基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器最優(yōu)法設(shè)計(jì)

陳若冰

數(shù)字信號處理與現(xiàn)代生活息息相關(guān)，而數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基本元件。利用Matlab仿真設(shè)計(jì)出FIR數(shù)字濾波器，方便直觀，便于根據(jù)其特性和設(shè)計(jì)要求變化參數(shù)，調(diào)試整合達(dá)到所需濾波器。本文從以下三點(diǎn)講述：（1）FIR濾波器設(shè)計(jì)原理；（2）常用的三種設(shè)計(jì)FIR濾波器的方法的優(yōu)劣比較；（3）最優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】FIR Matlab 最優(yōu)化設(shè)計(jì) 等波紋切比雪夫逼近法

FIR濾波器即有限長單位沖激響應(yīng)濾波器，因其能保證任意幅頻特性的同時具有嚴(yán)格線性的相頻特性，以及其單位響應(yīng)無限長特性導(dǎo)致其必為穩(wěn)定系統(tǒng)，在圖像處理、通信、語音、自動控制等多領(lǐng)域有廣泛利用。

1 FIR濾波器設(shè)計(jì)原理

如圖1：FIR濾波器基本結(jié)構(gòu)可看為一個分節(jié)的延時線，把每一節(jié)輸出加權(quán)累加以得到濾波器的輸出。FIR設(shè)計(jì)核心是求出有限的脈沖響應(yīng)來無限逼近給定的頻率響應(yīng)。濾波器階數(shù)越高，運(yùn)算時間越多，故在滿足設(shè)計(jì)要求下應(yīng)盡量減少濾波器階數(shù)。

2 常用的三種設(shè)計(jì)FIR濾波器的方法的優(yōu)劣比較

我們常用的是窗函數(shù)法，頻率采樣法，最優(yōu)化設(shè)計(jì)法（采用最優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)，雖有兩種準(zhǔn)則，但是只有窗函數(shù)中的矩形窗滿足均方誤差最小化準(zhǔn)則，卻因吉布斯效應(yīng)使該法不能滿足設(shè)計(jì)要求，所以我們采用的是切比雪夫逼近準(zhǔn)則）。

窗函數(shù)法的方法，先根據(jù)設(shè)計(jì)要求，選取合適的階數(shù)N和窗函數(shù)的類型w（n），使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性。然后加窗，其目的是截?cái)?，將無限長的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd（ejw）（由于窗函數(shù)法是在時域中進(jìn)行，先將Hd（ejw）化為hd（n）），乘以窗函數(shù)w（n）產(chǎn)生一個被截?cái)嗟拿}沖響應(yīng)：h（n）=hd（n）w（n）。

頻率采樣法是從頻域出發(fā)，根據(jù)頻域采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd（ejw）加以等間隔的抽樣，得到：Hd（k）=Hd（ejw）＼w2πk/N（k=0，1，…，N-1）.再利用Hd（k）可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（Z）及頻率響應(yīng)H（ejw）。該法必然有一定的逼近誤差，誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀，其變換越平緩，內(nèi)插函數(shù)值越接近理想值，誤差越小。

最優(yōu)設(shè)計(jì)法，它克服了以上兩法缺點(diǎn)，使最大誤差（即波紋的峰值）最小化，誤差在整個逼近頻段上均勻分布。通過對通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)在不同頻段（通常指通帶和阻帶）的加權(quán)誤差最大值相同 ，從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值。

從表1的對比中，我們發(fā)現(xiàn)，基于Matlab設(shè)計(jì)FIR濾波器比較適合用最優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，誤差小，性能好，經(jīng)濟(jì)效益高，也方便調(diào)試參數(shù)。

3 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)

Matlab中利用最優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的函數(shù)是remezord和remez函數(shù)。

（1）remezord函數(shù)（作用是估算濾波器近似階數(shù)N，歸一化頻率帶邊界Fo ，頻帶內(nèi)幅值A(chǔ)o ，各個頻帶內(nèi)的加權(quán)系數(shù)W），F(xiàn)為頻帶邊緣頻率 ，A為各個頻帶期望的幅度值 ，dev是通帶和阻帶的偏差。函數(shù)格式為：[N，F(xiàn)o，Ao，W]=remezord（F，A，DEV，F(xiàn)s）

（2）remez函數(shù)利用多重交換迭代算法求解等波紋最佳逼近問題，求的滿足該準(zhǔn)則的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n）：h=remez（N，F(xiàn)o，Ao，W，ftype）

若事先不能確定要設(shè)計(jì)濾波器的階次，調(diào)用remezord后，利用b=remez（N，F(xiàn)o，Ao，W），從而設(shè)計(jì)出所需要濾波器。remezord會高或低估濾波器的階數(shù)，得到濾波器的系數(shù)后，要檢查阻帶最小衰減是否滿足要求。若不能，則增加階數(shù)。最優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟是：

（1）給出所需的頻響，加權(quán)函數(shù)和濾波器的單位樣值響應(yīng)h（n）的長度。

（2）由上面給定的參數(shù)來形成所需的頻率響應(yīng)（頻域）等表達(dá)式。

（3）利用Remez多重交換迭代算法解決逼近問題。

（4）利用傅立葉逆變換計(jì)算出單位樣值響應(yīng)。

4 結(jié)論

Matlab的使用為設(shè)計(jì)DIR濾波器提供了極大便利，方便多次修改參數(shù)，調(diào)整設(shè)計(jì)方法，仿真檢驗(yàn)濾波器性能等等以實(shí)現(xiàn)使濾波器更好的性能。

參考文獻(xiàn)

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作者單位

蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 甘肅省蘭州市 730100