重視錯(cuò)誤研究，助力小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

畢波

這兩年，筆者一直嘗試在“小學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”方面做一些研究工作。最初產(chǎn)生這樣想法是基于初次教的一屆學(xué)生，他們學(xué)到某一部分內(nèi)容時(shí)，一些共性的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤總會(huì)出現(xiàn)。當(dāng)這些熟悉的錯(cuò)誤再次“襲來”時(shí)，筆者作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)老師，經(jīng)常陷入迷茫和“亡羊補(bǔ)牢”。此時(shí)筆者有些后悔，為什么當(dāng)初沒有將這些錯(cuò)誤及時(shí)記錄下來？為什么教了這么多年書，卻依然不能對這些“老”錯(cuò)誤有很好的應(yīng)對辦法。

于是，筆者把學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤用相機(jī)拍下來，組織學(xué)生開展錯(cuò)題收集活動(dòng)，在課堂教學(xué)中加入錯(cuò)例分享活動(dòng)……當(dāng)這些行為逐漸成為筆者的一種工作習(xí)慣時(shí)，筆者越發(fā)喜歡上了“錯(cuò)誤研究”，因?yàn)檠芯窟@些“錯(cuò)誤”，不僅幫助了一位數(shù)學(xué)老師提升專業(yè)素質(zhì)，也幫助了學(xué)生提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。下面談一談筆者在進(jìn)行“錯(cuò)誤研究”過程中的三點(diǎn)感受。

一、用好數(shù)學(xué)“錯(cuò)題本”，讓收集錯(cuò)題成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種習(xí)慣

開展錯(cuò)誤研究，首先要有豐富的錯(cuò)誤樣本。教師可以通過拍照的方式獲取這些錯(cuò)誤例子。對于學(xué)生而言，最直接的方式則是建立數(shù)學(xué)“錯(cuò)題本”。一次完整的錯(cuò)題收集作業(yè)呈現(xiàn)在本子上的內(nèi)容主要包括三個(gè)方面的內(nèi)容（如圖1）：（1）錯(cuò)題摘錄——將出錯(cuò)的題目及錯(cuò)誤的解題過程抄下來；（2）錯(cuò)因分析——對出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行陳述；（3）正確解答——寫出此題正確的解答過程。另外，錯(cuò)題本中還可以記錄一些經(jīng)典題型、思路巧妙、綜合性強(qiáng)的題目，只要是自己想記錄、覺得需要記錄的題目都可以寫在錯(cuò)題本上。

對于錯(cuò)題本，教師需做到“三要”——要看、要評、要分享。

錯(cuò)題本雖然不需要像常規(guī)作業(yè)一樣天天批改，但也需要教師經(jīng)常性地進(jìn)行審閱。通過審閱才能了解到學(xué)生收集錯(cuò)誤的態(tài)度與質(zhì)量，及時(shí)對學(xué)生在收集錯(cuò)誤過程中出現(xiàn)的問題進(jìn)行調(diào)整。比如，是否按時(shí)完成，是否存在“偷工減料”的行為。更重要的是，通過審閱錯(cuò)題本，教師可以從中選取到有價(jià)值的真實(shí)錯(cuò)例，比如學(xué)生中出現(xiàn)的共性錯(cuò)誤，學(xué)生對某一個(gè)錯(cuò)誤在分析時(shí)產(chǎn)生的偏差等。為后續(xù)的錯(cuò)題分享與評析提供第一手素材。

為了在學(xué)生中營造積極“糾錯(cuò)、評錯(cuò)”的良好氛圍，對在錯(cuò)題收集過程中表現(xiàn)積極、作業(yè)質(zhì)量優(yōu)秀的學(xué)生，教師要給予充分肯定，并通過優(yōu)秀作業(yè)展示等方式在學(xué)生中樹立好的榜樣。在活動(dòng)初期，教師對學(xué)生的要求應(yīng)視能力分層要求，對能力較弱的學(xué)生要進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，讓他們了解錯(cuò)題收集的方式和完成基本要求即可；對能力較強(qiáng)的孩子則要提出更高的要求，對錯(cuò)誤進(jìn)行更加翔實(shí)的分析，還可以鼓勵(lì)學(xué)生嘗試模仿錯(cuò)題編制新題。通過教師的評價(jià)與指導(dǎo)，讓更多的學(xué)生逐漸適應(yīng)這樣一種自主學(xué)習(xí)的方式。

