北斗三類衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插方法分析比較

汪威,陳明劍，閆建巧，尹子明，劉天恒

(信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,鄭州 450001)

北斗三類衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插方法分析比較

汪威,陳明劍，閆建巧，尹子明，劉天恒

(信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,鄭州 450001)

摘要：全球連續(xù)監(jiān)測(cè)評(píng)估(iGMAS)分析中心能夠提供GPS/BDS/GLONASS三系統(tǒng)衛(wèi)星精密星歷、精密鐘差、電離層與對(duì)流層等產(chǎn)品,在使用北斗衛(wèi)星進(jìn)行高精度定位過程中必須對(duì)北斗精密星歷進(jìn)行內(nèi)插。由于我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)包含不同軌道的衛(wèi)星,因此,本文選取iGMAS分析中心精密星歷,采用拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插和切比雪夫多項(xiàng)式擬合兩種方法分別進(jìn)行北斗GEO/IGSO/MEO三類衛(wèi)星三維坐標(biāo)內(nèi)插實(shí)驗(yàn),分析兩種插值方法對(duì)不同軌道衛(wèi)星插值誤差與多項(xiàng)式的階數(shù)之間的關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明,兩種算法適合北斗不同軌道衛(wèi)星內(nèi)插,并且不同軌道衛(wèi)星達(dá)到最佳插值精度所取的階數(shù)不同。

關(guān)鍵詞：iGMAS;北斗精密星歷;拉格朗日插值;切比雪夫多項(xiàng)式擬合

0引言

在GNSS定位中,高動(dòng)態(tài)運(yùn)行的GNSS衛(wèi)星位置為已知值,它是一種原始數(shù)據(jù)誤差,對(duì)用戶的定位精度有直接影響。在衛(wèi)星導(dǎo)航定位過程中,廣播星歷由于其實(shí)時(shí)性,得到了廣泛的應(yīng)用,但是精度不能滿足高精度定位的需要[1]。為了降低星歷誤差對(duì)用戶定位精度的影響,IGS組織免費(fèi)提供不同等級(jí)精度與時(shí)延的精密星歷產(chǎn)品,最終精密星歷精度優(yōu)于5 cm[2]?；诒倍犯呔榷ㄎ坏男枰?我國成立了iGMAS,能為用戶提供高精度的精密星歷,精密鐘差,電離層與對(duì)流層等產(chǎn)品,由于其它一些因素,目前還沒有公開發(fā)布北斗精密星歷。iGMAS分析中心提供的精密星歷間隔為15 min的衛(wèi)星三維坐標(biāo),因此,要想得到任意時(shí)刻北斗衛(wèi)星坐標(biāo)就必須對(duì)精密星歷進(jìn)行高精度內(nèi)插。目前常用的插值方法主要有拉格朗日多項(xiàng)式插值法、內(nèi)維爾插值法、牛頓插值法、三次樣條插值法、三角多項(xiàng)式插值法和切比雪夫多項(xiàng)式插值法等[3,5]。但以上方法均針對(duì)GPS衛(wèi)星精密星歷而言,對(duì)北斗衛(wèi)星精密星歷很少涉及。由于北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)采用的是混合星座,包含GEO、IGSO、MEO,其中MEO衛(wèi)星與GPS一樣均為中軌軌道衛(wèi)星,但是地球靜止軌道衛(wèi)星GEO與傾斜地球同步軌道衛(wèi)星IGSO與GPS還是有一定的區(qū)別,如利用廣播星歷擬合算法在對(duì)GEO進(jìn)行衛(wèi)星位置計(jì)算時(shí)需要對(duì)擬合參考面進(jìn)行一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)。因此,本文以iGMAS分析中心精密星歷為例,分析拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插與切比雪夫多項(xiàng)式擬合對(duì)北斗精密星歷的影響,得出一些結(jié)論并為以后的深入研究提供參考。

1插值與擬合算法數(shù)學(xué)模型

1.1拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插[6]

假設(shè)已給區(qū)間[a,b]上的節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b] 上有n+1階導(dǎo)數(shù),且y=f(x)在xi的值為yi=f(xi),Pn(x) 是通過yi=f(xi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的不超過n的多項(xiàng)式,則Pn(x)是唯一的,且對(duì)區(qū)間[a,b]內(nèi)任意x的n階拉格朗日的多項(xiàng)式可表示為

(1)

在進(jìn)行n階拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置,需要選取一個(gè)區(qū)間[ta,tb],使得t∈[ta,tb],并且在所選區(qū)間內(nèi)滿足m≥n+1,其中,n為插值階數(shù),m為插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù),拉格朗日多項(xiàng)式函數(shù)模型簡(jiǎn)單,易于編程實(shí)現(xiàn),是經(jīng)典的插值算法,但是插值節(jié)點(diǎn)的增刪則需要重新構(gòu)造多項(xiàng)式,利用式(1)計(jì)算衛(wèi)星的三維坐標(biāo)可以表示為

