基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法研究

楊 飛， 胡萬強， 李耀輝

(許昌學院 機電工程學院 河南 許昌 461000)

基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法研究

楊 飛， 胡萬強， 李耀輝

(許昌學院 機電工程學院 河南 許昌 461000)

首先提出元模型集的概念，根據(jù)RBF函數(shù)的特點，將其系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣，使得多個變量可在同一元模型中進行仿真.其次針對通過采樣點計算Pareto適存度矩陣困難的問題，提出了增量迭代式Pareto適存度計算方法，利用上一次迭代產(chǎn)生的適存度值直接更新，減少了計算工作量.最后將元模型集和增量Pareto適存度算法應用到多變量全局優(yōu)化算法中，并將其應用于數(shù)值計算以及五桿平面桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中.結(jié)果表明該方法科學合理，效果明顯.

元模型集； 多變量全局優(yōu)化； 增量Pareto適存度算法； 優(yōu)化算法

0 引言

現(xiàn)代機電產(chǎn)品設計中經(jīng)常涉及多輸入多輸出(多變量)函數(shù)的優(yōu)化問題，處理這類問題的方法大致可以分為兩種:一種方法是根據(jù)各變量的重要程度將被優(yōu)化的目標加上不同權(quán)值而轉(zhuǎn)化為單目標輸出，稱為多目標加權(quán)法,但是在實際過程中由于缺少合理的權(quán)值選擇方法，所以很難確定每個目標的權(quán)重；另一種方法是先找出所有Pareto解集，從中選擇有效解作為優(yōu)化目標的最佳解，該方法也稱為Pareto多目標優(yōu)化方法，目前這種方法中應用比較廣泛的有粒子群優(yōu)化算法[1-2]和進化算法.文獻[3]提出了一種改進的多輸出粒子群算法，將遺傳算法成功引入到粒子群優(yōu)化中.文獻[4]提出了一種改進的多目標進化算法，并將其應用到機電產(chǎn)品設計中.上述方法需要對非Pareto解集點進行函數(shù)估值，占用了大量計算機資源，代價較昂貴.

多輸入多輸出優(yōu)化問題常常涉及源模型的近似化問題，即仿真模型，如計算模型、元模型等. 這些模型促進了優(yōu)化和概念搜索的發(fā)展，降低了函數(shù)優(yōu)化迭代次數(shù)，從而減少了計算機資源的消耗.文獻[5]將kriging元模型引入到多輸出優(yōu)化問題中，以kriging元模型代替源模型.文獻[6]利用hyper-ellipse元模型求解雙標準凸優(yōu)化問題.使用這些仿真模型的關(guān)鍵在于近似模型的精度問題，精度不夠準確會使求得的Pareto解集不能有效逼近Pareto邊界.本文提出元模型集的概念，利用RBF函數(shù)線性化的特點，將其系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣，從而使得多輸入多輸出優(yōu)化過程在同一元模型中完成，并提出一種與元模型集方法相匹配的增量Pareto適存度算法，從而降低了優(yōu)化算法的難度，節(jié)省了寶貴的計算機資源，為復雜機電產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計提供了一種新的思路與方法.

1 元模型集基本概念

元模型集(meta-model set，MS)是指多個元模型的集合體，即為采樣點集X(x1,x2,…,xn)到響應值Y(y1(y11,y12,…,y1m),y2(y21,y22,…,y2m),…,yn(yn1,yn2,…,ynm))的一個多值映射.對于任一個采樣點xi，即有一個矢量響應集yi(yi1,yi2,…,yim)與之對應，其表達式為

Y=Φ·Λ,

(1)

式中:Φ為基函數(shù)矩陣，Λ為采樣點矩陣.由式(1)可知，如果一個元模型應用于元模型集，則必須是線性的.文獻[7]研究表明,RBF元模型構(gòu)造方便，能較好地近似高階非線性問題，可以作為元模型集的多值元模型，其表達式為

(2)

將式(2)中的向量λ換為矩陣Λ，那么RBF元模型的響應值f*(x)即變?yōu)榫仃嘫，RBF元模型就被轉(zhuǎn)變?yōu)橥辉Ｐ拖碌亩嘀的Ｐ?，即元模型集合，RBF元模型的構(gòu)造原理見文獻[8].

2 增量Pareto適存度算法

相對于單目標優(yōu)化問題，多目標優(yōu)化問題一般具有多個Pareto最優(yōu)解.Pareto最優(yōu)解集中的任何一個解都可能成為最優(yōu)解，其在目標函數(shù)上對應的集合即為Pareto邊界.Pareto邊界因?qū)嶋H多目標優(yōu)化問題的解而出現(xiàn)連續(xù)或不連續(xù)性，求解完全的Pareto解集是很困難的，但可以用一個離散的解集去逼近連續(xù)解集以作為其近似解集.為了得到近似的Pareto解集，引入適存度函數(shù)作為求解得到的設計點是否為Pareto最優(yōu)解的標準[9].