從錯(cuò)題本中選取優(yōu)秀的、有代表性的錯(cuò)例，邀請?jiān)撁麑W(xué)生上臺(tái)進(jìn)行全班分享。通過這樣的分享活動(dòng)，既鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，又在學(xué)生中產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)互動(dòng)。每個(gè)人收集的錯(cuò)題可能不一樣，對同一個(gè)錯(cuò)題的理解也可能不一樣，通過“錯(cuò)題分享”可以從別人身上學(xué)到更多對自己有用的東西。學(xué)生往往更喜歡這種來自于同伴的學(xué)習(xí)資源。教師則利用這樣一些良好的學(xué)習(xí)活動(dòng)作為自己后續(xù)教學(xué)的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從評錯(cuò)開始，逐步走向?qū)W習(xí)內(nèi)容的深入。

經(jīng)過一段時(shí)間的持續(xù)關(guān)注與精心組織，學(xué)生能夠逐漸找到錯(cuò)題收集的樂趣，對于錯(cuò)題的分析也會(huì)“漸入佳境”，越來越具體，越來越深刻。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)技能和能力的一種思維活動(dòng)。當(dāng)收集錯(cuò)題成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種習(xí)慣，也就有助于學(xué)生反思意識(shí)的培養(yǎng)，有助于學(xué)生更多地用“思考”來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

二、分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，幫助教師進(jìn)一步“讀懂學(xué)生”

當(dāng)錯(cuò)誤樣本被大量收集過來之后，教師首先要對這些錯(cuò)誤進(jìn)行分類和整理，建議用電子文件的方式存儲(chǔ)，在給文件命名時(shí)進(jìn)行簡單的內(nèi)容描述，以便后期的調(diào)取。對于需要拿到學(xué)生面前進(jìn)行交流的錯(cuò)誤，應(yīng)該慎重對待，交流之前一定要對錯(cuò)誤進(jìn)行認(rèn)真的分析。如果是數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，教師需要從多方面分析學(xué)生犯錯(cuò)誤的原因。找準(zhǔn)了錯(cuò)誤產(chǎn)生的真正原因，才可以為后續(xù)的糾正錯(cuò)誤找到合理的切入口。

比如，關(guān)于學(xué)生計(jì)算上的錯(cuò)誤。一些教師往往會(huì)用粗心、計(jì)算態(tài)度不端正來進(jìn)行評價(jià)。但是，是不是計(jì)算時(shí)只要學(xué)生認(rèn)真了、態(tài)度端正了，計(jì)算上的錯(cuò)誤就能避免呢？顯然，這樣的觀念是不正確的。產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因除了粗心、態(tài)度不端正這樣的非智力因素外，對計(jì)算方法的準(zhǔn)確應(yīng)用、對計(jì)算道理的準(zhǔn)確理解往往是產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤真正的原因。如圖2這個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤，學(xué)生的每一步計(jì)算的結(jié)果都是正確的，但是在計(jì)算的步驟上卻出現(xiàn)了錯(cuò)誤，將8乘百位上的4的結(jié)果32分別寫到了萬位和千位上。進(jìn)一步分析，算法上的錯(cuò)誤往往是因?yàn)閷λ憷淼牟焕斫?。試想，如果學(xué)生能明白：8乘百位上的4得到的32，表示的是32個(gè)百即為“3200”，相信也就不會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤了。

