如何解題

黃鐵牛

解題的一般程序如下圖所示：

一、See and Think（認(rèn)真看周密想）

解題時(shí)，首先要認(rèn)真看題目，切忌題目還沒有看清楚就匆匆動(dòng)筆解題。若這樣，極易出現(xiàn)下筆千言卻離題萬里的笑話。在認(rèn)真看的基礎(chǔ)之上，進(jìn)而周全嚴(yán)密地系統(tǒng)化思考如何解題。在實(shí)踐中，看想不可分割，即實(shí)際上我們通常邊看邊想，屆時(shí)可在紙上動(dòng)動(dòng)筆以助思考；最佳則是在腦海中打“腹稿”。在邊看邊想過程中，首先要弄清題意，在此基礎(chǔ)之上創(chuàng)造性地思考我要如何解題，這種心理活動(dòng)過程稱之為“審題”。包括以下四方面內(nèi)容。

（一）題目所給已知條件是什么？

這是我們解題的出發(fā)點(diǎn)和框架，即最終解答不應(yīng)違背題目所給已知條件。在此應(yīng)注意，題目中有的條件可能是多余的，即解題時(shí)用不著；有時(shí)，已知條件尚欠缺、不當(dāng)或者互為矛盾等，屆時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)無解或無窮多個(gè)解的情況；有時(shí)，還可能有某種或某些隱含的條件存在，這就需要我們深入思考才能發(fā)現(xiàn)之。各種已知條件，又可統(tǒng)稱為初始條件。

（二）題目要求我們必須回答的問題是什么？

其答案可統(tǒng)稱為題目的“解”。正確地求得題目的解，即通過解題成功地尋求到所求問題的正確答案，這是我們解題要堅(jiān)持的大方向且應(yīng)最終實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。在學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)遇到各種各樣的問題（狹義的“題目”到廣義的“課題”），具體題型更是千變?nèi)f化。盡管如此，卻可以簡(jiǎn)略地將它們區(qū)分為兩大類特性有別的問題[1]：其一是“求解”類，即要求我們通過解題“計(jì)算”出某結(jié)果，如求某三角形的周長(zhǎng)；其二是“求證”類，即要求我們通過解題，“證明”某結(jié)論Yes（是）or No（不），如證明某兩個(gè)三角形全等。當(dāng)然，有許多問題，特別是許多比較復(fù)雜的問題，既需要我們求解，又需要我們求證。

通過解題獲得的“解”，即所求問題的正確答案，可能是唯一的解或有限幾個(gè)解，亦可能無解或無窮多個(gè)解。若出現(xiàn)后種情況，往往是因題目所給條件不當(dāng)或我們推演過程有誤所致，當(dāng)然亦可能是題目的結(jié)論本該如此。究竟應(yīng)該如何判斷？只有解題者在再次認(rèn)真審題及推演的基礎(chǔ)之上，自己酌情理智決斷了。

（三）具體的解題方法和途徑是什么？

究竟應(yīng)該如何解題，這是審題終極目標(biāo)的核心所在。其實(shí)質(zhì)是要求我們?cè)谝阎獥l件與所需求解或求證的問題之間，構(gòu)建一座有效的“橋梁”，以求圓滿而正確地實(shí)現(xiàn)解題這一目標(biāo)。為此，我們首先要放飛想象力，創(chuàng)新思維，甚至大膽猜測(cè)，多角度思索和尋求可能的解題方法與途徑。其結(jié)果往往會(huì)在自己腦海中形成多個(gè)差異化的解題方案。這種由少到多的開放性思維過程，被稱為發(fā)散性思維，又常被稱為“頭腦風(fēng)暴”（Brain Storm）。其間產(chǎn)生的想法（Idea），特別是新奇的想法，多源于我們?cè)趯忣}過程中雖苦思冥想?yún)s仍百思不得其解時(shí)的突發(fā)奇思妙想（稱為頓悟思維）；或根據(jù)我們過去的經(jīng)驗(yàn)，甚至猶如從未謀面的男女一見鐘情，一見到題目后立即直覺地認(rèn)定此題就應(yīng)如此這般地求解或求證（稱為直覺思維）；當(dāng)然，也源于我們依據(jù)所學(xué)基本概念、基本理論、基本知識(shí)和技能的邏輯推理和理性判斷（稱為邏輯思維[2]）。在此需要提醒的是，切忌將自己的思維凝固在某一點(diǎn)上，否則將極易鉆牛角尖，從而將自己的解題思路引入死胡同中。同時(shí)更需要強(qiáng)調(diào)，“放飛”既不能脫離已知條件，又必須堅(jiān)守圓滿成功解題的目標(biāo)導(dǎo)向；否則，就是胡思亂想。

