論函數(shù)最值的方法

甘秀梅

摘 要：函數(shù)最值是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在各個(gè)領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用。本文闡述函數(shù)最值的一些基本方法，并對(duì)這些方法之間的聯(lián)系和特點(diǎn)進(jìn)行分析與研究，然后通過(guò)具體實(shí)例敘述如何利用這些基本方法去計(jì)算函數(shù)最值，最后再對(duì)一些具體函數(shù)的最值的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；基本方法

在中學(xué)數(shù)學(xué)中常遇到一類(lèi)求函數(shù)最大值、最小值的問(wèn)題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)中普遍感到困難的一類(lèi)問(wèn)題。函數(shù)最值涉及的知識(shí)面較廣，方法也靈活多變，訓(xùn)練思維能力效果好，因此在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，要學(xué)好函數(shù)最值就必須了解和掌握求函數(shù)最值的方法與技巧。函數(shù)最值的基本方法有很多，這章主要介紹代數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法、引進(jìn)復(fù)數(shù)求函數(shù)最值。

一、配方法

代數(shù)法是中學(xué)階段應(yīng)用最廣泛的方法，它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先，我們介紹配方法。

利用配方法將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型求函數(shù)最值的方法不僅易于掌握，而且思路清晰，操作簡(jiǎn)單，它是求二次函數(shù)最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何等中都有著廣泛的應(yīng)用。配方法的基本步驟如下：

函數(shù)y=ax2+bx+c，經(jīng)配方得

y=ax+2+，

若a>0，當(dāng)x=-時(shí)，ymin=；

若a<0，當(dāng)x=-時(shí)，ymax=。

配方法是一種對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行定向變形（配成完全平方）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。掌握這一方法關(guān)鍵在于合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧。

二、判別式法

判別式法主要是應(yīng)用方程的思想來(lái)解決函數(shù)的最值。它是我們解題時(shí)常用的方法，具體的過(guò)程如下：

將函數(shù)y=，

改寫(xiě)成關(guān)于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

則它有實(shí)數(shù)解x的充要條件是其判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

從而由等式（方程）轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的不等式，從而求其最大或最小值。在解題中應(yīng)注意a（y）≠0。

利用判別式法求函數(shù)的最值時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）對(duì)于二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)要分零和非零兩種情形。

三、換元法

利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問(wèn)題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問(wèn)題順利解決。求函數(shù)最值的換元法主要有三角換元法和代數(shù)換元法。中學(xué)數(shù)學(xué)中較常見(jiàn)的是下面兩種形式的換元。

（1）y=ax+b+，令t=，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，將y轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再求最值。

四、不等式法

中學(xué)數(shù)學(xué)中利用均值不等式求函數(shù)最值是一種基本的、常用的方法。靈活運(yùn)用均值不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值。均值不等式的運(yùn)用有三個(gè)嚴(yán)格的限制條件，即（1）各項(xiàng)均為正數(shù)；（2）積或和是定值；（3）等號(hào)能否取到，簡(jiǎn)言之“一正二定三相等”，三個(gè)條件缺一不可。以下是有關(guān)均值不等式兩個(gè)定理。

定理1：當(dāng)a，b∈R+時(shí)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

定理2：當(dāng)a，b，c∈R+時(shí)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。

五、導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)法一般用來(lái)解決一類(lèi)高次函數(shù)的最值。

用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟為：

第一步：找出fx在a，b內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，即駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)；

第二步：求出fx在上述點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)a與b處的函數(shù)值；

第三步：將函數(shù)值進(jìn)行比較，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

綜上可知，函數(shù)最值內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒(méi)有通用的方法和固定模式，在解題時(shí)要因題而異，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時(shí)一個(gè)問(wèn)題需要多法并舉，互為補(bǔ)充，有時(shí)一個(gè)題目又會(huì)有多種解法，因此，解題的關(guān)鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，當(dāng)一題有多種解法時(shí)，應(yīng)注意選擇最優(yōu)解法。以上就是本文整理出的有關(guān)于求函數(shù)最值的一些解法。當(dāng)然求函數(shù)最值的方法不止這些，這里只是對(duì)求函數(shù)最值的方法作部分的歸納，具體的方法還有待去進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。

六、結(jié)語(yǔ)

函數(shù)最值的方法是數(shù)學(xué)解題中既重要又實(shí)用的技巧。因此，深刻理解函數(shù)最值，熟練掌握求解函數(shù)最值的方法并在實(shí)踐中靈活運(yùn)用，是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

以上求解函數(shù)最值的方法與應(yīng)用并不全面，事實(shí)上還存在很多有關(guān)函數(shù)最值的求解方法和在其他方面上的應(yīng)用，因此需要不斷更新、研究，以便總結(jié)出更多求解函數(shù)最值的方法和更有效地應(yīng)用這些方法解決函數(shù)最值，讓函數(shù)最值的方法的應(yīng)用更加廣泛。

參考文獻(xiàn)：

1.張弛.函數(shù)的最值及其應(yīng)用.黑河教育，2004（2）：34.

2.王曉民.基本不等式法求最值略析.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21（S1）：209-214.

（作者單位：廣西英華國(guó)際職業(yè)學(xué)院附屬中學(xué)）