值得特別強(qiáng)調(diào)的是，對于學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤原因的分析和診斷，必須建立在從學(xué)生的角度出發(fā)的基礎(chǔ)之上，教師要想辦法了解學(xué)生真實(shí)的思維過程，明確學(xué)生真正的困難所在。當(dāng)教師對于學(xué)生的思考路徑、產(chǎn)生困難的地方無法做出準(zhǔn)確判斷時(shí)，最直接的方式可以找出錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行面對面的訪談。在對話中了解到學(xué)生真實(shí)的想法。

比如，在三年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)的計(jì)算過程中，有學(xué)生出現(xiàn)這樣的計(jì)算錯(cuò)誤（如圖3）：

十分位上的2是如何算出來的？起初老師也百思不得其解，后來找來這位同學(xué)詢問，才明白原來她是受到了前面學(xué)習(xí)時(shí)間計(jì)算的影響，從個(gè)位借1當(dāng)了60（1時(shí)=60分），用73（13+60）減去44算出了29。因?yàn)閷W(xué)生還沒有學(xué)習(xí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，所以教師在明白了學(xué)生錯(cuò)誤的想法之后，引導(dǎo)學(xué)生借助元、角、分理解算理，如果以元作單位，9.13表示9元1角3分，5.44表示5元4角4分。1元=10角，1角=10分，所以應(yīng)該退1元當(dāng)10角。學(xué)生明白了這個(gè)道理，這樣的錯(cuò)誤也就不再出現(xiàn)了。

鄭毓信說：“如果我們并不真正了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動(dòng)，相應(yīng)的教學(xué)理論就不能說具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。正是關(guān)于學(xué)習(xí)過程中思維活動(dòng)的深入研究導(dǎo)致了教育思想的根本性變革?！睌?shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析與診斷活動(dòng)正是基于學(xué)生認(rèn)識(shí)的一種有意義的教學(xué)活動(dòng)。新課程改革突出強(qiáng)調(diào)了“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程不但要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律”。教師的備課不僅要備教材，更重要的是備學(xué)生，了解學(xué)生的思維活動(dòng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中犯錯(cuò)是其對數(shù)學(xué)知識(shí)不斷理解和建構(gòu)的必經(jīng)過程。數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的分析能夠幫助老師在分析和理解教學(xué)內(nèi)容的過程中主動(dòng)傾向?qū)W(xué)生思維的了解，幫助教師進(jìn)一步“讀懂學(xué)生”。

三、重視評錯(cuò)效果跟蹤，讓教師的教更適應(yīng)學(xué)生的學(xué)

通過對學(xué)生錯(cuò)誤的分析，可以暴露錯(cuò)誤思維的過程，特別是可以把學(xué)生走過的彎路以及犯錯(cuò)誤的過程毫不掩飾地暴露出來，為采取多種方法改錯(cuò)提供前提保證。錯(cuò)題在進(jìn)行分享評議之后，教師還要注意后續(xù)效果的跟蹤。這一點(diǎn)往往被許多教師所忽略。有些老師認(rèn)為自己上課時(shí)既然已經(jīng)講解了這個(gè)錯(cuò)誤，學(xué)生就應(yīng)該理解了，不會(huì)出錯(cuò)了。但是事實(shí)是，學(xué)生對于知識(shí)的接受能力是有差異的，對同一個(gè)錯(cuò)誤的理解也是有差異的，在進(jìn)行評錯(cuò)的過程中還會(huì)受到諸多非智力因素，比如聽講習(xí)慣、情緒波動(dòng)等的影響。即使學(xué)生們都很認(rèn)真地參與了學(xué)習(xí)，但是教師的教學(xué)方式是否適應(yīng)學(xué)生的理解，是否真正能夠幫助學(xué)生理清思路，在認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤原因的基礎(chǔ)之上有效地改錯(cuò)，形成自身穩(wěn)定的知識(shí)與能力。這些，只有通過后續(xù)效果的跟蹤才能了解到。