放飛的“風(fēng)箏”飛得再高再遠(yuǎn)，終歸是要收回的。即我們解題時(shí)，總是要采用某種具體解題方法和途徑解題。換言之，頭腦風(fēng)暴后，我們必須以既能正確圓滿回答題目要求我們求解或求證的問題、又要符合題目所給已知條件為準(zhǔn)繩，對(duì)腦海中形成的多個(gè)解題方案進(jìn)行深入分析、比較和評(píng)估，從中篩選出正確的解題方法和途徑；進(jìn)而從正確的解題方法和途徑中選擇最簡(jiǎn)單、有效的解題方法和途徑，保證我們既成功又快速順利地解題。這種由放到收，即由多到少進(jìn)而歸一的思維過程，被稱為收斂性思維。屆時(shí)，我們必須堅(jiān)守有理有據(jù)地邏輯推理、理性判斷與決策，即堅(jiān)守邏輯思維，而不是“任性”。

具體解題方法何止成千上萬，解題技巧更是五花八門。特別是科學(xué)的發(fā)現(xiàn)和探討，本身就是一個(gè)永無止境的創(chuàng)新思維和實(shí)踐的過程，幾乎每天都有新的解題方法和技巧，甚至新的概念和理論產(chǎn)生。例如，大家熟知的勾股弦定律，就有300多種不同的證明方法[3]。因此，要求我們逐一學(xué)習(xí)并能靈活應(yīng)用如此眾多的解題方法和技巧，猶如要我們摘天上的月亮，是無法辦到的事。然而，在當(dāng)今高度競(jìng)爭(zhēng)的態(tài)勢(shì)下，為了今后更好地生存和發(fā)展，我們又必須努力學(xué)習(xí)和掌握之。那么，有無捷徑可走呢？我們的觀點(diǎn)是：一是無捷徑可走。因?yàn)榭炭嗾J(rèn)真學(xué)習(xí)者，猶如苦行僧修行，一要耐得住寂寞，二要不怕失敗和吃苦，三要腳踏實(shí)地，四要勇于創(chuàng)新，勤于思考，善于總結(jié)。堅(jiān)持者會(huì)水到渠成，必成大器。二是有規(guī)律可循。如果從審題時(shí)在我們腦海中從產(chǎn)生意念（Idea）、打通解題思路進(jìn)而最終形成解題方案之邏輯過程的思維模式入手分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)各種各樣的解題方法，可粗略地區(qū)分為三大類。

1.分析法。這是一種反向思維（又稱逆向思維）的思維模式。它是從題目要求我們求解或求證的問題入手，反向思維，即一步一步地反向推演，探索它與初始條件之間聯(lián)系的通道，以打通解題思路，最終尋找到正確的解題方法和途徑。換言之，在這種思維模式中，我們首先認(rèn)定，題目要求我們求解或求證問題的結(jié)論成立（也可以設(shè)定為不成立），看看若如此，則它必須滿足哪些條件，即它必須在什么樣的條件下才能成立？若這些條件成立，它們又需要什么樣的次級(jí)條件支撐？這些次級(jí)條件又需要什么樣的次次級(jí)條件支撐……如此一步一步地反向追問和推演，直至追溯到初始條件，從而打通并理清理順解題思路，找到解題方法和途徑。待解題思路打通后，再從初始條件出發(fā)，正向推演一步一步地返回原路，看看能否圓滿地回答題目要求我們必須求解或求證的問題，即能否成功解題。

