有限元法的軸向運動梁的激勵功率譜辨識*

劉濤羅夢翔吳煒史濟濤蔡國平?

（1.上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，海洋工程國家重點實驗室，上海 200240）（2.中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009）

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有限元法的軸向運動梁的激勵功率譜辨識*

劉濤1羅夢翔1吳煒2史濟濤2蔡國平1?

（1.上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，海洋工程國家重點實驗室，上海 200240）（2.中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009）

摘要主要考慮彎曲變形的細(xì)長軸向運動梁，可以作為工程中廣泛應(yīng)用在航天器天線、液體輸送管道、汽車驅(qū)動帶、電梯纜索等的簡化機構(gòu).對軸向運動柔性梁線性微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法導(dǎo)出兩端簡支和固支邊界條件下的固有頻率方程；采用Ritz法建立軸向運動梁的有限單元法模型.基于該模型在多種邊界條件下進(jìn)行梁的橫向振動分析，并開展定點激勵下激勵功率譜的辨識.仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的Galerkin截斷方法相比.有限元方法能夠克服分析方法的建模困難，對復(fù)雜邊界梁進(jìn)行有效的分析，對激勵的功率譜能夠有效地辨識.

關(guān)鍵詞軸向運動梁， 復(fù)模態(tài)， 有限元， 復(fù)雜邊界， 功率譜辨識

2014-09-26收到第1稿，2014-12-20收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（11132001，11272202）、航空科學(xué)基金（20120157002）和上海市教委科研重點項目（14ZZ021）資助

引言

工程中存在著大量細(xì)長運動結(jié)構(gòu)，例如：航天器天線、液體輸送管道、汽車驅(qū)動帶、電梯纜索等，主要考慮彎曲變形時此類結(jié)構(gòu)可簡化為軸向運動梁.當(dāng)受到外部載荷激勵時，結(jié)構(gòu)的橫向振動會產(chǎn)生負(fù)面效應(yīng).對于航空航天結(jié)構(gòu)，外部載荷功率譜辨識的研究有利于地面振動臺試驗的激勵設(shè)計.因此，研究軸向運動梁的橫向振動和功率譜的辨識問題有著實際工程的應(yīng)用背景和理論意義.

1965年，Mote［1］在對帶鋸的研究中，推導(dǎo)出軸向運動梁的橫向振動微分方程，并采用Galerkin截斷法得出了簡支梁的前三階固有頻率和模態(tài)振型. 1990年，Wickert［2］和Mote提出復(fù)模態(tài)分析法開展對軸向運動梁的進(jìn)行研究，并得出簡支和固支邊界軸向運動梁的固有頻率與模態(tài)函數(shù)；?z［3］通過線性梁的假定求出了固支邊界下進(jìn)行了固有頻率計算及穩(wěn)定性分析. 1994年，Stylianou［4，5］則建立伸展機構(gòu)的軸向運動梁的有限元模型，分析了響應(yīng)及穩(wěn)定性問題.近年來，國內(nèi)學(xué)者也積極開展了軸向運動梁穩(wěn)定性、非線性及受迫振動等問題的研究. 2006年，陳立群等［6］研究了粘彈性軸向運動梁在混合邊界條件下的振動與穩(wěn)定性問題；2007年，張哲榮［7］等利用有限元模型分析了Rayleigh梁的橫向振動穩(wěn)定性問題. 2008年，李德雙等［8］研究了軸向運動帶的橫向與縱向運動的耦合振動問題. 2010年，黃建亮［9］等采用增量諧波平衡法研究了軸向運動梁在縱向與橫向振動耦合下的自由振動響應(yīng). 2011年，王亮等［10］研究了高速軸向運動梁的模態(tài)及頻率特征；同年，李彪等［11］研究了兩端自由的軸向運動Timoshenko梁的橫向振動問題. 2013年，丁虎［12］等對軸向運動梁的橫向振動問題非線性問題進(jìn)行了綜述分析.

上述文獻(xiàn)中對于梁的分析多針對兩端簡支和兩端固支條件這兩種邊界條件，而對于復(fù)雜條件下的軸向運動梁較少涉及；對于軸向運動梁的激勵功率譜辨識方面的研究也較少.本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運動柔性梁的運動微分方程，導(dǎo)出了兩端簡支梁和兩端固支梁邊界下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對微元運動微分方程進(jìn)行離散化，建立了有限元法的單元運動方程，并基于此模型開展了定點隨機激勵下的功率譜辨識的研究.應(yīng)當(dāng)說明的是，我們前期已經(jīng)開展了基于Ritz法離散的軸向運動梁的功率譜辨識研究，并取得了較好的結(jié)果，詳細(xì)內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)［13］.

