小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)

田丹妹　戴瑩

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：要著重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。很顯然，空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，其目標(biāo)在于使學(xué)生初步形成空間觀念，感受符號(hào)和幾何直觀的作用，讓學(xué)生能夠了解生活中各種各樣的物體都和數(shù)學(xué)息息相關(guān)，使他們能夠主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。所謂的空間觀念就是指學(xué)生能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。因此教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)以“圖形與幾何”知識(shí)為載體，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，采用合理有效的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?；貧w到實(shí)際教學(xué)中，教師可以從以下幾點(diǎn)著手培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

一、注重生活經(jīng)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的基礎(chǔ)

皮亞杰的認(rèn)知理論告訴我們：小學(xué)階段的學(xué)生，年齡大都處在7～12歲，思維處于由前運(yùn)算階段向具體運(yùn)算階段過渡，思維具有不可逆性并且尚未獲得物體守恒的概念，反映到教學(xué)中學(xué)生并不是一無所知地來到學(xué)校，在進(jìn)入學(xué)校時(shí)，他們已經(jīng)接觸了生活中大量的物體，例如：自己的玩具、游樂園中玩的各種項(xiàng)目，但他們對(duì)這些物體只是簡單地知道名字和玩法，無法從中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，頭腦中對(duì)這些物體圖形只是表象的認(rèn)識(shí)，無法對(duì)它們進(jìn)行歸類，無法用數(shù)學(xué)的語言描述物體所蘊(yùn)含的奧秘，而學(xué)生學(xué)習(xí)的空間知識(shí)又是來自他們生活中一些豐富的現(xiàn)實(shí)原型，因此，學(xué)生所積累的這些生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)他們的空間觀念是至關(guān)重要的，是基礎(chǔ)性的。這是因?yàn)樾W(xué)生的思維發(fā)展過程是由具體形象思維發(fā)展到半具象符號(hào)思維最后上升到抽象思維，因此需要為他們呈現(xiàn)大量原圖，積累豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，沒有足夠的生活經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念能力是難以實(shí)現(xiàn)的。因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生空間觀念中應(yīng)該為學(xué)生呈現(xiàn)豐富的生活原型，加強(qiáng)生活實(shí)際和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。如：教師在講授《三視圖認(rèn)識(shí)》一課中，教師把事先準(zhǔn)備好的相同大小的正方體擺出的圖形呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從不同方位進(jìn)行觀察并試著畫出主視圖、左視圖和俯視圖，但光做到這一點(diǎn)學(xué)生是無法從立體圖形中抽象出平面圖形的，教師應(yīng)幫助學(xué)生理解從具體形象思維到抽象思維的發(fā)展需要經(jīng)歷一個(gè)“壓縮”的過程，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明白為什么畫出的平面圖形就是從擺放的立體圖形中抽象出來的。這就需要具體做到：①呈現(xiàn)大量的擺放圖形（用相同大小的正方體擺放而成）。讓學(xué)生從不同角度進(jìn)行觀察，然后進(jìn)行小組討論和交流，使學(xué)生能夠?qū)Σ煌嵌瓤吹降膱D形形成清晰的表象認(rèn)識(shí)。②感受變化過程。從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化需要經(jīng)過“壓縮”的過程，這個(gè)“壓縮”是學(xué)生自己通過對(duì)具體物體的動(dòng)手操作以及結(jié)合多媒體的動(dòng)態(tài)展示中探究出來的，這一過程使得學(xué)生能夠在頭腦中形成壓縮流程圖，從而明白立體圖形經(jīng)過在大小、長度、高低不變的情況下壓縮，從而得到不同的平面圖形。

