具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性

王　維，張永華，梁向前

(1.山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590；2.山東科技大學 信息科學與工程學院，山東 青島 266590)

具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性

王維1，張永華2，梁向前1

(1.山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590；2.山東科技大學 信息科學與工程學院，山東 青島 266590)

摘要：本文研究了具有多噪聲的馬爾科夫(Markov)跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性問題，利用H-表示和譜算子的方法以及伊藤公式，建立了馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的系數(shù)矩陣和確定性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系，將隨機系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定性系統(tǒng)的完全能觀性，從而得到了離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)(Gramian matrix criterion)。

關(guān)鍵詞：精確能觀性；H-表示；格拉姆矩陣判據(jù)

在現(xiàn)代控制理論中，能觀性是控制問題中的一個基本而重要的特性。系統(tǒng)的能觀性可以反映系統(tǒng)直接測量輸入輸出量的量測值以便確定系統(tǒng)狀態(tài)的可能性。隨著控制理論的發(fā)展，能觀性對于控制和狀態(tài)估計問題研究的作用越來越重要。馬爾科夫(Markov)跳變系統(tǒng)有著廣泛的實際應(yīng)用背景，也是近年來控制領(lǐng)域熱門的研究方向之一。

近年來，譜技術(shù)被成功的運用到線性隨機系統(tǒng)的精確能觀測問題中，Zhang等[1-2]用廣義Lyapunov算子的方法給出了連續(xù)時間隨機時不變系統(tǒng)的精確能觀測的隨機Popov-Belevitch-Hautus(PBH)判據(jù)，并將確定性系統(tǒng)的能觀性問題推廣到隨機系統(tǒng)上，采用隨機譜方法得到了判定精確能觀性的PBH判據(jù)。Zhang等[3]研究了線性隨機時變系統(tǒng)的精確能觀性，給出了判定連續(xù)時間和離散時間的精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)和秩判據(jù)。由于馬爾科夫跳變系統(tǒng)能被應(yīng)用到自然和工程中，因此該類系統(tǒng)也已經(jīng)得到了廣泛的研究。Hou等[4]研究了離散時間馬爾科夫跳變參數(shù)和乘積噪聲隨機系統(tǒng)的精確能觀性的PBH判據(jù)。Vasile等[5-6]研究了馬爾科夫跳和多個白噪聲的隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性和能穩(wěn)性問題，給出了保證隨機能穩(wěn)性和隨機能檢測性的充要條件，得到了隨機馬爾科夫跳系統(tǒng)的一個有界實引理，并引入了隨機能觀性的定義，推廣了確定性離散線性時變系統(tǒng)的一致能觀性的定義。Costa等[7]引入了連續(xù)時間馬爾科夫跳變系統(tǒng)的MS-穩(wěn)定性和W-能觀性的定義，利用能觀性矩陣得到了W-能觀性的檢驗條件。Ma等[8-9]研究了帶乘積噪聲的離散時間隨機馬爾科夫跳變系統(tǒng)的有限時域和無限時域的H2/H∞控制。

本文找到了一個判別具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性的方法，即利用文獻[10]中去掉重復(fù)元素的H-表示方法，將馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定性系統(tǒng)的完全能觀性問題，給出了具有多噪聲的離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)精確能觀的充分必要條件——格拉姆矩陣判據(jù)(Gramianmatrixcriterion)。

在給定的概率空間(Ω,Fk,P)中，考慮以下形式的具有多噪聲的離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)：

(1)

而且，矩陣Xi(k),Yi(k)滿足下面的方程。

證明由前面的假設(shè)，即x(k)x(k)′和θ(k)都是Fk可測的，隨機變量{wp(k),k∈NK}和馬爾科夫鏈{θk,k∈NK}相互獨立，由系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)以及Xi(k)的定義，可得