最初的評錯(cuò)，多數(shù)學(xué)生把錯(cuò)誤原因歸結(jié)為審題不清，題目的要求是畫出長方體的另外四個(gè)面，而不是把長方體畫完整。接下來，學(xué)生也介紹了完成此題的方法與過程。有學(xué)生說：有兩個(gè)面和這兩個(gè)面是完全一樣的，另外的四個(gè)面分別是6㎝×4㎝的兩個(gè)和3㎝×3㎝的兩個(gè)。還有學(xué)生說：通過畫好的兩個(gè)面，可以看出，這個(gè)長方體的長、寬、高分別是6㎝、4㎝和3㎝，畫的時(shí)候只需要選取任意兩個(gè)數(shù)相乘即可。

雖然題目的呈現(xiàn)方式發(fā)生了變化，但是我覺得此題所考查的內(nèi)容與上面一個(gè)錯(cuò)例是相同的，都需要學(xué)生運(yùn)用對長方體面的特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，借助一定的空間想象能力和對數(shù)據(jù)的觀察能力還原、補(bǔ)充這個(gè)長方體完整的表象。同樣是一道難度較大，具有一定數(shù)學(xué)思考含量的題。隨后我對這道題的完成情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果是仍有14名學(xué)生在這道題上出錯(cuò)，占到了全班人數(shù)的26.4%。隨機(jī)訪談5位選擇正確的學(xué)生，3位學(xué)生是根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行選擇，只有2位學(xué)生能夠結(jié)合長方體面的特征進(jìn)行描述和選擇。這說明，學(xué)生并沒有真正理解這道（類）題的“來龍去脈”。此題需要學(xué)生掌握長方體面的特征并具備一定的空間想象能力。從對此題完成效果的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，我意識(shí)到第一個(gè)錯(cuò)例在評議時(shí)可能只注意到優(yōu)等生簡潔思維的呈現(xiàn)，而忽視了此類題的本質(zhì)，即對長方體面的特點(diǎn)的把握和學(xué)生空間想象能力的考查?？臻g觀念的提升僅依靠分析數(shù)據(jù)是不夠的，隨著題目難度的增加，數(shù)據(jù)的排布更需要依靠空間表象來理解。于是，我嘗試進(jìn)行了第二次評錯(cuò)。

師：長方體的6個(gè)面有著怎樣的特點(diǎn)？

（出示長方體展開圖，說一說長度上有著怎樣的特點(diǎn)，為什么具有這樣的特點(diǎn)？）

師：現(xiàn)在這里已經(jīng)畫好了4個(gè)面（指第2個(gè)錯(cuò)例），你能將它們組合在一起嗎？

師：4個(gè)面已經(jīng)組合好了，那么剩下的兩個(gè)面應(yīng)該是幾×幾的呢？

（展示學(xué)生作品：）

師：再想象一下，把你畫的這個(gè)展開圖折疊起來，能圍成長方體嗎？圍成一個(gè)怎樣的長方體？

師：下面的三組數(shù)據(jù)，應(yīng)該選擇哪一組呢？請結(jié)合剛才畫圖的過程說一說你的想法。

過了3天，我又給學(xué)生編制了一道類似的新題交給學(xué)生完成。完成情況非常好，更加值得欣慰的是，學(xué)生能夠借助直觀圖來幫助自己理解，思路清晰準(zhǔn)確。由此例可見，即使找準(zhǔn)了錯(cuò)誤的原因也不一定能夠找到消除錯(cuò)誤的有效辦法。通過評錯(cuò)效果的跟蹤，能夠幫助教師對自己的教學(xué)效果進(jìn)行判斷，引發(fā)教師去不斷思考、不斷嘗試不同的教學(xué)方式和手段，從而找到真正適應(yīng)學(xué)生學(xué)的有效教學(xué)方式。