學(xué)生通過對(duì)壓縮得到的圖形進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)從左邊看到的圖形和右邊看到的圖形一樣，因此可以將他們歸為一類，從而形成了主視圖、左視圖和俯視圖。③再操作。在形成深刻的壓縮流程圖的基礎(chǔ)上，再次進(jìn)行動(dòng)手操作，以驗(yàn)證這一方法是否也適用于其他的圖形，這樣一來，學(xué)生不僅能夠正確的畫出三視圖，并且能夠掌握從立體圖形到平面圖形是一個(gè)壓縮的過程，學(xué)生能夠形成深刻的印象，在以后的學(xué)習(xí)中不必再經(jīng)歷搭建和觀察的過程，只需要在大腦中想象壓縮流程圖，然后畫出三視圖，既省時(shí)間，又能夠使學(xué)生輕松掌握這一知識(shí)點(diǎn)，為以后高階段學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這一壓縮的過程對(duì)于學(xué)生從立體到平面的理解是有極大幫助的，但這一過程的運(yùn)用要合適恰當(dāng)，否則會(huì)在學(xué)生從三視圖到立體圖形還原時(shí)造成一定的阻礙。

二、注重實(shí)踐操作是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的保證

小學(xué)生的思維處在形象思維向抽象思維過渡的階段，要想發(fā)展他們的空間觀念，使他們從具體形象的事物中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，必須經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”這個(gè)環(huán)節(jié)。做數(shù)學(xué)就是讓學(xué)生自己親自動(dòng)手操作，通過自己涂一涂、剪一剪、量一量、拼一拼，積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，在動(dòng)手操作的過程中，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。加德納的多元智能理論告訴我們，智力的內(nèi)涵是多元的，它由七種相對(duì)獨(dú)立的智力成分構(gòu)成，其中包括言語智力、空間智力、邏輯-數(shù)理智力等，每種智力都是一個(gè)獨(dú)立的功能系統(tǒng)，這些系統(tǒng)可以相互作用，產(chǎn)生外顯的智力行為。因此，學(xué)生通過在動(dòng)手操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅發(fā)展了他們用數(shù)學(xué)語言描述物體特征的能力，提高了他們的空間想象力，他們的邏輯推理能力也能夠得到加強(qiáng)。例如：教師在講授五年級(jí)上冊(cè)三角形面積公式一課時(shí)，①讓學(xué)生先回憶學(xué)過的長方形的面積S=長×寬。②學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長方形，沿著它的對(duì)角線剪開，這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)變成了兩個(gè)完全一樣的直角三角形。

到這里，學(xué)生只是建立了一個(gè)初步的三角形面積公式的計(jì)算方法，接著向?qū)W生出示兩個(gè)完全一樣大的等腰三角形，將其中的一個(gè)三角形沿高剪開，變成兩個(gè)直角三角形，鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手剪一剪、拼一拼，學(xué)生就能在自然而然中拼成一個(gè)長方形，并且會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形的底就是長方形的長，三角形的高就是長方形的寬。長方形面積的大小等于兩個(gè)等腰三角形面積的大小之和，即長方形面積=2個(gè)三角形面積之和。

在這個(gè)過程中，由于學(xué)生所理解到的都是特殊的三角形，在一定程度上能夠說明問題，但不具有普遍性。從心理接受上來說，學(xué)生對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)還是持有懷疑的態(tài)度，這時(shí)可以向?qū)W生呈現(xiàn)不具有特殊性的三角形，讓學(xué)生再去剪一剪、拼一拼，在這一過程中學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)依然可以拼成長方形，并能夠從中發(fā)現(xiàn)不是特殊三角形的面積依然等于長方形面積的一半，即S=長×寬÷2=[12]×底×高。

這種動(dòng)手實(shí)踐操作的方法，能夠避免學(xué)生忘記除以2的情況。鼓勵(lì)學(xué)生親自動(dòng)手操作，經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，深刻理解和掌握三角形面積公式的由來和本質(zhì)，并且能夠靈活運(yùn)用于計(jì)算生活中存在的三角形物體的大小，真正做到從現(xiàn)實(shí)中提取出知識(shí)，再用知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生能夠切身感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。