1 動力學(xué)方程

1. 1 運動微分方程

考慮等截面軸向運動柔性梁的橫向彎曲振動，如圖1所示.假定柔性梁有恒定軸向運動速度υ，軸向有恒定張力P，橫向作用有分布式外部載荷f （x，t），等截面面積為A，截面的慣性矩為I，彈性模量為E，密度為ρ，長度l.則在x方向的應(yīng)變εxx為

圖1 軸向運動梁模型Fig. 1 Model of an axially moving beam

在截面A及長度［0，l］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，由此得出梁的總勢能與總動能分別為

外力f（x，t）所做虛功為

式（6）即為軸線運動梁的線性運動微分方程.

1. 2 固有頻率分析

對于兩端簡支和兩端固支簡單邊界，可以采用復(fù)模態(tài)分析法［14，15］對系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行分析.令v （x，t）=φ（x）ejωt+ˉφ（x）e- jωt（j為虛數(shù)單位），代入式（6）中，并令f（x，t）=0，則有

令關(guān)于φ的特征根方程的解為jβ，代入式（7）可得

設(shè)式（8）有解βi（i = 1～4），由此導(dǎo)出復(fù)模態(tài)振型為考慮梁具有不同簡單的邊界條件

由于振型函數(shù)φ（x）不恒為零，則通過式（9）得到關(guān)于系數(shù)Ci齊次線性方程組系數(shù)矩陣的行列式為零.則有

式（10a）與式（10b）分別對應(yīng)兩端簡支與固支邊界條件的行列式系數(shù)方程.由式（8）和式（10）組成關(guān)于ω、βi（i =1～4）的非線性方程組，即可得出梁的固有振動頻率.應(yīng)當(dāng)說明的是，在軸向運動梁的橫向振動問題的分析中，隨著軸向速度的增大或軸向壓力的增大，梁的固有頻率會隨之減小.當(dāng)?shù)谝浑A固有頻率為零時，其所對應(yīng)的軸向運動速度稱為臨界速度，超過臨界速度之后梁的運動將變得不穩(wěn)定［16］.

在實際應(yīng)用中，復(fù)模態(tài)分析法計算響應(yīng)存在困難；針對簡單邊界條件，可以采用Galerkin法對軸向運動梁的運動微分方程進(jìn)行離散化，令

其中，φi（x）為對應(yīng)邊界條件的無軸向速度梁的振型函數(shù)，n為Galerkin法計算階數(shù).將式（11）代入微分方程式（6）中，并左乘ΦT，在［0，l］區(qū)間積分可得

其中，質(zhì)量陣、阻尼力陣、剛度陣和外力陣分別為

1. 3 有限元模型創(chuàng)建

以下采用Ritz法建立軸向運動梁的有限元模型.設(shè)單元的長度為Δl，單元左右節(jié)點i與j的橫向位移與轉(zhuǎn)角分別為vi、φj、vi、φj.

圖2 有限單元劃分示意圖Fig. 2 Schematic representation of beam element model

將有限單元的形函數(shù)gk（x）設(shè)為［4］

由此得到單元長度Δl內(nèi)的內(nèi)插函數(shù)ve（x，t）

當(dāng)不考慮附加質(zhì)量m和剛度k時，將ve（x，t）的內(nèi)插函數(shù)代入勢能式（3）、動能式（4）和虛功式（5）中；由Lagrange方程得到單元的運動微分方程

其中，單元的質(zhì)量陣、陀螺力陣、剛度陣和外力陣分別為

考慮附加質(zhì)量m和剛度k后，對應(yīng)節(jié)點處的單元矩陣需要做出對應(yīng)改變.如圖2所示，i節(jié)點質(zhì)量陣施加附加質(zhì)量m，j節(jié)點剛度陣施加附加剛度k.將單元矩陣進(jìn)行組集與施加附加邊界條件，可得系統(tǒng)的運動方程其中，總質(zhì)量陣M為對稱正定陣，總陀螺力項G為對稱正定陣，因此系統(tǒng)的運動將具有陀螺系統(tǒng)［17，18］的特征.