2.歸納法。這是一種正向思維的思維模式。它是從題目所給已知條件（包括常數(shù)和潛在的已知條件）出發(fā)，以題目要求我們最終求解或求證即必須回答的問題為導(dǎo)向，正確運(yùn)用相關(guān)聯(lián)的基本概念、基本理論、基本知識(shí)和技能，當(dāng)然需要經(jīng)驗(yàn)和技巧，正向思維，一步一步地向前邏輯嚴(yán)密有據(jù)地推演，最終圓滿地回答題目要求我們必須求解或求證的問題，從而成功解題。

3.綜合法。顧名思義，它是將分析法和歸納法有機(jī)結(jié)合起來，即根據(jù)解題的實(shí)際需要，酌情將反向思維和正向思維這兩種思維模式有機(jī)結(jié)合起來，系統(tǒng)化思考，綜合性應(yīng)用，以求發(fā)現(xiàn)、形成、甚至創(chuàng)新出正確的解題思路，從而找到成功求解或求證問題的可行方案；進(jìn)而從多個(gè)可行方案中篩選出最優(yōu)化且具體實(shí)施的解題方法和途徑，以成功解題。在此需要指出的是，現(xiàn)實(shí)生活中許多問題往往受多種因素相互制約，其“解”可能不是“最優(yōu)化”而是“令人滿意”的方案。這已超出本文討論范疇，故不贅述。

（四）可選用什么解題技巧？

解題技巧的應(yīng)用，特別是解數(shù)學(xué)題時(shí)，不僅十分普遍，而且非常重要。一個(gè)看似“死題”，往往在引入輔助線或新的變量等“中介”和“橋梁”，甚至創(chuàng)新性概念、方法及理論后，立即變成“活題”。解題技巧能力的產(chǎn)生和提升，既源于我們的靈感，更有賴于我們?nèi)粘５牟W(xué)勤思多練及知識(shí)的積累與見多識(shí)廣。其實(shí)，我們做題時(shí)只要深入分析題目所給已知條件與要求我們所求解或求證問題之間的聯(lián)系，往往會(huì)激發(fā)我們創(chuàng)造性解題的沖動(dòng)和靈感，從而不難發(fā)現(xiàn)并且很快找到，甚至創(chuàng)造出某種嶄新的解題方法和訣竅。換言之，“靈感”并非是天才的專利，而是我們大家都擁有的。為此，我們“凡人”必須有迎難而上，永不放棄和言敗，特別是要有敢于并樂于勇攀高峰的氣勢(shì)。

當(dāng)我們有了初始的解題設(shè)想后，因其往往并不完善，甚至可能是條“死路”或“陷阱”，故應(yīng)對(duì)之反復(fù)追問“why？why？why？”不斷深入多角度地提出新的問題，以力求發(fā)展和完善這些設(shè)想（當(dāng)然有些可能必須舍棄），使之升華為解題思路；進(jìn)而打通、理清、理順解題思路以形成解題方案，并對(duì)之認(rèn)真分析、比較和評(píng)估（評(píng)估準(zhǔn)繩已前述），從中篩選出正確的解題方案；再從正確的解題方案中，選擇出最簡(jiǎn)潔有效的解題方法和途徑以具體實(shí)施。之所以突出“解題途徑”，是因?yàn)橥淮罂蚣芟碌慕忸}方法中，常常可細(xì)分為若干推演過程或者技術(shù)路線差異化的具體解題方法。即不同途徑解法的大原理相同，但其具體表現(xiàn)手法卻互有差異，因而存在著哪條解題途徑更科學(xué)合理的問題。

從上述分析中不難看出，“認(rèn)真看、周密想”的實(shí)質(zhì)是“認(rèn)真而周密地審題”。其核心任務(wù)可歸納為十六個(gè)字：弄清題意，提出設(shè)想，打通思路，確定方案。為此，審題時(shí)我們必須清晰而明確地回答下述四個(gè)基本問題：

