“虛設(shè)零點”，巧解導(dǎo)數(shù)的兩類問題

石向陽

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“虛設(shè)零點”，巧解導(dǎo)數(shù)的兩類問題

石向陽

在高考函數(shù)壓軸題中，我們經(jīng)常會遇到導(dǎo)函數(shù)具有零點但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題。此時，我們不必正面強求，而是直接設(shè)出零點，充分利用其滿足的關(guān)系式，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，再結(jié)合其他條件解決問題，我們稱這種解題技巧為“虛設(shè)零點”法。下面，筆者通過對一些高考題的分析，說明“虛設(shè)零點”的三大策略在解題中的作用。

一、導(dǎo)函數(shù)零點可求，但極值計算偏繁或無法化簡的問題

這種情況，f′（x）=0一般可轉(zhuǎn)化為二次方程，很容易想當然，用求根公式把零點求出來，代入極值中。但接下來要么計算偏繁，要么無法化簡，復(fù)雜的算式讓人無處下手，導(dǎo)致后繼工作無法開展。正所謂“思路簡單，過程煩人”，這時可以運用以下兩個策略化繁為簡。

策略1：反代消參，構(gòu)造關(guān)于零點的單一函數(shù)。

如果問題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，我們虛設(shè)零點后，一般不要用參數(shù)表示零點，而是反過來用零點表示參數(shù)，然后把極值函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再次求導(dǎo)就可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問題。

例1（2014全國高考新課標Ⅱ卷（文））已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+x+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2。證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點。

解：曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點?g（x）=（fx）-kx+2的圖像與x軸只有一個交點。g（x）=x3-3x2+（1-k）x+4，g（′x）=3x2-6x+1-k。

（1）當Δ=36-12（1-k）=24+12k≤0，即k≤-2時，g′（x）≥0，所以g（x）在上為增函數(shù)。因為g（-1）=k-1＜0，g（0）=4＞0，所以存在唯一x0∈（-1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的圖像與x軸只有一個交點。

（2）當Δ=36-12（1-k）=24+12k＞0，即-2＜k＜1時，（x）=0有兩個零點x1，x2，設(shè)x1＜x2。=1-k＞0，（1）=-2-k＜0，所以0＜x1＜1，1＜x2＜2。

當x∈（-∞，x1）時，（x）＞0，g（x）在（-∞，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當x∈（x1，x2）時，（x）＜0，g（x）在（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；當x∈（x2，+∞）時，（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。g（x）的極小值點是x2。

所以g（x）的圖像與x軸只有一個交點，只需要g（x2）＞0。由得

令x2=t，g（x2）=h（t）=-2t3+3t2+4（1＜t＜2），h′（t）=-6t2+6t=6t（1-t）＜0，故h（t）在（1，2）上為減函數(shù)，于是可得h（t）＞h（2）=0，即g（x2）＞0。所以當-2＜k＜1時，g（x）的圖像與x軸只有一個交點。

綜上（1）、（2）可知，當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點。

評析：本題當-2＜k＜1時，轉(zhuǎn)化為證g（x2）＞0。x2是可以求出的（實際上），但我們證關(guān)于k的不等式）＞0，讓人無處下手。于是，我們虛設(shè)零點x2，采用“反代”的方法，用零點x2表示參數(shù)，有這樣巧妙地回避了繁雜的計算，簡潔而利索，可謂妙哉。

策略2：降次留參，建立含參數(shù)的方程（或不等式）。

如果問題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)有關(guān)，虛設(shè)零點后，利用關(guān)系式f′（x）=0（大部分情況可轉(zhuǎn)化為二次方程），在保留參數(shù)的情況下，不斷地把零點的次數(shù)降到不可再降為止，再結(jié)合其他條件建立含參數(shù)的方程（或不等式），就可求出參數(shù)的值或參數(shù)的范圍。

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值；

（3）（加編）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點，求a的取值范圍。

解：（1）略。

（2）f′（x）=x2+2x+a，由題設(shè)知，x1，x2為方程f′（x）=0的兩個根，故有a＜1，x12=-2x1-a，x22=-2x2-a。因此，同理。因此直線l的方程為，設(shè)l與x軸的交點為（x0，0），得。而，由題設(shè)知，點（x0，0）在曲線y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0或或。所以，所求a的值為a=0或或。

（3）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點?f（x）有極大值、極小值且兩個極值異號。

f（x）有極大值、極小值?f′（x）有兩零點?Δ=4-4a ＞0即a＜1。

f（x）兩個極值異號?f（x1）·f（x2）＜0，即，因為x1，x2為方程f′（x） =x2+2x+a=0的兩個根，由韋達定理有x1+x2=-2，x1x2=a，代入化簡得，得。

綜上可知，函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個公共點，a的取值范圍為。

評析：對于問題（2），虛設(shè)f′（x）零點x1，x2后，找到零點x1，x2與參數(shù)a之間的聯(lián)系（x12=-2x1-a，x22=-2x2-a），利用它們不斷地把零點的次數(shù)降到1次為止，再利用設(shè)而不求法求出直線方程，利用直線方程求出與x軸的交點，根據(jù)交點在已知曲線上建立含參數(shù)a的方程，從而得到參數(shù)a的值；對于問題（3），等價轉(zhuǎn)化為f（x1）·f（x2）＜0，再利用韋達定理轉(zhuǎn)化純粹的含參數(shù)a的不等式，求出了a的取值范圍，這也要歸功于問題（2）的虛設(shè)零點及降次留參。

二、導(dǎo)函數(shù)零點存在但無法求出的問題

如果f′（x）=0是超越形式（對字母進行了有限次初等超越運算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式），我們無法求出導(dǎo)函數(shù)零點，這時一律采用“虛設(shè)零點”法，通過形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡。這就是本文的第三個策略。

策略３：整體代換，將超越式化簡為普通式。

例3（2015年全國高考新課標I卷（文））設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx。

（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點的個數(shù)；

當a＞0時，方程g（x）=a有一個根，即f′（x）存在唯一零點；

當a≤0時，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點。

（2）由（1），可設(shè)f′（x）在（0，+∞）的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0。故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）。

綜上所述，“虛設(shè)零點”的三大策略，讓我們成功回避復(fù)雜的運算，擺脫解決問題過程中的一些技術(shù)難點，在求解比較復(fù)雜的含參函數(shù)的綜合問題中具有很好的應(yīng)用價值，值得我們關(guān)注。

（作者單位：長沙市南雅中學）