極化碼在高斯信道下的信息位選擇

崔茵，倪衛(wèi)明

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極化碼在高斯信道下的信息位選擇

崔茵，倪衛(wèi)明

摘 要：極化碼是第一種、也是目前已知的唯一一種在任意二進(jìn)制輸入的對(duì)稱信道下能夠被證明“達(dá)到”信道容量的信道編碼方法，因而受到國內(nèi)外編碼領(lǐng)域的學(xué)者的追捧。基于信道極化現(xiàn)象，信道可分為純?cè)胄诺篮蜔o噪信道，如何選出無噪信道傳輸有用信息成為極化碼編碼的關(guān)鍵技術(shù)之一。極化碼對(duì)信道類型的敏感性決定了極化碼在不同的信道類型下，信息位的具體選擇方式有所不同，極化碼在高斯信道下的信息位選擇方案將予以總結(jié)分析。

關(guān)鍵詞：極化碼；信道極化；高斯信道；信息位

0 引言

極化碼自2009年被Arikan［1］提出以來，以其能被嚴(yán)格證明“達(dá)到”信道容量的性質(zhì)，吸引了眾多編碼領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注。極化碼利用信道極化的特性［2］，通過所謂的信道“合并”與信道“分解”，將個(gè)獨(dú)立的二進(jìn)制輸入離散無記憶信道變?yōu)镹個(gè)相互依賴的信道。這些經(jīng)極化操作的信道在保持N個(gè)信道的總信道容量不變的情形下，N個(gè)相互依賴的信道的信道容量呈現(xiàn)出極化現(xiàn)象：一部分信道容量增大，一部分信道容量減小。理論證明［1］：當(dāng)信道數(shù)量

時(shí)，一部分信道容量將趨于1，而其余信道的信道容量將趨于0；同時(shí)，容量趨于1的信道占總信道總數(shù)的比例為原二進(jìn)制輸入離散信道的信道容量這一現(xiàn)象被稱為信道極化。然而實(shí)際中受到碼長的限制，極化特性不會(huì)非常理想，但仍可利用信道極化的優(yōu)良特性，選出信道容量趨于1的無噪信道傳輸信息，在信道容量趨于0的信道上傳輸固定的、接收方已知的信息。

極化碼在BEC信道下的理論研究已十分成熟和完善。由于極化碼對(duì)信道類型的敏感性，極化碼在其他信道下的仍有很多研究要做，本文將對(duì)高斯信道的下的信息位選擇做總結(jié)和分析。目前已知的將極化碼應(yīng)用到高斯信道下有以下3種方法：一是將高斯信道等效為等信道容量的BEC信道［3］，二是蒙特卡洛逼近方法［1］，三是高斯逼近的方法［4］。

2 信道極化

2.1 符號(hào)解釋

2.2 信道合并

圖1 合成信道?

圖2 合成信道W4

圖3 合成信道WN

2.3 信道分解

通過以上分析可得，基于信道極化的這兩個(gè)步驟，極化碼的編碼和解碼過程也完成了。

3 極化碼在BEC信道下的信息位選擇

對(duì)于BEC信道，我們可以計(jì)算各個(gè)子信道的信道容量如公式（1）、（2）：

圖4 BEC信道下，各個(gè)子信道的信道容量分布圖

圖5 BEC信道下各個(gè)自信道巴氏參數(shù)的分布圖

極化碼在BEC信道下的特征從以下從兩個(gè)方面予以說明：

圖6 碼長N一定，刪除概率從左至右從上到下分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6時(shí)各子信道的容量分布圖

表1 碼長一定，BEC信道的刪除概率不定

圖7 刪除概率一定，碼長左至右從上到下分別為，，，，時(shí)各子信道的容量分布圖

表2 碼長一定，BEC信道的刪除概率不定

4 極化碼在AWGN信道下的信息位選擇

4.1 BEC等效

4.2 蒙特卡洛逼近

4.3 高斯逼近

在Turbo碼和LDPC碼中，密度進(jìn)化的方法都有廣泛的應(yīng)用［8］［9］［10］，Tal和Vardy在對(duì)二進(jìn)制輸入的AWGN信道中研究Turbo碼和LDPC碼時(shí)，得出概率密度函數(shù)可由一簇均值為方差2倍的高斯分布來近似，將復(fù)雜的多維概率密度函數(shù)的計(jì)算簡化為對(duì)一維的均值的計(jì)算，從而很大程度上簡化計(jì)算量，這種對(duì)密度進(jìn)化算法的簡化算法稱為高斯近似或者高斯逼近（GA）［6］。因此，高斯逼近算法可用于計(jì)算二進(jìn)制輸入AWGN信道在信道極化后信息位的選擇。

其中

其中

［11］如公式（8）：

選出子信道錯(cuò)誤概率最小的K個(gè)子信道即可完成信息位的選擇。

4.3 高斯逼近

以上3種信息位的選擇方法中，第二種蒙特卡洛逼近的復(fù)雜度較高，因此在信息位選擇中，一般不作為常用的信息位的選擇方法。在碼長時(shí)，高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，等效的BEC信道的刪除概率，如圖8所示：