1.我應(yīng)該從何處或何角度入手解題？

2.我所選擇的具體解題方法和途徑是什么？它符合題意且正確、簡(jiǎn)潔、有效嗎？

3.我解題的理論依據(jù)是什么？解題的推演過程一目了然且各步之間的邏輯關(guān)系正確而嚴(yán)密有據(jù)嗎？

4.我解題的答案，即題目的解，既符合題目所給已知條件，又圓滿回答了題目中的要求嗎？

我們了解必須求解或求證的問題嗎？換言之，通過我的解題，我是否正確地在這二者之間成功構(gòu)建了有效的“橋梁”？

綜上所述，“認(rèn)真看、周密想”就是要求我們?cè)趧?dòng)筆前一定要“看清楚、想明白”。這是保證我們成功解題的關(guān)鍵所在。正如古人云：凡事要先謀而后動(dòng)，三思而后行。

二、DO（規(guī)范化做）

規(guī)范化做，實(shí)質(zhì)上是將我們?cè)趯忣}過程中，已選擇并儲(chǔ)存在我們腦海中擬實(shí)施的具體解題方法和途徑，在紙面上“復(fù)印”一遍，以最終實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)而已。換言之，它是在“執(zhí)行”我們腦海中已確定的決策?！皥?zhí)行”過程中要注意：

1.解題格式和推演過程應(yīng)規(guī)范化。

2.解題的推演過程要一目了然，且每一步的推演其邏輯關(guān)系要嚴(yán)密有據(jù)，使閱者有眼前一亮、目不轉(zhuǎn)睛之悅感。切忌曲里拐彎，繞來繞去說不清、道不明。

3.文字表述應(yīng)清晰、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確。

4.注意細(xì)節(jié)，不要出現(xiàn)筆誤或遺漏等不必要的失誤。

5.書寫工整、整潔且布局合理。

三、Check（細(xì)心查）

完成解題后，還需要細(xì)心查驗(yàn)，確保解題正確無誤。為節(jié)約時(shí)間并保證有足夠的時(shí)間做完其他題目，通常是完成全部解題任務(wù)后再統(tǒng)一查驗(yàn)。當(dāng)然，亦可以邊做邊查。如何具體實(shí)施，必須以在預(yù)定時(shí)間內(nèi)，最好地完成預(yù)期任務(wù)為準(zhǔn)繩。若時(shí)間約束有彈性，則應(yīng)以既高效更優(yōu)質(zhì)即追求卓越為首要目標(biāo)。

查驗(yàn)時(shí)，首先要看有無大錯(cuò)。一旦發(fā)現(xiàn)有大錯(cuò)，就應(yīng)千方百計(jì)地設(shè)法糾正之。其次是看看有無小錯(cuò)，如小數(shù)點(diǎn)、單位、運(yùn)算符號(hào)，甚至是錯(cuò)別字和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)等，都應(yīng)細(xì)心查驗(yàn)，避免不必要的失誤。因?yàn)槿魏涡″e(cuò)，特別是小錯(cuò)的積累，都有可能釀成無法挽回的大錯(cuò)。

由此可見，“細(xì)心查”就是構(gòu)建一道有效的“防火墻”及信息反饋通道。使我們有機(jī)會(huì)從全局上系統(tǒng)化地重新審視整個(gè)解題過程，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正解題過程中可能出現(xiàn)的失誤（包含題目自身的失誤），從而保證成功解題。因此，它是解題過程中不可缺失的重要環(huán)節(jié)之一。然而，辯證地看，最佳的“細(xì)心查”是“不用查”。認(rèn)真看、周密想、規(guī)范化做題，這幾個(gè)環(huán)節(jié)只要切實(shí)做好，即可避免出錯(cuò)。而無錯(cuò)就談不上糾錯(cuò)的問題，屆時(shí)認(rèn)真檢查就成為舉手之勞。這種嚴(yán)肅認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度及腳踏實(shí)地的學(xué)風(fēng)，我們應(yīng)該習(xí)慣成自然。

參考文獻(xiàn)：

[1]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授[M].科學(xué)出版社，2006：128-130.

[2]錢學(xué)森.系統(tǒng)科學(xué)、思維科學(xué)與人體科學(xué)[J].自然雜志，1981，4（1）：3-9.

[3]張景中，曹培生.從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)——張景中院士、曹培生教授獻(xiàn)給中學(xué)師生的禮物[M].中國少年兒童新聞出版社，2005：18-22.