(2)

1.2切比雪夫多項(xiàng)式擬合[9]

切比雪夫多項(xiàng)式擬合的原理是通過根據(jù)給定的一些數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)逼近函數(shù),使其在給定的函數(shù)值與給定值之間的方差和達(dá)到最小,且該函數(shù)是以切比雪夫多項(xiàng)式為函數(shù)的,在多項(xiàng)式階數(shù)發(fā)生改變時(shí)只需改變多余觀測(cè)量,無需額外增加新的節(jié)點(diǎn),原有的公式不需要再重新建立。由于切比雪夫多項(xiàng)式只適用于自變量區(qū)間為[-1,1]的情況,因此在采樣時(shí)間段[t0,t0+Δt]內(nèi)(t0為初始時(shí)刻,Δt為擬合時(shí)間長度)采用n階切比雪夫多項(xiàng)式擬合時(shí),首先需要利用下述公式將時(shí)間進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

(3)

將時(shí)間變量t的區(qū)間歸化到變量區(qū)間[-1,1]后,則GNSS衛(wèi)星的切比雪夫的多項(xiàng)式擬合表達(dá)式在衛(wèi)星的三個(gè)分量可以表示為

(4)

式中: n為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù); Cxi,Cyi,Czi分別為 衛(wèi)星在X,Y,Z三個(gè)坐標(biāo)分量方向的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。則第i階切比雪夫項(xiàng)式Ti則表示為

(5)

通過式(4)可計(jì)算出t∈[t0,t0+Δt]時(shí)間區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。

1.3實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)過程

iGMAS分析中心精密星歷通用格式為AACwwwwd.sp3的文本文件,其中AAC為各分析中心三字符英文首字母縮寫,wwww為北斗周計(jì)數(shù)(四位數(shù)字),不足四位最前補(bǔ)零,d取0到6為天文件,取0為周日,其具體格式說明如圖1所示。

圖1　北斗精密星歷數(shù)據(jù)格式

從圖1可以看出,北斗精密星歷文件由頭文件與數(shù)據(jù)記錄文件組成,基本格式與IGS分析中心發(fā)布的精密星歷格式差別不大。圖1飄紅的部分中第一行“LSN”代表北斗精密星歷發(fā)布機(jī)構(gòu)之一,第二行“484”表示北斗周,第三至六行表示多系統(tǒng)衛(wèi)星數(shù)目及列表,第二十三行“M”與“BDT”分別表示混合系統(tǒng)與北斗時(shí),第三十二行/*表示頭文件結(jié)束標(biāo)志。數(shù)據(jù)記錄歷元以*開始,按照衛(wèi)星列表順序依次給出衛(wèi)星的三維坐標(biāo)與鐘差。

由于衛(wèi)星的精密星歷是根據(jù)大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)并通過嚴(yán)密的平差計(jì)算得來,其軌道變化是平滑的,由上面介紹,衛(wèi)星坐標(biāo)是以15 min間隔X,Y,Z的形式給出,實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)基本思路為讀取*.sp3數(shù)據(jù),構(gòu)造坐標(biāo)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,通過編程實(shí)現(xiàn)對(duì)任意時(shí)刻衛(wèi)星位置的計(jì)算,其程序設(shè)計(jì)流程圖如圖2所示。

圖2　衛(wèi)星星歷插值設(shè)計(jì)流程圖

2算例分析與比較

為了分析北斗不同軌道衛(wèi)星的插值精度與插值階數(shù)的關(guān)系,本文選取了iGMAS分析中心精密星歷數(shù)據(jù),起始?xì)v元為2015年4月16日0時(shí)0分0秒,終止歷元時(shí)刻為2015年4月16日23時(shí)45分0秒的.sp3精密星歷數(shù)據(jù)作為對(duì)象進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算,方法采用拉格朗日與切比雪夫多項(xiàng)式擬合兩種插值算法。選擇的衛(wèi)星包含北斗混合星座的三類衛(wèi)星,選取的衛(wèi)星號(hào)為PC02(GEO)、PC08(IGSO)和PC14(MEO),在實(shí)驗(yàn)過程中將擬合的時(shí)間間隔設(shè)為30 min,將30 min間隔的歷元作為內(nèi)插點(diǎn)計(jì)算各個(gè)內(nèi)插時(shí)間段中間時(shí)刻的衛(wèi)星位置,將內(nèi)插值與真值進(jìn)行比較,計(jì)算出殘差的均方差。根據(jù)以上分析,利用Visual Fortran編程語言進(jìn)行了實(shí)現(xiàn),表1、表2與表3分別給出了PC02、PC08和PC14號(hào)三顆衛(wèi)星7～20階的拉格朗日與切比雪夫內(nèi)插均方差結(jié)果,圖3、圖4與圖5為根據(jù)表1、表2與表3繪制出插值精度圖隨階數(shù)的變化關(guān)系。為了更能直觀地反映插值結(jié)果情況,文中繪制了插值結(jié)果殘差圖,鑒于文章篇幅,文章以PC08衛(wèi)星為例畫出兩種插值算法最佳插值結(jié)果殘差分布圖,結(jié)果如圖6和圖7所示。