相較Galerkin方法，有限元法克服了尋找形函數(shù)的困難，并且能夠適應(yīng)較為復(fù)雜的模型建模，因此可以應(yīng)用到更加復(fù)雜模型中進(jìn)行建模.

2 響應(yīng)計算與功率譜辨識

2. 1 有限元模型的響應(yīng)

由于式（16）中陀螺力項G的存在，振動分析需采用復(fù)模態(tài)法.將式（16）改寫為狀態(tài)方程形式［17］

其中，φR、φI為各階實模態(tài)和虛模態(tài)向量，且滿足

ii 表1的正則化正交關(guān)系

表1 模態(tài)的正則化正交關(guān)系Table 1 Normality and orthogonality relations of modes

其中，ωi為第i階固有振動頻率

利用正交性條件，對式（18）進(jìn)行變換，有

由式（15）可以解得外力作用下的各單元的外力陣，組集后可得S（t）；則Q（t）的響應(yīng)值為Y（t）的下半部分，且考慮到單元形式的插值函數(shù)式（14），由此得出梁上任意一點在外力作用下的響應(yīng)

其中，TS為響應(yīng)v（x，t）插值轉(zhuǎn)換矩陣.

2. 2 有限元模型的功率譜辨識

考慮如下情況的響應(yīng)，在定點xf處施加隨機外力f（t），即令f（x，t）= f（t）δ（x - xf），其中δ（·）為Dirac函數(shù).將f（x，t）代入式（19）可得

其中，TF為外力f（x，t）的插值轉(zhuǎn)換矩陣.

考慮梁初始處于靜平衡狀態(tài)，將式（21）代入式（18），并兩端同時取傅里葉變換可得

考慮點xs處橫向振動響應(yīng)v（xs，t）的自相關(guān)函數(shù)RS（t），由式（20）可得

由Wiener - Khinchin定理［19］，對響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)RS（t）取傅里葉變換可得對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)

將式（22）代入式（24），可得

由式（25）易得

式（26）即為定點激勵的功率譜辨識公式.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真以驗證文中所給有限元方法的有效性.分別考慮兩端固支和復(fù)雜邊界條件下的軸向運動梁的橫向振動問題.

首先考慮兩端固支梁邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，參考文獻(xiàn)［15］設(shè)定如下參數(shù)：等截面均質(zhì)鋼材，長度l =2m，圓截面半徑R =0. 05m，密度ρ=7850kg/ m3，彈性模量E =196GPa.考慮在梁上一定點施加集中力，梁的軸向運動速率為v =10m/ s，梁的軸向壓力P = -10kN（負(fù)值表示處于軸向受壓狀態(tài)）.對其進(jìn)行靜力屈曲校核，9495kN，遠(yuǎn)未達(dá)到屈曲；參考文獻(xiàn)［16］可得，在線性條件下的臨界速度；因此，設(shè)定的條件下軸向運動梁的運動穩(wěn)定.

考慮梁橫向振動初始處于靜止平衡位置，梁上xf=0. 4m處一定點施加集中力f（t），得出點xs= 1. 8m處響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識，Galerkin截斷數(shù)值方法截斷階數(shù)n取為10.在xf處施加集中載荷f（t）=［13sin（7t）+ 11sin（19t）+ rand（t）］（N），其中rand（t）為取樣時間內(nèi)的隨機激勵，其方差為2.通過復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111. 09Hz、306. 42Hz、600. 82Hz，通過Galerkin法與有限元方法計算得到的前三階固有頻率的與迭代解的相對誤差在10-6以內(nèi)；說明Galerkin法與有限元法的分析是有效的.圖3為采用有限元模型進(jìn)行響應(yīng)與功率譜辨識的數(shù)值仿真結(jié)果，其中（a）為xs處的頻響曲線；（b）為施加的激勵的功率譜與辨識功率譜.由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識.