三、注重空間想象是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的關(guān)鍵

小學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度是有限的，對(duì)于知識(shí)的掌握速度比較慢，需要經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。這就需要教師“以學(xué)生為中心”，給學(xué)生充分的時(shí)間去動(dòng)手剪一剪、拼一拼、量一量，讓學(xué)生自己在親自做的過程中去想象，推理驗(yàn)證，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程本身就是一個(gè)積極思辨的過程，學(xué)生在不斷地嘗試中一次次地推翻自己原有的思維定式，不斷地向其注入新的知識(shí)，對(duì)頭腦中正確的表象加以再認(rèn)識(shí)，對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)知進(jìn)行糾正，這一過程不僅是學(xué)生加深對(duì)知識(shí)理解的過程，更重要的是能夠幫助學(xué)生理清自己的思路，將頭腦中零散的知識(shí)點(diǎn)建構(gòu)起來，形成屬于自己的知識(shí)網(wǎng)。

四、注重?cái)?shù)學(xué)思想是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的內(nèi)在需要

在教學(xué)過程中教師常常會(huì)產(chǎn)生這樣的困惑，知識(shí)點(diǎn)的講解學(xué)生都能聽懂，但課后練習(xí)的結(jié)果卻不理想。究其原因，主要是教師沒能完全理解數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的影響，沒能將數(shù)學(xué)思想恰到好處地滲透在自己的教學(xué)中。譬如：在講解圓錐的體積公式時(shí)，學(xué)生能夠明白圓柱的體積V=sh，形成了思維定式，當(dāng)他們?cè)賹W(xué)習(xí)圓錐的體積時(shí)無法一時(shí)直接轉(zhuǎn)化過來，并且沒能從內(nèi)心真正理解圓柱和圓錐的區(qū)別到底有哪些？因此在這一知識(shí)講授的過程中，教師要把學(xué)生會(huì)產(chǎn)生困惑和容易搞混的地方著重講解，做到深入剖析。在講解之前，教師要先幫助學(xué)生理清圓柱和圓錐的區(qū)別：①圓錐只有一個(gè)底面，圓柱有兩個(gè)完全一樣大的底面（上底面和下底面）；②圓錐只有一條高，圓柱有無數(shù)條高；③圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)曲面，為扇形，圓柱的側(cè)面展開圖也為曲面，展開圖是長方形（或正方形）

通過這一對(duì)比，學(xué)生清楚了解到圓柱和圓錐的不同之處，那自然而然學(xué)生就會(huì)知道圓錐的體積和圓柱的體積也是不同的。在這樣的基礎(chǔ)上再去講解圓錐的體積，學(xué)生的思維會(huì)變得更加清晰。接下來，需要學(xué)生發(fā)揮動(dòng)手操作的能力，引導(dǎo)學(xué)生在親自實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)圓錐體積的計(jì)算公式是如何得出來的。在這一環(huán)節(jié)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧體積的概念，需要指出的就是能夠讓學(xué)生清楚地區(qū)分體積和容積的概念。體積是指一個(gè)物體占據(jù)空間的大??；容積是指容器容納物體的大小，是容器（箱子、倉庫、油桶等）的內(nèi)部體積，當(dāng)做到這一點(diǎn)學(xué)生依然是無法從本質(zhì)上對(duì)體積和容積加以區(qū)別開來的，需要從體積和容積在特征方面的不同真正將兩者區(qū)別開來。

這一對(duì)比，學(xué)生便會(huì)在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對(duì)體積和容積的認(rèn)識(shí)更加明確，再通過讓學(xué)生自己舉例來說一說哪些物體可以求體積和容積，哪些物體只能求體積，學(xué)生在自己舉例說明的過程中不僅能夠理清自己的思路和認(rèn)識(shí)，還能夠強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