2.1GEO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表1與圖3可以看出,PC02(GEO)衛(wèi)星的插值精度隨著階數(shù)的增加而發(fā)生變化。對(duì)于拉格朗日插值算法,GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在8～12范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn)。超過14階精度有所下降,當(dāng)階數(shù)超過17階時(shí)精度明顯變差,拉格朗日在取10階時(shí)精度達(dá)到最高。GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)插值精度表現(xiàn)在z坐標(biāo)插值精度大于x與y,小于16階時(shí),x與y精度幾乎相等,當(dāng)超過16階以上表現(xiàn)在插值精度z>x>y;對(duì)于切比雪夫多項(xiàng)式擬合,GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在階數(shù)小于8階時(shí),精度比較差。在8～12范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當(dāng)階數(shù)超過17階時(shí)精度明顯變差,切比雪夫在取9階時(shí)精度達(dá)到最高。采用切比雪夫多項(xiàng)式擬合GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)精度表現(xiàn)在階數(shù)小于8階時(shí)z>x>y,在8～14階范圍內(nèi)表現(xiàn)在x插值精度最高,y與z精度相當(dāng),在14～16范圍內(nèi)表現(xiàn)在x>y>z.

2.2IGSO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表2與圖4可以看出,PC08(IGSO)衛(wèi)星的

插值精度表現(xiàn)在當(dāng)插值階數(shù)過高或者過低時(shí),插值精度效果都非常差。對(duì)拉格朗日插值算法,在8～11階范圍內(nèi),隨著階數(shù)的增加插值精度有所提高。當(dāng)階數(shù)取9時(shí),可以達(dá)到厘米級(jí)的精度。在11～14階達(dá)到毫米級(jí),并且在取12階時(shí)精度最高,超過18階插值精度明顯為下降。在8～10階范圍內(nèi)IGSO三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在z>x>y,在10～12階時(shí)表現(xiàn)在y與z精度相當(dāng)均高于x,12～18階表現(xiàn)在y>x>z;對(duì)于切比雪夫多項(xiàng)式擬合,IGSO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在階數(shù)小于9階時(shí)精度比較差。在12～16階范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當(dāng)階數(shù)超過17階時(shí)精度明顯變差。當(dāng)階數(shù)取11時(shí),可以達(dá)到厘米級(jí)的精度。在12～14階可以達(dá)到毫米級(jí),在取13階時(shí)精度最高。在階數(shù)小于11階時(shí)z>x>y,在11～13階范圍內(nèi)表現(xiàn)在z>y>x.在13～17階范圍內(nèi)表現(xiàn)在y>x>z．

表2　IGSO衛(wèi)星兩種插值方法結(jié)果對(duì)比

圖4　兩種插值算法對(duì)IGSO衛(wèi)星插值誤差　　　隨階數(shù)變化關(guān)系

2.3MEO衛(wèi)星精密星歷插值精度分析

從表3可以看出,對(duì)PC14(MEO)衛(wèi)星的插值精度表現(xiàn)在當(dāng)插值階數(shù)過高或者過低時(shí),插值精度效果都非常差。對(duì)拉格朗日插值算法,在9～12階范圍內(nèi),隨著階數(shù)的增加插值精度有所提高。當(dāng)階數(shù)取11階時(shí)可以達(dá)到厘米級(jí)的精度,在13與14階時(shí)達(dá)到毫米級(jí),超過18階插值精度明顯為下降,并且在取12階時(shí)精度最高。在9～11與13～16階時(shí)MEO三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在z>x>y,在16～18階表現(xiàn)在月x>z>y;對(duì)于切比雪夫多項(xiàng)式擬合,MEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在階數(shù)小于10階時(shí)精度比較差,在14～17階范圍內(nèi)精度變化比較平穩(wěn),當(dāng)階數(shù)超過17階時(shí)精度明顯變差,當(dāng)階數(shù)取12時(shí),可以達(dá)到厘米級(jí)的精度,14～16階可以達(dá)到毫米級(jí),在取14階時(shí)精度最高,超過18階插值精度明顯為下降。在小于12階時(shí)三維坐標(biāo)分量表現(xiàn)在z>x>y,在14～17階范圍內(nèi)表現(xiàn)在z>x>y;圖5示出的是兩種插值算法不同階次對(duì)PC08(IGSO)衛(wèi)星的插值殘差圖。