圖3 兩端固支梁的定點頻響曲線與載荷功率譜辨識結(jié)果Fig. 3 Point response in frequency domain and PSD identification of the clamped axially moving beam

然后考慮復(fù)雜邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，由于邊界條件的復(fù)雜性，采用Galerkin方法很難找到一組適合的形函數(shù)，而有限元方法則能夠較為容易的克服該困難.如圖4所示，設(shè)定復(fù)雜條件下的軸向運動梁有如下參數(shù)：等截面均質(zhì)鋼材料，密度ρ= 7850kg/ m3，彈性模量E = 196GPa，長度l =2. 4m，橫截面積A =0. 015m2，截面慣性矩I =1. 25×10-5m4.梁的軸向運動速率為v =15m/ s，軸向力P =0N.在l1=0. 4m與l3=1. 8m處施加簡直邊界；在l2=1. 4m處有集中質(zhì)量m =60kg；在梁的兩端分別施加有線彈簧，勁度系數(shù)分別為k1= 3. 5×104N/ m，k2=4. 5×104N/ m.

圖4 復(fù)雜邊界條件下的軸向運動梁Fig. 4 Model of an axially moving beam under complex boundaries

圖5 復(fù)雜條件的定點頻響曲線與載荷功率譜辨識結(jié)果Fig. 5 Point response in frequency domain and PSD identification of the axially moving beam under complex boundaries

考慮在梁上xf=0. 48m處施加集中力f（t），得出點xs=2. 16m處響應(yīng)，考慮初始處于靜止平衡位置.在xf處施加集中載荷f（t）=［13sin（7t）+11sin （19t）+ rand（t）］（N），其中rand（t）為取樣時間內(nèi)的隨機激勵，其方差為1.由有限元法計算得到系統(tǒng)的前三階固有頻率分別為75. 58Hz、174. 78Hz、291. 12Hz.由于邊界條件復(fù)雜，不能直接計算出臨界速度，但由前面的計算可知，固有頻率大于零，因此在此條件下的軸向運動穩(wěn)定.圖5為有限元方法數(shù)值仿真的結(jié)果，其中（a）為xs處的頻響曲線；（b）為施加的激勵的功率譜與辨識功率譜.由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點隨機外載荷的功率譜辨識.

4 結(jié)束語

本文以軸向運動梁為研究對象，采用復(fù)模態(tài)分析方法建立了兩端簡支和固支梁的固有頻率方程，采用Ritz法建立梁的運動有限元分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點載荷的功率譜辨識方法.仿真結(jié)果表明，通過有限元方法能夠有效地克服傳統(tǒng)分析方法中形函數(shù)選取的困難，本文的方法能夠有效地對定點隨機外載荷進(jìn)行功率譜辨識.

參 考 文 獻(xiàn)

1 Mote Jr C D. A study of band saw vibrations. Journal of the Franklin Institute，1965，276（6）：430～444

2 Wicker J A，Mote Jr C D. Classical vibration analysis of axially moving continua. Journal of Applied Mechanics，1990，57（3）：738～744

3 ?z H R. On the vibrations of an axially traveling beam on fixed supports with variable velocity. Journal of Sound Vibration，2001，239（3）：556～564

4 Stylianou M，Tabarrok B. Finite element analysis of an axially moving beam，part I：time integration. Journal of Sound and Vibration，1994，178（4）：433～453

5 Stylianou M，Tabarrok B. Finite element analysis of an axially moving beam，part II：stability analysis. Journal of Sound and Vibration，1994，178（4）：455～481

6 Chen L Q，Yang X D. Vibration and stability of an axially moving viscoelastic beam with hybrid supports. European Journal of Mechanics A/ Solids，2006，25（6）：996～1008

7 Chang J R，Lin W J，Choi S T. Vibration and stability of an axially moving rayleigh beam over a stationary support with telescopic motion. In：24th National Conference on Mechanical Engineering of CSME. Taipei：Chinese Society of Mechanical Engineers，2007：CSME1648～1653

8 李德雙，戈新生.軸向運動帶的橫向與縱向振動分析.北京機械工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2008，23（1）：18～22（Li D S，Ge X S. Analyses of an axially moving belt with transverse and longitudinal vibrations. Journal of Beijing Institute of Machinery，2008，23（1）：18～22（in Chinese））

9 黃建亮，陳樹輝.縱橫向耦合軸向運動梁的自由振動響應(yīng)研究.動力學(xué)與控制學(xué)報，2010，8（4）：316～321 （Huang J L，Chen S H. Study on vibration of an axially moving bean with coupled transverse and longitudinal motions. Journal of Dynamic and Control，2010，8（4）：316 ～321（in Chinese））

10 Wang L，Chen H H，He X D. Modal frequency characteristics of axially moving beam with supersonic/ hypersonic speed. Transactions of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics，2011，28（2）：163～168

