一類(lèi)微分系統(tǒng)中心流形的隱函數(shù)計(jì)算方法

黃婷

摘 要：本文研究了一類(lèi)三維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中心流形上流動(dòng)隱函數(shù)形式級(jí)數(shù)計(jì)算方法，并給出了其代數(shù)公式，此公式是線(xiàn)性的，避免了復(fù)雜的積分運(yùn)算，運(yùn)用Mathematica系統(tǒng)軟件，基于代數(shù)遞推公式計(jì)算了三維微分系統(tǒng)中心流形上流的隱函數(shù)。該新算法為研究此類(lèi)非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，特別是穩(wěn)定性、Hopf分支問(wèn)題提供了很大的便利。

關(guān)鍵詞：中心流形；穩(wěn)定性；Hopf分支；形式級(jí)數(shù)；計(jì)算機(jī)代數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O322，O345

本文研究了一類(lèi)三維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中心流形上流動(dòng)隱函數(shù)形式級(jí)數(shù)計(jì)算方法，并給出了其代數(shù)公式，此公式是線(xiàn)性的，避免了復(fù)雜的積分運(yùn)算，運(yùn)用Mathematica系統(tǒng)軟件，基于代數(shù)遞推公式計(jì)算了三維微分系統(tǒng)中心流形上流的隱函數(shù)。該新算法為研究此類(lèi)非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，特別是穩(wěn)定性、Hopf分支問(wèn)題提供了很大的便利。

1 三維系統(tǒng)中心流形的形式級(jí)數(shù)

文[6]中給出了方法的實(shí)質(zhì)，將二維分支系統(tǒng)形式級(jí)數(shù)的思想方法進(jìn)行推廣，討論下列三維實(shí)解析系統(tǒng)：

其中，x，y，u，t，Akjl，Bkjl∈R（k，j，l∈N）。

同文[6]類(lèi)似先利用復(fù)變換將系統(tǒng)（1）化為復(fù)自治微分系統(tǒng)：

（2）

其中，z，w，T，akjl ，bkjl，dkjl∈C（k，j，l∈N）。

并稱(chēng)系統(tǒng)（1）與（2）互為伴隨系統(tǒng)。

定理1[ 6 ] 對(duì)系統(tǒng)（2），可逐項(xiàng)唯一確定形式級(jí)數(shù)：

確定；

確定；

2 算例與數(shù)學(xué)軟件的實(shí)現(xiàn)

考慮一類(lèi)實(shí)三維系統(tǒng)中心流形的隱函數(shù)形式級(jí)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。

其中a1，a2，b1，b2，d1，d2均為實(shí)變量。

同樣可以經(jīng)過(guò)復(fù)變換將系統(tǒng)（7）化為復(fù)自治微分系統(tǒng)：

根據(jù)定理1，有：

推論1

2，3，…，則可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)（3），使得（4）成立，且當(dāng)k≠j或者k=j，l≠0時(shí)，ckjl可由下列遞推公式：

確定，對(duì)任一正整數(shù)m，？滋m可由下列遞推公式：

應(yīng)用系統(tǒng)的強(qiáng)大符號(hào)運(yùn)算功能，把推論1的公式編成運(yùn)算程序，容易算出原點(diǎn)的前10個(gè)焦點(diǎn)量為：

實(shí)際上，系統(tǒng)（7）中心流形上流的方程在原點(diǎn)的所有焦點(diǎn)量為零，對(duì)應(yīng)原點(diǎn)為中心或者稱(chēng)在其原點(diǎn)鄰域可積。

利用推論1的遞推公式逐步計(jì)算出系數(shù)ckjl并通過(guò)逆變換：

可得系統(tǒng)（7）中心流形上的流的隱函數(shù)形式為：

其中，

下面考慮另一個(gè)三維系統(tǒng)：

同樣可以經(jīng)過(guò)復(fù)變換將系統(tǒng)（12）化為復(fù)自治微分系統(tǒng)：

3 總結(jié)

本文研究了一類(lèi)三維非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中心流形上流動(dòng)隱函數(shù)形式級(jí)數(shù)計(jì)算方法，并給出了其代數(shù)公式，此公式是線(xiàn)性的，避免了復(fù)雜的積分運(yùn)算，運(yùn)用Mathematica系統(tǒng)軟件，基于代數(shù)遞推公式計(jì)算了三維微分系統(tǒng)中心流形上流的隱函數(shù)。該新算法為研究此類(lèi)非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，特別是穩(wěn)定性、Hopf分支問(wèn)題提供了很大的便利。

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