求函數(shù)解析式的常用方法

李敏瑜　李小平

若已知一個函數(shù)f（x）適合某種性質(zhì)或某種關(guān)系，現(xiàn)在要把f（x）的解析式具體找出來，本文想就這個問題介紹一些常用解法

一、換元法、配湊法

這種方法適用于已知復合函數(shù)f（g（x））的解析式，求f（x）。（此時要注意自變量的取值范圍）

例1.已知fx+=x2+，求f（x）.

方法一（換元法）

解：設x+=t，（t≥2或t≤—-2））

則x+2=t2

∴x2+=t2-2 ∴ f（t）=t2-2

∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））

方法二（配湊法）

解：∵fx+=x2+=x+）2-2

∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））

二、解方程法

這種方法就是將f（x）看作是適合某一個方程或方程組的未知元，然后把它從方程（組）中解出來。

例2.設a≠0，b≠0，a≠b.又對于一切非零的x恒滿足等式：af（x）+bf=cx，試求f（x）.

解：如果把af（x）+bf=cx，看作一個方程，那么在這個方程中不僅含有未知元f（x），而且也含有未知元f，所以這實際上是含有兩個未知元的一個方程，因此為了求出f（x），必須另立一個方程。這只需在上述方程中把x換成，于是得到一個新方程af+bf（x）=c，視f（x）與f為未知元而解方程組

af（x）+bf？搖=cxaf？搖+bf（x）=c，

即得f（x）=.

三、賦值法

這種方法常用于多個變量的情形，若令其中一個變量為另一個變量的函數(shù)，即可把變量的個數(shù)減少，從而達到所要求的目的。

例3.試求定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f（x），使得f（x+y）=f（x）+f（y）+xy.

f（1）=1.

解：令y=1，則得f（x+1）=f（x）+x+1.

在這個式子中，依次令x=1，2，3…n-1，

就有f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，…

f（n）=f（n-1）+n.

相加這些等式，即得

f（n）=f（1）+2+3+…+n=1+2+3+…+n=.

這就是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f（x）的具體解析式。

例4.已知f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），f（0）=1，試求f（x）.

解：令a=0，得到

f（-b）=f（0）-b（-b+1）=1-b（-b+1）.

把-b換成x，即得

f（x）=1+x（x+1）=x2+x+1.

四、待定系數(shù)法

這種方法常適用于當已知函數(shù)解析式的基本形式（如二次式，三次式等）然后根據(jù)某些條件去待定其中的系數(shù)。

例5.已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的解析式.

解：設f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）

由f（0）=0知c=0，f（x）=ax2+bx

又由f（x+1）=f（x）+x+1

得ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+b（b+1）x+1

故有2a+b=b+1a+b=1 所以a=b=

∴f（x）=x2+x

五、遞推法

這種方法常適用于求定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)f（n）之解析式，如果已知f（n）滿足某一遞推關(guān)系式的話。

例6.設f（1）=1，f（2）=3，

又++…+=， （1）

試求f（n）.

解：在（1）中將n換成n-1，得++…+=. （2）

由（1）-（2）得到 =-=-.

即（n-1）f（n-1）-（n-2）f（n）=1. （3）

在（3）中再把n換成n-1，又得

（n-2）f（n-2）-（n-3）f（n-1）=1. （4）

由（3）與（4）可得

（n-2）f（n）-（n-1）f（n-1）=（n-3）f（n-1）-（n-2）f（n-2）

即（n-2）f（n）-（n-2）f（n-1）=（n-2）f（n-1）-（n-2）f（n-2）.

∴f（n）-f（n-1）=f（n-1）-f（n-2）.

重復應用這個遞推關(guān)系，

有f（n）-f（n-1）=f（n-1）-f（n-2）=…=f（2）-f（1）=2.

可知，f（1），f（2），…，f（n），…構(gòu)成一個以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

故其通項為f（n）=1+2（n-1）=2n-1.

（作者單位：1.貴州省畢節(jié)一中 2.四川省夾江二中）