分數(shù)階廣義擾動熱波方程的與泛函映射解

韓祥臨，趙振江，汪維剛，莫嘉琪

（1.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000；2.桐城師范高等?？茖W(xué)校理工系，安徽桐城231402；3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽蕪湖241003）

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分數(shù)階廣義擾動熱波方程的與泛函映射解

韓祥臨1，趙振江1，汪維剛2，莫嘉琪3

（1.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000；
2.桐城師范高等?？茖W(xué)校理工系，安徽桐城231402；
3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽蕪湖241003）

研究了一類分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程.首先在典型分數(shù)階熱波方程情形下得到解，接著用泛函分析映射方法，求出了分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始邊值問題的任意次近似解析解.最后簡述了它的物理意義.求得的近似解析解，彌補了單純用數(shù)值方法得到的模擬解的不足.

熱波；分數(shù)階；泛函映射

§1　引　言

近來，分數(shù)階微分方程理論已成為研究非線性問題的熱點，在振蕩、擴散和輸運理論、彈性力學(xué)及非牛頓流體力學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用［1-6］.例如，鈣離子在細胞內(nèi)擴散的時空分數(shù)階反常擴散模型，帶有熱流邊界條件的拋物型和雙曲型生物傳熱問題，固體表面的超短激光脈沖加熱，帶有體積熱源的時間分數(shù)階Cattaneo熱波模型等等.本文是考慮帶有分數(shù)階熱流條件的廣義非線性擾動熱波方程初始-邊值問題.

關(guān)于非線性問題，近來，很多近似方法被優(yōu)化［7-14］.作者等也使用了各種漸近方法討論了一類非線性方程大氣物理、塵埃、等離子、孤波等問題［15-22］.在上述情況的背景下，本文進一步利用泛函分析解析的方法來討論一類分數(shù)階擴散方程廣義非線性擾動熱波問題，并得到相關(guān)模型的近似解析解.這樣，彌補了單純用數(shù)值模擬方法得到的數(shù)值解的不足.

§2　分數(shù)階廣義Cattaneo熱波模型

由分數(shù)階Cattaneo傳熱方程理論［23］及相應(yīng)的能量平衡方程可得如下分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程

其中u（t，x）= T（t，x）- T0，T為介質(zhì)的溫度函數(shù)，T0為初始溫度，f為非線性傳熱擾動項，它為在所考慮的變量變化范圍內(nèi)的充分光滑的函數(shù)，常數(shù)κ，ρ，c分別表示介質(zhì)的熱波導(dǎo)熱速率、密度和比熱，τ1為熱松弛時間，它近似為τ=β0/v20，而α0為導(dǎo)熱系數(shù)，v0為熱波的傳播速率，α為分數(shù)階的階數(shù)，且u（t，x）關(guān)于t的α階分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

本文是考慮在分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程（1）下，熱物性均為常數(shù)的有限介質(zhì).假設(shè)介質(zhì)在介質(zhì)表面（x = 0）瞬間作用一個瞬時熱流函數(shù)q（t）. q（t）滿足零初值條件，并假設(shè)介質(zhì)在x = L處邊界保持絕熱狀態(tài).本文討論方程（1）及滿足初始-邊界條件

的分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始-邊值問題.

引入無量綱變量:

其中，uτ，qτ為參照溫度和參照熱流.為書寫簡便起見，在（4）式中無量綱參量省略”?”，即以下所提到的參量均表示為無量綱的量.由方程（1）-（3），便得到分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型的無量綱形式為:

§3　分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型解法

對于分數(shù)階廣義非線性擾動熱波問題（5）-（7），本文用泛函分析映射方法.由于用泛函分析映射方法得到的近似解析解，保留了解的解析特性.因此它還可以進行微分、積分等解析運算.

引入泛函映射H∈［R2，［0，∞）］：

其中p∈［0，1］為人工參數(shù)［24-26］，v0為模型（5）-（7）的初始近似函數(shù)，線性算子L［u］為：

顯然，由泛函映射（8）知，H（u，1）= 0就是分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程（5），因此只需選擇相同的初始邊值條件（6）和（7）式，分數(shù)階廣義非線性擾動熱波初始邊值問題（5）-（7）的解就是H（u，p）= 0的解取極限ρ→1的情形.設(shè)

將（9）式代入泛函映射（8），合并pi的同次冪項，并令各次冪的系數(shù)為零.由p0的系數(shù)為零，得

選取初始近似函數(shù)v0（t，x）為熱波方程

滿足初始邊值條件（6）和（7）式的解.由（10）式，得

將（9）式代入泛函映射（8），合并pi的同次冪項.由p1的系數(shù)為零，得

以及零初始邊值條件:

利用積分變換理論，可求得解.

再由關(guān)系式（9）并取p = 1，便得到分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程無量綱模型（5）-（7）的一次近似解析解U1（t，x）:

用同樣的方法，將（9）式代入泛函映射（8），合并pi（i = 2，3，···）的同次冪項并令其系數(shù)為零，再在相應(yīng)的零初始邊界條件下，可依次得到ui（t，x）（i = 1，2，···）.

再由關(guān)系式（9）并取p = 1，便可依次得到分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程無量綱模型（5）-（7）的各次近似解析解Ui（t，x）（i = 2，3，···）:

將（12），（16），（17）式代入（9）式，并取p = 1，便得到:

能夠用泛函分析不動點原理和逼近理論證明［11］:由（9）式表示的u（t，x）在相應(yīng)的條件下，關(guān)于p在［0，1］上是一致收斂的，并為分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程無量綱模型（5）-（7）的精確解U（t，x）.因而，由（12），（16），（17）式表示的函數(shù)Uk（t，x）就是分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程無量綱模型（5）-（7）的第k次近似解析解.