圖8 長度N=32的極化碼子信道錯(cuò)誤概率

星號(hào)表示采用BEC等效方法由公式（3）（4）得到的每個(gè)子信道的錯(cuò)誤概率，圓圈表示采用高斯逼近方法由公式（8）得到的每個(gè)子信道的錯(cuò)誤概率。仿真結(jié)果表示，BEC等效方法與高斯逼近方法的走勢(shì)基本一致，通過高斯逼近的方法得到的子信道的錯(cuò)誤概率較等效BEC信道方法更低。

5 總結(jié)

極化碼利用信道極化的特性，將信息在可靠性高的子信道上傳輸，這也是極化碼的關(guān)鍵技術(shù)之一。文中總結(jié)和分析了最常見的三種應(yīng)用于高斯信道中信息位的選取方法，三種方式都是通過計(jì)算子信道的可靠性參數(shù)來選擇傳輸信息位的子信道，同時(shí)通過對(duì)高斯信道子信道信息位選擇的分析也更好的了解到極化碼是一種對(duì)信道十分敏感的信道編碼方法。今后的研究中，例如瑞利信道，如何去選擇最可靠的K個(gè)傳輸信息的子信道也是非常重要的研究方向。

參考文獻(xiàn)

［1］ Arikan .E， ―Channel polarization: a method for con

structing capacity-achieving codes for symmetric bina-ry-input memoryless channels，”［J］ IEEE Trans. Inf. Theory， July 2009，vol. 55， no. 7， pp. 3051-3073

［2］ Arikan .E，―Channel polarization: a method for constructing capacity-achieving codes，” in Proc. ［J］ IEEE Int. Symp. Inf. Theory， Jul. 2008， pp. 1173-1177.

［3］ Arikan .E， “A performance comparison of polar codes and reed-muller codes，” ［J］ IEEE Communications Letters， 2008， vol. 12， no. 6， pp. 447-449.

［4］ Trifonov P.， ―Efficient design and decoding of polar codes，” ［J］ IEEE Trans. Commun.， Nov. 2012， vol. 60， no. 11， pp. 3221-3227.

［5］ Ryan W. and Lin S.， Channel Codes: Classical and Modern. ［M］New York， NY， USA: Cambridge Univ. Press，2009.

［6］ Chung S.， Thomas Richardson J.， and Urbanke R.，“Analysis of sum-product decoding of low-density parity-check codes using a Gaussian approximation，” ［J］IEEE Transactions on Information Theory， Feb. 2001， vol. 47， no.2， pp. 657-670.

［7］ Tal I. and Vardy A.， ―How to construct polar codes，” ［J］IEEE Trans. Inf. Theory， 2013， vol. 59， no. 10， pp. 6562-6582.

［8］ Divsalar D.， Dolinar S.， Pollara F.，―I terative Turbo decoder analysis based on density evolution，” ［J］ IEEE J. Select. Areas Commun.， 2001: pp.891-907.

［9］ Chung S.， ―On the construction of some capacity-approa -ching coding schemes，” ［M］Ph. D. dissertation， Dept. Elect. Eng.， Mass. Inst. Technol.， Cambridge， MA，

［10］ Richardson T. and Urbanke R. ，― The capacity of low-density parity-check codes under message-passing decoding， ［J］”IEEE Trans. Inf. Theory， 2001， 47（2），pp.599-618..

［11］ Proakis J. G.， Digital Communications［M］. M cGraw Hill，1995.

Selection of Information Bit of Polar Code under AWGN Channel

Cui Yin，Ni Weiming （Department of Information Science and Technology， Fudan University， Shanghai 200433， China）

Abstract:The polar code， which has been popular among the channel coding area， is the first and the unique method that could be proved to construct capacity-achieving codes for any symmetric binary-input discrete memoryless channels. Based on the channel polarization， N copies of the channels can be divided into two parts， the noiseless channel and the pure noise channel. How to select the good channel has been of one the key points while applying the polar codes. At the same time， polar codes is sensitive to the type of channel， which determines that it will be different to choose the good channels when the type of the channel is different.

Key words:Polar Code； Channel Polarization； AWGN Channel； Information Bit

中圖分類號(hào)：TN911.22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-757X（2016）05-0068-05

作者簡介：崔 茵（1991-），女，仙桃人，復(fù)旦大學(xué)，信息科學(xué)與工程學(xué)院，碩士研究生，研究方向：信道編碼，上海，200433倪衛(wèi)明（1970-），男，上海市人，復(fù)旦大學(xué)，信息科學(xué)與工程學(xué)院，副教授，博士，研究方向：無線通信和無線網(wǎng)、通信信號(hào)處理、編碼技術(shù)，上海，200433

收稿日期:（2015.10.23）