師生互動多維思考，給高三復(fù)習(xí)帶來新天地

劉+++茹

最近剛復(fù)習(xí)到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊，在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性中遇到這樣一題：

例：已知函數(shù)f（x）=x2-lnx，g（x）=ax+lnx（a∈R）。

（1）若曲線f（x）存在平行于x軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍。

（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間，e上是單調(diào)遞減的，求實數(shù)a的取值范圍。

這是一道含參的單調(diào)性問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。第一問解略，對于第二問，課堂上同學(xué)們是這樣求解的：

由題意F（x）=-ax-2lnx，得導(dǎo)函數(shù)

F′（x）=ax-a-=

因為函數(shù)F（x）在區(qū)間，e上是單調(diào)遞減的，所以F′（x）≤0在區(qū)間，e上恒成立，即轉(zhuǎn)化為ax2-ax-2≤0恒成立。

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax2-ax-2。討論：

（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)h（x）=-2<0，此時函數(shù)F（x）在區(qū)間，e是單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)a>0時，函數(shù)h（x）=ax2-ax-2開口向上，對稱軸x=∈，e，只需h（e）=ae2-ae-2≤0，即a≤。

故0

（3）當(dāng)a<0時，函數(shù)h（x）=ax2-ax-2開口向下，對稱軸x=∈，e，只需h（）≤0，解得-8≤a<0。

綜上可知，-8≤a≤。

這種解法是利用導(dǎo)數(shù)將函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)含參問題來解決，直接對參數(shù)討論。通常對于含參問題，我們還有一種常見處理方式：分離參數(shù)法。對于本問題，能否用分離參數(shù)法呢？對于我提出的問題，思索一會兒后，大部分同學(xué)都說不行，理由是分離前式子a（x2-x）≤2中x2-x在區(qū)間，e上不能確定符號，不能直接除過去。這就是問題所在。當(dāng)不能確定符號時該怎么辦呢？在我的提示下，學(xué)生們開始思索。這時有個學(xué)生甲站起說，可以對變量區(qū)間討論，確定x2-x的符號后再除過去，轉(zhuǎn)化成求最值問題。之后利用導(dǎo)數(shù)求最值。然后，按照這條思路和學(xué)生一起得出了如下板演過程：

（1）當(dāng)x=1時，x2-x=0，此時a（x2-x）≤2恒成立，a∈R。

（2）當(dāng)≤x<1時，x2-x<0，此時由h（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為a≥在x∈，1上恒成立。

令t（x）=，得t′（x）=，

當(dāng)x∈，，t′（x）>0，t（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈，1，t′（x）<0，t（x）單調(diào)遞減。從而當(dāng)x=時，t（x）max=t=-8。

所以a≥-8。

（3）當(dāng)10，得a≤恒成立。此時t（x）=，t′（x）=，當(dāng)x∈（1，e]時t（x）<0，t（x）單調(diào)遞減，t（x）min=t（e）=，故此時a≤。

至此，到了該綜合以上情況得出結(jié)論的時候了，我提出個問題，這些參數(shù)的范圍該如何整理，為何這樣做？學(xué)生們愣了一下，隨后學(xué)生乙站起來回答了這個問題：這是對變量區(qū)間進行的討論，不是對參數(shù)討論，所以不能像參數(shù)討論那樣對結(jié)果取并集。因為導(dǎo)數(shù)在整個區(qū)間上小于等于零恒成立，所以必須每段討論區(qū)間上得出的參數(shù)范圍要同時成立，結(jié)果應(yīng)該取交集?；卮鸬貌诲e，抓住了關(guān)鍵點：參數(shù)在每一個劃分的區(qū)間上都必須滿足題意，各段要同時成立，因而應(yīng)取交集。即-8≤a≤。

整理完該種解法，我讓同學(xué)們繼續(xù)思考。在我下講臺巡視時，學(xué)生丙攔住了我，向我展示了他的解法：

由F′（x）≤0在閉區(qū)間，e上恒成立，得ax2-ax-2≤0恒成立，即a（x2-x）-2≤0在，e上恒成立。令t=x2-x，當(dāng)x∈，e時，t∈-，e2-e；當(dāng)t=-時，a=-8；當(dāng)t=e2-e時，a=，從而，-8≤a≤。

對于這種解法，學(xué)生說不上理論依據(jù)，只是令a=，求出等號右端兩個最值，得出參數(shù)處于最值之間。我問他，如果恒成立的式子是大于等于號呢？你也用這種方法，結(jié)果有區(qū)別嗎？他沉默了，意識到這種方法不可行。不過我表揚了他的這種思想方式。雖然他有些朦朦朧朧，但是他想到了整體法解決問題，而這離成功僅一步之遙。這不是錯誤，而是解法有待進一步完善，從理論上加以說明。之后，在我的提點下，學(xué)生丙重新整理了解法，并板演了解題過程展示給大家。板書如下：

由F′（x）≤0在區(qū)間，e上恒成立，得ax2-ax-2≤0恒成立，即a（x2-x）-2≤0在，e上恒成立。令t=x2-x，當(dāng)x∈，e時，t∈-，e2-e]則轉(zhuǎn)化成at-2≤0在t∈-，e2-e上恒成立。

構(gòu)造函數(shù)H（t）=at-2，t∈-，e2-e，由一次函數(shù)單調(diào)性可知H（e2-e）≤0H（-）≤0，得-8≤a≤。

此法一出，同學(xué)們立刻就會比較出哪種方法優(yōu)化。方法三避免了討論，同時，用整體代換的思想轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)來解決問題，思路也不復(fù)雜。

回顧以上解法，學(xué)生們進行了如下總結(jié)：

（1）單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，含參的不等式恒成立要討論。

（2）對本題的三種解法：

方法一，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值。

方法二，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)求最值。

方法三，整體代換轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)求最值。

其實本題主要的一種數(shù)學(xué)思想就是轉(zhuǎn)化與化歸。它是數(shù)學(xué)中一種常見的思想方法，也是一種基本的解題策略?？梢哉f化歸與轉(zhuǎn)化在解題中無處不在?；瘹w與轉(zhuǎn)化的實質(zhì)，是我們在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種方法將問題轉(zhuǎn)化，將生疏的化成熟悉的，復(fù)雜的化成簡單的，抽象的化成直觀的。我們在學(xué)習(xí)或生活中會不自覺地用，卻不一定仔細(xì)思考過。很多題目都需要轉(zhuǎn)化，它是橋梁，聯(lián)通陌生的題目和已知的知識，是由未知向已知過渡的紐帶。當(dāng)我們了解以后，就會有意識地使用，為解題搭方便之橋。本題正是所給的條件通過不同方式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)問題上，利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

（作者單位：安徽省利辛第一中學(xué)）