodes[J].FiniteFieldsAppl, 2014,25:79-93.

[13]LiC,LiN,HellesethT,etal.OntheweightdistributionsofseveralclassesofcycliccodesfromAPNmonomials[J].IEEETransInfTheory, 2014, 60(8): 4710-4721.

[14]ZhengD,WangX,HuL,etal.Theweightdistributionsoftwoclassesofp-arycycliccodes[J].FiniteFieldsAppl, 2014, 29: 202-224.

[15]XiaY,HellesethT,LiC.Somenewclassesofcycliccodeswiththreeorsixweights[J].AdvinMathofComm, 2015, 9(1): 23-36.

[16]LuoL,TangY,WangH.Cycliccodesandsequences:thegeneralizedKasamicase[J].IEEETransInfTheory, 2010, 56(5): 2130-2142.

[17]RosendahlP.Nihotypecross-correlationfunctionsandrelatedequations[D].Turku:TurkuUniv, 2004.

[18]LiN,HellesethT,KholoshaA,etal.OnthewalshtransformofaclassoffunctionsfromNihoexponents[J].IEEETransInfTheory, 2013, 59(7): 4662-4667.

[19]LiC,ZengX,HuL.Aclassofbinarycycliccodeswithfiveweights[J].SciChinaMath, 2000, 53(12): 3279-3286.

[20]LiS,FengT,GeG.OntheweightdistributionofcycliccodeswithNihoexponents[J].IEEETransInfTheory, 2014, 60(7): 3903-3912.

[21]XiongM,LiN,ZhouZ,etal.WeightdistributionofcycliccodeswitharbitrarynumberofgeneralizedNihotypezeroes[J].DesCodesCryptogr, 2016, 78(3): 713-730.

[22]XiongM,LiN.OptimalcycliccodeswithgeneralizedNiho-typezerosandtheweightdistribution[J].IEEETransInfTheory, 2015, 61(9): 4914-4922.

[23]LidlR,NiederreiterH.Finitefields[M].Secondedition.Cambridge(U.K.):CambridgeUnivPress, 1997:54-63.

[24]HellesethT.Someresultsaboutthecross-correlationfunctionbetweentwomaximallinearsequences[J].DiscrMath, 1976, 16: 209-232.

WeightDistributionofaClassofCyclicCodeswithTwoNihoExponents

Xia Yongbo, Shangguan Xiaotian,Bai Tao

(CollegeofMathematicsandStatistics,South-CentralUniversityforNationalities,Wuhan430074,China)

AbstractInthispaper,aclassofcycliccodeswithtwoNihoexponentswasinvestigated.Takingtheexponentialsumasatool,thefivepossiblenonzeroweightsofthesecycliccodeswereobtained.Further,bycomputingthepowersumsoftheexponentialsums,theweightdistributionsofthecycliccodesweredetermined.Comparedwiththeknownresearchresults,anewmethodforcomputingthepowersumswasproposed,whichprovidesamoreefficientwaytocomputetheweightdistributionsofthecycliccodesconstructedhere.

Keywordscycliccode；Nihoexponent；weightdistribution；exponentialsum

收稿日期2016-04-24

作者簡介夏永波(1979-)，男，副教授，博士，研究方向：編碼與密碼學(xué)，E-mail:xia@mail.scuec.edu.cn

基金項目國家自然科學(xué)基金資助項目(11301552)；中南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目(2016sycxjj135)

中圖分類號O157

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

文章編號1672-4321(2016)02-0157-06