§4　舉例與近似解的精度

例為了簡單起見，不妨設(shè)分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程模型（5）-（7）的參數(shù)為:κ= us= 1，q（t，0）= sint，α=ε，而無量綱擾動項為: g =εexp（-u），其中ε為正的小參數(shù).這時由分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程無量綱方程初始邊值問題（5）-（7）為

問題（19）-（21）的退化情形為

的解v（t.x）為:

其中Ak為（1 -）sinτ關(guān)于x在［0，1］上的Fourier正弦級數(shù)的第k個系數(shù).

由泛函映射關(guān)系式（8）.取初始近似函數(shù)u0（t，x）為（25）式的v（t，x），即分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（22）-（24）解的零次近似U0（t，x）為:

于是，當(dāng)D = 1，L = 4時，分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（22）-（24）解的零次近似的曲面模擬圖形如圖1所示.

圖1　U0（t，x）= u0（t，x）的曲面模擬圖

由（8），（9），（13），（26）式，得到u1（t，x）滿足的方程:

以及零初始邊值條件:

初始邊值問題（27），（28）的解u1（t，x）為:

由此，取D = 1，L = 4，ε= 0.5，u1（t，x）的曲面模擬圖形如圖2所示.

圖2　 u1（t，x）的曲面模擬圖

由（26），（29）式，得分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（19）-（21）解的一次近似U1= u0+ u1（t，x）為:

取D = 1，L = 4，ε= 0.5，分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（22）-（24）的一次近似解的U1（t，x）（30）式的曲面模擬圖形如圖3所示.

圖3　 U1（t，x）= u0（t，x）+ u1（t，x）的曲面模擬圖

還可由泛函分析映射（8），得到分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程（22）初始邊值條件（23），（24）的更高次近似Uk（t，x）（k = 2，3，···），而極限函數(shù)

就是分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始邊值問題（22）-（24）的精確解.

取D = 1，L = 4，ε= 0.5，分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（22）-（24）的模擬精確解uexa（t，x）的曲面圖形如圖4所示.

圖4　 Uexa（t，x）的曲面模擬圖

由圖1，3，4可以看出分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型（22）-（24）溫度函數(shù)的零次近似解U0（t，x），一次近似解U1（t，x）和模擬精確解uexa（t，x）的逼近情況.由于方程（22）是含有小的正參數(shù)ε，因此還可以用小參數(shù)方法求解分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始邊值問題（22）-（24）.這時可得到的各次攝動漸近解Ukper（t，x）（k = 1，2，···）.通過計算容易看出［11，12］漸近解Ukper與用泛函分析映射方法得到的近似解析解Uk（t，x）具有估計式:

而用小參數(shù)理論和不動點定理知［11］，漸近解Ukper與分數(shù)階廣義非線性動熱波方程初始邊值問題（22）-（24）的精確解的差具有的精度為

于是由（31），（32）式知，分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始邊值問題（22）-（24）的精確解uexa（t，x）與用泛函分析映射方法得到的各次近似解析解Uk（t，x）有如下精度表示式:

§5　解的物理意義

由于泛函分析映射方法得到的分數(shù)階廣義非線性擾動熱波方程初始邊值問題的近似解uk（t，x）是近似的解析關(guān)系式，因此還可以通過解析運算，譬如進行微分、積分等運算繼續(xù)對傳熱模型的相關(guān)物理量進一步研究，并可得到相應(yīng)的物理性態(tài).例如，在本文所研究的參數(shù)估計問題中，用通過求解問題獲得的真實溫度場和隨機誤差合成仿真實驗數(shù)據(jù)，即介質(zhì)內(nèi)部溫度的測量值，來研究分數(shù)階階數(shù)和熱松弛時間的兩參數(shù)估計.可以通過得到的近似解析解進行兩參數(shù)的仿真實驗.得到相應(yīng)的目標函數(shù)的最優(yōu)化的變化關(guān)系.因此本文為分數(shù)階熱波模型的參數(shù)估計提供了一種有效的方法.改變分數(shù)階廣義非線性擾動方程相應(yīng)的可變參量以達到擾動熱波問題的理想結(jié)果.

§6　結(jié)論

本文用泛函分析映射方法，選擇合理的初始近似函數(shù)，能以較快速度得到較高精度的近似解析解.

用泛函分析映射方法得到的分數(shù)階廣義非線性擾動熱波模型初始邊值問題的近似解，它不同于單純用數(shù)值模擬方法得到的模擬解，因為它還可進行微分、積分等運算，繼續(xù)對非線性擾動熱波研究.

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The functional mapping solution for fractional generalized disturbed thermal wave equation

HAN Xiang-lin1，ZHAO Zhen-jiang1，WANG Wei-gang2，MO Jia-qi3
（1. Faculty of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China；
2. Department of Science and Technology，Tongcheng Teachers College，Tongcheng 231402，China；
3. Department of Mathematics，Anhui Normal University，Wuhu 241003，China）

A class of fractional nonlinear disturbed thermal wave equation is considered. Firstly，the solution of typical fractional disturbed thermal wave equation is obtained. Then the arbitrary order approximate analytic solutions for fractional generalized nonlinear disturbed thermal wave equation initial boundary value problem are constructed by using the method of functional analysis mapping. The physical sense of solution is stated simply. The approximate analysis solution makes up for the deficiency of the simple numerical simulation solution.

thermal wave；fractional order；fractional mapping MR Subject Classification: 35B25

O175.19

A

1000-4424（2016）01-0101-08

2015-02-12

2015-10-18

國家自然科學(xué)基金（11471146；61473332）；浙江省自然科學(xué)基金（LY13A010005）