11 Li B，Tang Y Q，Chen L Q. Nonlinear free transverse vibrations of axially moving Timoshenko beams with two free ends. Science China Technological Sciences，2011，54 （8）：1966～1976

12 丁虎，陳立群，張國策.軸向運動梁橫向非線性振動模型研究進(jìn)展.動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11（1）：20～30（Ding H，Chen L Q，Zhang G C. Advances in nonlinear models for transverse vibration of axially moving beams. Journal of Dynamic and Control，2013，11（1）：20～30（in Chinese））

13 劉濤，吳煒，史濟濤等.軸向運動梁的激勵功率譜辨識.航空兵器，2014，4：45～48（Liu T，Wu W，Shi J T，etc. Identification of excitation power spectrum denstity of an axially moving beam. Aero Weaponry，2014，4：45～48（in Chinese））

14 李彪，丁虎，陳立群.兩端受套筒約束軸向運動梁的橫向振動固有頻率和模態(tài)函數(shù).振動與沖擊，2010，29 （9）：55～57（Li B，Ding H，Chen L Q. Natural frequencies and modal functions of transverse vibration of axially moving beam constrained by rotating sleeves with rotational springs. Journal of Vibration and Shock，2010，29（9）：55～57.（in Chinese））

15 馬國亮，陳立群.高速運動梁的臨界速度、固有頻率和模態(tài)函數(shù).力學(xué)季刊，2013，34（4）：541～545（Ma G L，Chen L Q. Critical velocity，frequency，and modal functions of beam moving with high speed. Chinese Quarterly of Mechanics，2013，34（4）：541～545（in Chinese））

16 張國策，丁虎，陳立群.兩端固定超臨界軸向運動梁橫向平衡位形與振動.振動工程學(xué)報，2011，24（1）：8～13（Zhang G C，Ding H，Chen L Q. Transverse equilibrium and vibration of axially moving beams with fixed boundaries in the supercritical regime. Journal of Vibration Engineering，2011，24（1）：8～13（in Chinese））

17 Meirovitch L. A modal analysis for the response of linear gyroscopic systems. Journal of Applied Mechanics，1975，42（2）：446～450.

18 鐘萬勰.應(yīng)用力學(xué)對偶體系.北京：科學(xué)出版社，2002：101～106（Zhong W X. Duality system in applied mechanics. Beijing：Science Press，2002：101～106（in Chinese））

19 吳大正，楊林耀，張永瑞等.信號與線性系統(tǒng)分析（第4版）.北京：高等教育出版社，2005：162～166（Wu D Z，Yang L Y，Zhang Y R，et al. Signal and linear system analysis. Beijing：Higher Education Press（4thEdition）2005：162～166（in Chinese））

identification of power spectrum density

Received 26 September 2014，revised 20 December 2014.

* The project supported by National Natural Science Foundation of China（11132001，11272202），Aeronautical Science Foundation of China （20120157002），Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission（14ZZ021）

IDENTIFICATION OF EXCITATION POWER SPECTRUM DENSITY FOR AN AXIALLY MOVING BEAM USING FINITE ELEMENT METHOD*

Liu Tao1Luo Mengxiang1Wu Wei2Shi Jitao2Cai Guoping1?

（1. Department of Engineering Mechanics，State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）（2. China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China）

AbstractMany mechanical devices，such as spacecraft antennas，pipes conveying fluid and elevator cable，can be simplified as axially moving slender beams，since their main elastic deformation is taken as transverse bending. Based on the complex model analysis procedure，the formula of natural frequency for the simple - supported and fixed beams are firstly derived from the linear differential equations in this paper. Moreover，in terms of Ritz method，a finite element model of axially moving beams is constructed. The system response under external excitation and the transforming relationship of power spectrum density（PSD）between external excitation and system response in frequency domain are obtained. To this end，the PSD of external excitation through the transforming relationship is finally indentified. Importantly，it is shown from the comparison between the proposed FE model and the traditional Galerkin truncation method that the finite element method can solve the modeling problem of the analysis method，and it is more effective in identifying the PSD of external excitation for the axially moving beams with complex boundaries.

Key wordsaxially moving beam， complex modal analysis， finite element method， complex boundaries，

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-014

通訊作者?E-mail：caigp@ sjtu. edu. cn

Corresponding author?E-mail：caigp@ sjtu. edu. cn