Xi(k+1)=E[x(k+1)x(k+1)′I{θk+1=i}]=

并且

下面證明Yi(k)式，

Yi(k)=E[y(k)y(k)′I{θk=i}]=

因此，引理1得證。

對于系統(tǒng)(1)，定義算子L{A,C}，其表達式為

其中

[18][19]羅莎莉：《儒學與女性》，丁佳偉、曹秀娟譯，南京：江蘇人民出版社，2015年，第6、173-181頁。

其中

Ψ(X(i))=(x11(i),…,x1n(i),…,xn1(i),…,xnn(i))′∈Rn2，

下面的定理推廣了對于確定性離散時間隨機系統(tǒng)的能觀性格拉姆矩陣判據(jù)。

定理1具有多噪聲的離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)(1)在時刻h∈Jk(Jk是一個離散時間定義的區(qū)間)精確能觀的充分必要條件為存在一個有限時刻l∈Jk,l>h時，使得格拉姆矩陣

為非奇異，其中

證明由引理1，對k∈NK有

(2)

將式(2)兩邊同時拉直，結(jié)合引理2，并運用克羅內(nèi)克積的性質(zhì)以及H-表示方法，可得

其中

(3)

I為n2階的單位矩陣。用同樣方法，對Y(k)進行上述變換，可得

其中

(4)

因此，結(jié)合式(3)(4)，系統(tǒng)(1)就等價于下面的確定性系統(tǒng)

(5)

所以當系統(tǒng)(5)滿足完全能觀性時，系統(tǒng)(1)就滿足精確能觀性。由系統(tǒng)(5)滿足精確能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)[12]可知，存在一個時刻h∈Jk,l>h，使系統(tǒng)(5)的格拉姆矩陣

非奇異。定理得證。

推論1離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)

精確能觀的充分必要條件為存在一個時刻l>0，使得格拉姆矩陣

為非奇異，其中

通過這種方法，我們就把馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性轉(zhuǎn)化為確定系統(tǒng)的完全能觀性。這種方法在馬爾科夫跳變系統(tǒng)與線性時變系統(tǒng)之間建立了有效的橋梁。

在實際應(yīng)用中，多維系統(tǒng)是很常見的，相關(guān)的計算也都可以借助Matlab軟件編程完成。為了能直觀說明格拉姆矩陣判據(jù)的可應(yīng)用性，本文經(jīng)過大量反復(fù)驗證，找到一個非常典型的二維例子來說明定理的有效性。

系數(shù)矩陣Aθ(k)，Cθ(k)，Qθ(k)和Dθ(k)分別為

其中

經(jīng)過設(shè)計Matlab循環(huán)程序得，直到當l=1的時候，格拉姆矩陣

非奇異，得到此系統(tǒng)是精確能觀的。

本文利用H-表示方法，找到了具有多噪聲的離散時間馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)和確定性系統(tǒng)系數(shù)之間的關(guān)系，進而得到了馬爾科夫跳變隨機系統(tǒng)的精確能觀性和確定系統(tǒng)的完全能觀性之間的等價關(guān)系。同時，論文也給出了一個推論，使得能觀性格拉姆矩陣判據(jù)的形式簡單，更為方便實用。

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(責任編輯：傅游)

ExactObservabilityofMarkovJumpStochasticSystemswithMultiplicativeNoise

WANGWei1,ZHANGYonghua2,LIANGXiangqian1

(1.CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China; 2.CollegeofInformationScienceandEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China)

Abstract:This paper studied the issue of exact observability of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise. Using H-representation, the method of spectral operator and formula, the relationship between the coefficient matrix of Markov jump stochastic systems and that of deterministic systems is established, and the exact observability of Markov jump stochastic systems is transformed into complete observability of deterministic systems. Finally, the Gramian matrix criterion of exact observability relating to discrete-time of Markov jump stochastic systems with multiplicative noise is obtained.

Key words:exact observability;H-representation; Gramian matrix criterion

收稿日期：2015-12-31

基金項目：國家自然科學基金項目(61402265)；山東科技大學群星計劃項目(qx2013111)

作者簡介：王維(1990—)，女，山東棗莊人，碩士研究生，主要從事隨機控制及其應(yīng)用研究.E-mail：wangwevi@163.com E-mail：liangxq87@126.com

中圖分類號：O231

文獻標志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)03-0099-07

梁向前(1969—)，河南伊川人，副教授，博士，主要從事復(fù)分析、計算機密碼學研究，本文通信作者.