表3　MEO衛(wèi)星兩種插值方法結(jié)果對(duì)比

圖5　兩種插值算法對(duì)MEO衛(wèi)星插值誤差　　　隨階數(shù)變化關(guān)系

從圖6與圖7可以看出,無論采用何種插值算法,當(dāng)取算法達(dá)到最佳階數(shù)時(shí),衛(wèi)星的插值精度能夠保持在毫米的范圍之內(nèi)。

圖6　拉格朗日12階插值殘差圖

圖7　切比雪夫13階插值殘差圖

3結(jié)束語

1) 本文以北斗系統(tǒng)三顆不同軌道衛(wèi)星分析了拉格朗日插值與切比雪夫擬合對(duì)衛(wèi)星精密星歷插值實(shí)驗(yàn),結(jié)果分析表明,拉格朗日插值與切比雪夫多項(xiàng)式擬合適合于北斗不同軌道衛(wèi)星的精密星歷內(nèi)插。

2) 在階數(shù)選取方面兩種方法插值階數(shù)都不應(yīng)過低或者過高,GEO衛(wèi)星對(duì)兩種插值算法在9～13階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好。IGSO衛(wèi)星對(duì)于拉格朗日在11～14階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好,對(duì)切比雪夫在12～15階插值結(jié)果較好。MEO衛(wèi)星對(duì)于拉格朗日在12～14階插值結(jié)果比較好,對(duì)切比雪夫在14～16階范圍內(nèi)插值結(jié)果比較好,超出17階三類衛(wèi)星的插值精度較差。同種插值算法對(duì)不同軌道衛(wèi)星達(dá)到最佳精度所取的階數(shù)不同,不同插值算法對(duì)同一類衛(wèi)星的最佳插值階數(shù)也不相同。

3) 衛(wèi)星軌道的三個(gè)坐標(biāo)分量的插值精度在取同一插值階數(shù)時(shí)插值精度不同,并且衛(wèi)星的三個(gè)坐標(biāo)分量達(dá)到最佳插值精度所取的階數(shù)也不完全相同。因此,在進(jìn)行衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插計(jì)算時(shí)可以對(duì)三個(gè)坐標(biāo)選取不同的插值階數(shù),以期達(dá)到精度最優(yōu)。

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汪威(1989-),男,碩士生,主要研究方向?yàn)楸倍稢ORS關(guān)鍵技術(shù)。

陳明劍(1976-),男,副教授,研究方向?yàn)镚NSS精密單點(diǎn)定位及地基增強(qiáng)系統(tǒng)建設(shè)及其應(yīng)用。

閆建巧(1989-),女,碩士生,研究方向?yàn)榫軉吸c(diǎn)定位相關(guān)技術(shù)研究。

尹子明(1990-),男,碩士生,研究方向?yàn)榛贑ORS的BDS數(shù)據(jù)質(zhì)量分析。

劉天恒(1990-),男,碩士生,主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)RTD技術(shù)應(yīng)用研究。

Three Kinds of Compass Satellite Precise Ephemeris Interpolation Method Analysis Comparative

WANG Wei，CHEN Mingjian,YAN Jianqiao, YIN Ziming,LIU Tianheng

(1.SchoolofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

Abstract: The global continuous monitoring and assessment iGMAS analysis center can provide GPS/BDS/GLONASS three system satellite precise ephemeris and precision clock error, ionosphere and troposphere products and so on.High precision positioning process must be carried out on the precise ephemeris interpolation using compass satellite, Because of our country's Beidou satellite navigation system (BDS) contains different orbits of the satellite, therefore,This paper selects the iGMAS Analysis Center precise ephemeris, Using Lagrange polynomial interpolation and Chebyshev polynomial fitting two methods respectively Beidou GEO/IGSO/MEO three kinds of satellite Three dimensional coordinate interpolation experiments, Two interpolation methods are analyzed to analyze the relationship between the interpolation errors of different orbit satellites and the order of polynomial. and draws some conclusions. The calculation results show that the two algorithms are suitable for the interpolation of different orbit satellites, and the order of the different orbit satellites to achieve the best interpolation accuracy is different.

Keywords:International GNSS monitoring and assessment system; compass precise ephemeris; Lagrange interpolation; Chebyshev polynomial fitting

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.02.011

收稿日期：2016-01-12

中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-9268(2016)02-0060-06

作者簡(jiǎn)介

資助項(xiàng)目： 裝備科研基金項(xiàng)目(編號(hào)：9140A24011314JB52001)

聯(lián)系人： 汪威E-mail:1101019365@qq.com