楊輝三角性質(zhì)的新發(fā)現(xiàn)

崔國(guó)棟（甘肅武威二中 甘肅武威 733000）

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楊輝三角性質(zhì)的新發(fā)現(xiàn)

崔國(guó)棟
（甘肅武威二中 甘肅武威 733000）

摘 要：二項(xiàng)式定理溝通了多項(xiàng)式乘法和排列組合的關(guān)系。是每年高考的必考內(nèi)容。其中二項(xiàng)式系數(shù)有很多奇妙的性質(zhì)，一千多年來(lái)中外數(shù)學(xué)家在這塊土地上勤奮耕耘，篳路藍(lán)縷，取得了豐碩的成果，也引起筆者濃厚的興趣，從指數(shù)n＝1、2、3……變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)橫向排列恰好是111、112、113……這是巧合？還是必然？

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理 楊輝三角 加法法則 新發(fā)現(xiàn)

表1 二項(xiàng)式系數(shù)表

上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，它有這樣的規(guī)律，表中每行兩端均為1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，事實(shí)上，該表中任一不為1的數(shù)C，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別C、C，由組合數(shù)的性質(zhì)可知道：C=C+C.這個(gè)表早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里已經(jīng)出現(xiàn)了。因而又把此表稱(chēng)之為楊輝三角。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise.Pascae.1623年- 1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，它們把這個(gè)表叫帕斯卡三角，這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族的自豪的。

表2

這個(gè)表有許多性質(zhì).在此不做主要討論。只就自己教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的一條新性質(zhì)，不揣淺陋，提供出來(lái)，與各位商榷。

通過(guò)觀察，楊輝三角中各數(shù)滿(mǎn)足表2規(guī)律：在n=0、1、2、3、4……時(shí)，那么，115是否就是15101051呢？答案是否定的，但依據(jù)上述規(guī)律能否找到11n（n ∈N，n≥5）與楊輝三角中相應(yīng)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系呢？

根據(jù)表2第六行與第十一行各數(shù)做如下（圖1）運(yùn)算：

圖1

由此可見(jiàn)，可以將楊輝三角中第n+l行數(shù)“相加”算出11n

“加法法則”：

把楊輝三角中節(jié)n+l行的n+l個(gè)數(shù)字，從左到右自下而上逐層往前錯(cuò)一位書(shū)寫(xiě)，然后按照平常算術(shù)豎式加法把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來(lái)，滿(mǎn)10進(jìn)1，則其結(jié)果為11n。［2］

原理：11n=（1+10）n的二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其通項(xiàng)Tr+l=Cl0r，當(dāng)r=0，1，…n時(shí)按照10r項(xiàng)進(jìn)行升冪排列，說(shuō)明C中的每個(gè)數(shù)1表示10r，而C中的每個(gè)1表示10r-1.因而在求和的過(guò)程中，每相鄰的兩數(shù)之間必然在數(shù)位上相差l位，實(shí)際上如n=5時(shí)

C51101表示5個(gè)10，C102表示C個(gè)102，C102=1000而相加時(shí)，數(shù)位總是向前遞增一位，加法過(guò)程如下圖2所示：

圖2

總結(jié)：筆者通過(guò)大量的演算與推理得出了本文的結(jié)論：“加法法則”：把楊輝三角中節(jié)n+l行的n+l個(gè)數(shù)字，從左到右自下而上逐層往前錯(cuò)一位書(shū)寫(xiě)，然后按照平常算術(shù)豎式加法把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來(lái)，滿(mǎn)10進(jìn)1，則其結(jié)果為11n。

參考文獻(xiàn)

［1］ 王雄偉. 楊輝三角數(shù)字排列的一些性質(zhì)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005（5）：28-29.

［2］ 王廷楨. 楊輝三角的行列式性質(zhì)［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究， 1987（3）.