在學(xué)生分清體積和容積的基礎(chǔ)上，再次請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐。將準(zhǔn)備好的等底等高的圓柱和圓錐容器，往圓錐中注滿水，并且倒入圓柱體中，學(xué)生通過不斷地實(shí)驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，要想將圓柱中注滿水，需要3次，在這一過程中學(xué)生便會(huì)理解圓柱的體積ν=3倍圓錐的體積。所以圓錐的體積ν=[13]圓柱的體積=[13]sh（s為圓錐的底面積，高為從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離），使學(xué)生真正理解[13]是如何得出來的。通過第一步區(qū)分圓柱和圓錐，打破學(xué)生之前對(duì)圓柱體積的理解定式；第二步，區(qū)分體積和容積的概念，讓學(xué)生暫時(shí)將圓錐的體積獨(dú)立出來，不被其他的知識(shí)點(diǎn)干擾；第三步，建立圓柱的體積和圓錐體積之間的聯(lián)系，讓學(xué)生明白圓錐的體積等于[13]圓柱的體積。按這樣的順序進(jìn)行下去，不僅幫助學(xué)生澄清了知識(shí)點(diǎn)中存在的困惑，而且也讓學(xué)生深刻掌握了圓錐體積的計(jì)算方式，并且在列式計(jì)算中也不會(huì)出錯(cuò)，能夠幫助學(xué)生在頭腦中對(duì)圓柱和圓錐建立起聯(lián)系。其實(shí)，在實(shí)際教學(xué)中像這樣將數(shù)學(xué)基本思想貫穿于自己教學(xué)中是必不可少的，它的呈現(xiàn)方式有時(shí)是顯性的，有時(shí)是隱性的，是學(xué)生空間觀念形成的內(nèi)在需要。通過數(shù)學(xué)基本思想的滲透，幫助學(xué)生從動(dòng)手操作中抽象出數(shù)學(xué)公式，引導(dǎo)學(xué)生的思維經(jīng)歷從具體形象到抽象思維轉(zhuǎn)化的過程，在動(dòng)手操作、合作探究、推理驗(yàn)證中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

五、注重邏輯推理能力有助于學(xué)生空間觀念的形成

小學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握是零散的，無系統(tǒng)的，而學(xué)生空間觀念能力的發(fā)展依賴于一定的邏輯推理能力，只有當(dāng)學(xué)生對(duì)幾何形體的特征有了充分認(rèn)識(shí)，理解了各種圖形之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，能夠?qū)λ鼈兘⒁欢ǖ穆?lián)系時(shí)，它們的邏輯推理能力便得到了一定的發(fā)展。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形、梯形和三角形的面積公式時(shí)，能否幫助學(xué)生在這三者之間建立一定的關(guān)系呢？能否幫助學(xué)生將他們頭腦中零散的知識(shí)點(diǎn)加以系統(tǒng)化整理呢？①教師可以先讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的梯形、平行四邊形、三角形拿出來，讓學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)法將梯形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，初步感知梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形的過程，思考梯形的上底和下底滿足什么關(guān)系時(shí)，可以變成一個(gè)平行四邊形；當(dāng)梯形的上底和下底滿足什么關(guān)系時(shí)，可以變成一個(gè)三角形，讓學(xué)生在不斷剪、拼中理解三種圖形之間的轉(zhuǎn)化和關(guān)系，幫助學(xué)生建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，使他們頭腦中的知識(shí)更加系統(tǒng)化、明了化，形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)。

當(dāng)學(xué)生能夠?qū)ζ叫兴倪呅?、梯形、三角形之間存在的關(guān)系進(jìn)行梳理時(shí)，他們就會(huì)得出三者之間是存在著密切聯(lián)系的，而且能夠用數(shù)學(xué)的語言描述出變化的過程。當(dāng)梯形的上底b等于下底a時(shí)，梯形就變成了平行四邊形；當(dāng)梯形的上底b=0時(shí)，梯形就變成了三角形，利用知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，有利于幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)這些平面圖形的變化過程、計(jì)算公式的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化過程、圖形和公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生更好地理解公式和應(yīng)用公式，進(jìn)一步加深對(duì)這些圖形計(jì)算方法的理解，從而增強(qiáng)空間觀念。

數(shù)學(xué)教育作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要組成部分，既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更需要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用，這一作用的發(fā)揮必須從早從小做起。小學(xué)生的好奇心和求知欲很強(qiáng)烈，他們渴望去探索這個(gè)世界，因此教師在教學(xué)的過程中可以充分利用這一點(diǎn)，從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，向?qū)W生傳授生活化的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)他們從最具體形象的感知中提取數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“想數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“探數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的過程，使知識(shí)為他們所用，讓他們?cè)谠敢庵袑W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在快樂中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在推理中驗(yàn)證數(shù)學(xué)，在創(chuàng)新中運(yùn)用數(shù)學(xué)。

【作者單位：渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院 遼寧】