基于影子軌跡線和相似原理的太陽影子定位技術(shù)研究

蔡俊浩 李洛勤 李繼昌 周益輝

摘 要：針對太陽影子定位技術(shù)，本文主要解決三個問題。（1）根據(jù)太陽照射下直桿成影的原理以及直桿影子隨著時間的變化規(guī)律，建立太陽點(diǎn)、時間和影子端點(diǎn)坐標(biāo)的空間模型，求出直桿影子長度隨時間的變化規(guī)律。（2）根據(jù)兩個不等長的直桿在同一位置任意時間影子的長度之比為一恒定值這一原理求出該直桿所在的地點(diǎn)。（3）根據(jù)步驟2的原理以及一天中直桿影子長度的變化確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。

關(guān)鍵詞：天體模型；經(jīng)緯度；影子軌跡

在視頻數(shù)據(jù)分析中，如何來確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是一個重要的分析方面，而其中一種重要技術(shù)就是利用太陽影子定位技術(shù)分析視頻中的問題的太陽影子變化。

1 直桿影子長度變化

在太陽的照射下，一天中直桿的影子的位置不是固定不變的，影子的位置會隨太陽的位置變化發(fā)生變化。若假設(shè)某一天當(dāng)中的某一個時刻的太陽位置如圖1 所示，設(shè)直桿垂直于地面上的高度為H，太陽光線平行通過直桿頂端P點(diǎn)時在地面上形成的影子點(diǎn)為，且所形成的影子的長度為L，，則可得到：

在每一天中地球自轉(zhuǎn)一周是360°，每1h自轉(zhuǎn)的度數(shù)為15°， 且這個角度稱為時角（）。由于隨著地球的自轉(zhuǎn)及繞太陽公轉(zhuǎn)的不斷進(jìn)行，太陽位置也隨著時間在不斷地發(fā)生變化 。因此，可以獲得不同時間點(diǎn)直桿頂端的落影點(diǎn)，并且由求出的各個時間點(diǎn)下的不同的直桿頂端落影點(diǎn)點(diǎn)形成一天中直桿頂端落影點(diǎn)的軌跡線。

2 基于相似三角形定理的影子地點(diǎn)確定

設(shè)定在同一地點(diǎn)有另外一個直桿，高度為，

而真實(shí)的直桿的高度為，設(shè)，為直桿之間的比例系數(shù)，根據(jù)相似三角形定理，我們可以得到，，因此可以得到

由上式看出，在同一日期同一地點(diǎn)，即使不同時刻不同長度的直桿的影子長度不同，他們之間的長度比值相同，而且比值是一個定值。

假設(shè)已知日期和直桿長度和某未知地點(diǎn)下一段時間的影子坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)和上述分析，我們可以知道該地點(diǎn)在當(dāng)天也有特定的比例系數(shù)。現(xiàn)在我們設(shè)定了一個網(wǎng)格坐標(biāo)，坐標(biāo)變量為經(jīng)緯度，假設(shè)已經(jīng)知道某個具體的經(jīng)緯度，則可以通過上述模型求出在相同時間段下影子的長度變化，和附錄中給出的影子長度求比值。

式中，為各個比例系數(shù)的差分平方和，如果平方和值越小，則代表著誤差越小，說明該點(diǎn)越接近所在地點(diǎn)。如果誤差接近為0，則該點(diǎn)可以近似作為所求的地點(diǎn)。

3 基于相似三角形定理的地點(diǎn)和時間確定

由于日期未知，因此對于赤緯角而言也是一個未知量，因此可以再次考慮使用步驟二進(jìn)行365次迭代，每次迭代帶入不同日期代表的赤緯角，通過遍歷之后找出當(dāng)天的局部最優(yōu)解，再從365天中再找出全局最優(yōu)解，最后得到的天數(shù)和經(jīng)緯度即為可能的地點(diǎn)和日期。由于模型的建立與步驟二的內(nèi)容幾乎一樣，所以與步驟二的模型相同的內(nèi)容則不再重復(fù)。模型的不同點(diǎn)如下：

其中day為一年365天中的第day天。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本次試驗(yàn)采用2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題題目中提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的驗(yàn)證。

4.1 直桿影子長度變化

題目給出的經(jīng)度為東經(jīng)116°23′29″，而所參照的時間為北京時間（東經(jīng)120度所對應(yīng)的時間），在時間上有所差異，所以需要修正北京時間帶來的差異，具體應(yīng)對時角公式進(jìn)行如下修正：

其中為北京時間對應(yīng)的經(jīng)度，對應(yīng)當(dāng)前地點(diǎn)對應(yīng)的經(jīng)度，4代表著每經(jīng)過一個經(jīng)度相差4min。

由題目的數(shù)據(jù)可以得到赤緯角（10月22日）， ，將9點(diǎn)到15點(diǎn)的時間數(shù)據(jù)帶進(jìn)上模型可以得到3m高的直桿的太陽影子長度的變化曲線如下圖：

4.2 基于相似三角形定理的影子地點(diǎn)確定

通過觀察數(shù)據(jù)可以得到該時間段影子的長度呈遞增現(xiàn)象，因此首先對數(shù)據(jù)中的影子長度求差分，得到影子在不同時刻的變化率，再通過曲線的多項(xiàng)式擬合可以初步的得到變化率為0時的點(diǎn)，該點(diǎn)既可以認(rèn)為是當(dāng)?shù)貢r間12點(diǎn)時所對應(yīng)的點(diǎn)，由此可以通過地理知識在該點(diǎn)時間與北京時間的差異上求出大概的經(jīng)度位置。

經(jīng)過上面經(jīng)度的預(yù)處理我們以107.4375為核心左右20度進(jìn)行搜索，得到如下誤差曲線：

求得最優(yōu)位置的經(jīng)緯度為：東經(jīng)108.8000，北緯19.2000，誤差平方和error=3.66942e-08，可以近似為0；經(jīng)查閱地圖，該點(diǎn)為中國海南省的某個位置。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭鵬飛，林大鈞，劉小羊，等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究[J]. 華東理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，（3）：458-463.

[2]蔣洪力.太陽直射點(diǎn)緯度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析[J].數(shù)學(xué)通報，2007，（9）：39-40.

[3]肖智勇，劉宇翔.一種新的緯度測量方法[J].大學(xué)物理，2010，（9）：51-54.

（作者單位：華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院）