構造輔助圓巧解一類與弦有關的垂直問題

李　波

(四川省蒼溪中學校，628400)

構造輔助圓巧解一類與弦有關的垂直問題

李波

(四川省蒼溪中學校，628400)

隨著課改的推進,對直線和圓的考查,主要以直線和圓的位置關系為主,題目難度適中,既著重對基礎知識的考查、更注重對基本技能的考查．求解直線與圓相交的問題，常用方法有幾何法與代入消元法,兩者相輔相成,相互統(tǒng)一;針對與相交弦有關的垂直問題,筆者巧妙地構造了輔助圓,將直線與圓的問題轉化為圓與圓的問題使問題的解答得以簡化.下面看具體的幾個例子．

一、建立等式,求參數

例1已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0

和直線l:x+2y-3=0交于P,Q兩點,且OP⊥OQ(O為坐標原點),求圓C的圓心坐標與m的值

如圖1,設以PQ為直徑的圓的方程為C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由OP⊥OQ知,點O在圓C1上,所以F=0.由聯(lián)立方程組

得(D-1)x+(E+6)y-m=0,即圓C與圓C1的交線PQ為

(D-1)x+(E+6)y-m=0.

又P,Q在直線x+2y-3=0上,所以

評注圓的一般方程里含有參數,一定要記得考慮D2+E2-4F>0,最終算出來的參數,一定要代回去檢驗．在圓中,與弦有關的垂直問題,必有一個直角三角形,可以考慮以斜邊為圓的直徑構造輔助圓,這樣就可以將問題轉化為圓與圓相交的問題．

上述試題是本校的一道月考題,在2000份試卷中,幾乎所有的考生都使用代數法,將題中的垂直問題轉化為兩根之和與兩根之積的代數問題,但有一個考生利用題中的垂直關系,巧妙地構造輔助圓來解決．

二、以形助解,求最值

例2已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0)B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為 ()

(A)7(B)6(C)5(D)4

解如圖2,設以AB為直徑圓的方程為x2+y2=m2.由∠APB=90°知,圓x2+y2=m2與C:(x-3)2+(y-4)2=1相交．由

得6x+8y-m2-24=0,

易知,當直線6x+8y-m2-24=0與圓C:(x-3)2+(y-4)2=1相切時,m有最小值和最大值,所以圓心C(3，4)到直線6x+8y-m2-24=0的距離

解得m2=16或m2=36.因為m>0,所以m=4或6,顯然m的最大值為6．

評注由圓的性質知,直徑所對的圓周角為直角,因此垂直問題可以考慮構造輔助圓.又因為點的存在問題即為圖象相交,因此本題將問題轉化為已知圓心,在圓與圓相交的條件下,求半徑最值的問題,借助圖象,數形結合便可快速求得半徑的最大值,最小值．

三、合情推理,化切為弦

例3如圖3，已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切⊙M于A,B兩點.

(2)求證:直線AB恒過定點.

解(1)如圖3,由QA,QB分別切⊙M于A,B兩點,知MA⊥QA,MB⊥QB,由此可得,以MQ為直徑的圓必過A、B兩點,又,A、B兩點在⊙M上,所以直線AB為兩圓的交線．

設Q點的坐標為(t,0),則MQ為直徑的圓的方程為

整理得x2+y2-tx-2y=0.

得交線AB的方程為tx-2y+3=0,所以圓心M到直線AB的距離為

評注過圓外一點作圓的切線，必有兩條切線.利用切線與半徑的垂直關系,可以考慮構造輔助圓,運用圓與圓相交的知識,求出兩切點所在的直線方程．

四、尋找關系,求軌跡

例4如圖4所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內的一點,A,B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°, 求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．

解設點Q的坐標為(x0,y0),P(4,0)，則以PQ為直徑的圓的方程為(x-x0)(x-4)+(y-y0)y=0，整理得x2+y2-(4+x0)x-y0y+4x0=0.由聯(lián)立方程組

得AB的方程(4+x0)x+y0y-36-4x0=0.

因為PQ的中點在交線AB上，所以

例5已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點．

(1)求線段AP中點的軌跡方程;

(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程．

解(1)略.

評注根據題中垂直條件,可以考慮輔助圓,在利用圓與圓相交的知識得到交線方程．同時需要考慮圓過定點,圓心在交線上,即可求出軌跡問題．

解題是數學永恒的主題,數學的解題歷程是一項富有挑戰(zhàn)性的活動,每一次的解題思維過程都會給我們留下深刻的解題體驗和感悟.新課標明確提出了使學生獲得數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的目標要求.對于一個數學問題,需要我們發(fā)散思維,善于聯(lián)系,多角度深入思考,可以得到不同的解法,從而訓練思維的靈活性,優(yōu)化思維品質.