設A={xi,i=1,2,…,m}為設計點集合，定義第i個給定點xi在A中的適存度表達式為

(3)

(4)

式中：j=1,2，…,n，且i≠j；k為子目標函數(shù)，k=1,2,…,m.則式(4)的行向量矩陣為

(5)

(6)

經(jīng)分析可知，Pareto適存度函數(shù)可采用迭代方式進行求解，而且可以利用上一次迭代計算的Pareto適存度值計算下一次迭代的Pareto適存度值，其算法步驟如下：

1) 設init_def為上一次迭代Pareto適存度值，fit為當前給定點對應的函數(shù)值矩陣，并且將fit按比例縮放至[1，0].

2) 構(gòu)造def為當前Pareto適存度值域，如果init_def非空，將其加入def前面部分.

3) 設i為迭代過程中當前給定點對應函數(shù)值cur_fit，將對所有給定點進行循環(huán)，設j迭代過程中與i不同的給定點對應函數(shù)值oth_fit，對前i-1個給定點進行循環(huán).

5) 令i++,j++，再次循環(huán).

3 基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法

基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法的基本思路是以元模型集替代源模型進行仿真優(yōu)化.使用改進增量拉丁超立方采樣方法在元模型集上逐次采樣，搜尋符合Pareto適存度函數(shù)的設計點，直至滿足設計要求.元模型集使用RBF元模型更新方式逐步構(gòu)造精確的近似模型，算法流程如圖1所示.

其具體步驟如下：

2) 構(gòu)造初始元模型集.調(diào)用目標函數(shù)仿真，獲得樣本點集X(i)響應值Y(i)，利用X(i)、Y(i)來構(gòu)建初始元模型集，適存度集合F(i)通過Pareto適存度函數(shù)公式計算.

5) 以RBF方法更新元模型集，令i=i+1，再次循環(huán).

4 工程實例分析

設收斂標準值ε1=1.023，ε2=1.008，經(jīng)12次迭代后得到98個Pareto邊界點，占精確分析點總量的48%，且精確分析次數(shù)為204次.Pareto邊界分布、精確分析點分布、解集分布及收斂曲線如圖3所示，計算結(jié)果分析如表1所示.可以得出，基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法相對于多目標遺傳算法來講，獲取Pareto邊界迭代次數(shù)少，進行精確分析的次數(shù)也大大降低，這對于節(jié)約計算機資源及提高仿真優(yōu)化效率具有重要意義.

圖1 基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法流程

圖2 五桿平面桁架結(jié)構(gòu)

圖3 Pareto邊界分布、精確分析點分布、解集分布及收斂曲線

表1 計算結(jié)果分析

Tab.1 The results analysis

求解次數(shù)迭代次數(shù)精確分析次數(shù)近似分析ε1值精確分析ε2值Pareto邊界點數(shù)量占精確分析點比例/%1#122041.0231.00898482#182231.0151.007105473#203071.0301.00812340

5 小結(jié)

根據(jù)元模型集的相關(guān)理論，利用RBF函數(shù)表達式的特點，再加上增量Pareto適存度計算方法，從而完善了基于元模型集的多變量全局優(yōu)化算法.通過上述函數(shù)及工程實例的分析測試，表明了該算法科學合理，效果良好.可以說，這是一種值得考慮并有較大研究前景的方法.隨著元模型不確定性問題和多目標優(yōu)化評價方法的深入研究，基于增量RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法就可以得到更大的完善和發(fā)展.

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[2] 張慧霞，張焱，高興寶.求解作業(yè)車間調(diào)度問題的粒子群優(yōu)化算法[J].河南科技大學學報(自然科學版)，2008,29(6)：49-52.

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(責任編輯：孔 薇)

Research of Multivariable Global Optimization Algorithm Based on RBF Meta-model Set

YANG Fei, HU Wanqiang, LI Yaohui

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Firstly,the concept of meta-model set was proposed, which utilized the feature of RBF function and converted the coefficient vector into coefficient matrix, and made multiple variables simulating in the same meta-model. Then, to tackle the difficult problems such as calculating Pareto fitness matrix through the sample points, a new incremental iterative Pareto fitness calculation method was proposed to significantly reduce the calculation by using the fitness value of the previous iteration directly. Finally, a new multivariable optimization algorithm based on meta-model set and incremental Pareto fitness algorithm was applied to numerical computation and design optimization of five-bar plane truss structure. The result showed that the method was scientific and reasonable, and the improvement was obvious.

meta-model set; multivariable global optimization; incremental Pareto fitness calculation method; optimization algorithm

2015-11-04

楊飛(1980—)，男，河南長葛人，講師，碩士，主要從事電力電子技術(shù)研究，E-mail：35955368@qq.com.

楊飛，胡萬強，李耀輝.基于RBF元模型集的多變量全局優(yōu)化算法研究[J].鄭州大學學報(理學版)，2016，48(2)：116-120.

TP301.6

A

1671-6841(2016)02-0116-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2015228