全班性的評錯(cuò)效果跟蹤與調(diào)整在一定程度上能夠幫助到大多數(shù)學(xué)生，但是由于學(xué)生能力的差異，教師還應(yīng)適當(dāng)安排對個(gè)別學(xué)生的評錯(cuò)效果跟蹤，以點(diǎn)帶面，了解到學(xué)生真實(shí)認(rèn)知情況。這樣做不僅能夠幫助到教師個(gè)別跟蹤的對象，其實(shí)對于教師了解更多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài)也是很有幫助的。對于錯(cuò)誤的訂正不能操之過急。由于學(xué)生不同，錯(cuò)誤的原因也可能有所差別。因此，對于學(xué)生錯(cuò)誤的糾正可能需要區(qū)別對待，教師要有效地針對學(xué)生的錯(cuò)誤原因?qū)W(xué)生加以引導(dǎo)。在不斷調(diào)整與適應(yīng)的過程中，可以幫助教師更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)到學(xué)生錯(cuò)誤的思維過程，找到適應(yīng)學(xué)生理解的學(xué)習(xí)方式與方法，對于教師不斷改進(jìn)自己的教學(xué)使之更貼近學(xué)生的學(xué)起到很好的指導(dǎo)作用。

在糾錯(cuò)與效果的嘗試與跟蹤的過程中，筆者也感覺到，看似相對獨(dú)立的一個(gè)個(gè)錯(cuò)誤，其實(shí)也會(huì)有著許多內(nèi)在的聯(lián)系。在進(jìn)行錯(cuò)誤研究的過程中，如果能夠進(jìn)行系統(tǒng)、類型化的整理與分析，對于教師后續(xù)教學(xué)的指導(dǎo)意義將更大。

比如，通過對大量關(guān)于簡算錯(cuò)誤的分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多時(shí)候由于小學(xué)生的視、聽知覺的選擇性，所接受信息的強(qiáng)弱程度影響他們的思考。強(qiáng)化了的信息在學(xué)生的頭腦中留下深刻的印象，有時(shí)會(huì)起到負(fù)干擾的作用。如下面的三題：

如果教師明白了這一點(diǎn)，在組織簡算教學(xué)過程中，可以有意識(shí)增加此類習(xí)題的辨別，即使出現(xiàn)了這樣的錯(cuò)誤，也能用理性的態(tài)度和更加寬容的心態(tài)看待和處理，幫助學(xué)生逐步提高強(qiáng)信息負(fù)干擾的抗擾能力。

作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，如果不對學(xué)生的錯(cuò)誤充分講解，僅簡單告訴學(xué)生正確的答案，這是低水平階段。如果教師對學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤透徹講解，并分析原因，比較注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。但是教師這樣的行為只處于間斷狀態(tài)，也就是碰到一個(gè)錯(cuò)誤解決一個(gè)錯(cuò)誤，這僅僅是合格水平階段。如果教師處理錯(cuò)誤不僅遇到一個(gè)解決一個(gè)，還有意識(shí)地把這種間斷行為變成連續(xù)行為，不斷積累學(xué)生的錯(cuò)誤案例，擁有自己的錯(cuò)誤案例資源庫。還可以在適當(dāng)時(shí)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)錯(cuò)誤情境，利用錯(cuò)誤案例進(jìn)行有效教學(xué)，這是高水平階段。

有一首詩這樣寫道：年年歲歲花相似，歲歲年年人不同。其實(shí)也可以隱喻錯(cuò)誤與學(xué)生的某種關(guān)系。雖然，每一屆的學(xué)生不一樣，但是由于處在同一學(xué)段的學(xué)生在年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律、生活與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等方面的相似，所產(chǎn)生的錯(cuò)誤也一定是具有相似性的，是可以按一定的預(yù)期方式產(chǎn)生的。如果教師和學(xué)生能夠主動(dòng)地去認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，了解錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，并對其加以利用，錯(cuò)誤就會(huì)變成教師和學(xué)生學(xué)習(xí)的有效資源。如果教師能夠基于錯(cuò)誤分析有意識(shí)去設(shè)計(jì)相應(yīng)的應(yīng)對策略并通過不斷的效果跟蹤使之不斷成熟，無疑對教師的教學(xué)工作能起到很明顯的助力作用。

（作者單位：江西省九江市雙峰小學(xué)）

責(zé)任編輯：宋顯慶

E-mail：379607934@qq.com