基于多項(xiàng)式模型的改進(jìn)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法

馬卓希,楊力,賈小林,趙海山

(1.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,鄭州 450001;2 西安測繪研究所,西安 710054)

基于多項(xiàng)式模型的改進(jìn)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法

馬卓希1,楊力1,賈小林2,趙海山1

(1.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,鄭州 450001;2 西安測繪研究所,西安 710054)

摘要：根據(jù)衛(wèi)星鐘固有的特性,提出了一種通用的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法。該方法在多項(xiàng)式模型的基礎(chǔ)上,對多項(xiàng)式模型的選擇、周期項(xiàng)修正、殘差建模等方面進(jìn)行了改進(jìn)。首先利用擬合數(shù)據(jù)的殘差標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)進(jìn)行多項(xiàng)式模型的自適應(yīng)選擇,繼而利用頻譜分析的方法對鐘差序列的周期項(xiàng)進(jìn)行了建模,最后利用AR模型對消除趨勢項(xiàng)的隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行建模。試驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的鐘差預(yù)報(bào)模型能夠顯著地提高鐘差的預(yù)報(bào)精度,對于穩(wěn)定度較差的衛(wèi)星的預(yù)報(bào)效果尤為顯著。改進(jìn)模型的衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)6 h預(yù)報(bào)精度總體優(yōu)于1 ns,24 h預(yù)報(bào)精度優(yōu)于2 ns.

關(guān)鍵詞：GPS;星載原子鐘;多項(xiàng)式模型;鐘差預(yù)報(bào)

0引言

衛(wèi)星軌道及精密鐘差的預(yù)報(bào)一直是實(shí)時(shí)高精度定位領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。IGS組織向用戶發(fā)布事后、快速及超快速的衛(wèi)星軌道和鐘差產(chǎn)品。GPS的超快速的預(yù)報(bào)軌道和鐘差產(chǎn)品的精度分別為5 cm和3 ns左右[1]。近年來,精密軌道的預(yù)報(bào)精度得到了較大幅度的改進(jìn),然而衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度相對較差,難以滿足亞分米級的實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的需求[2]。

為了提高衛(wèi)星預(yù)報(bào)精度,國內(nèi)外學(xué)者提出了多種衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)的模型和方法,常見的衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)模型有:多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型、灰色模型、求和自回歸滑動平均模型等[3-7]。鄭作亞等對不同預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)精度進(jìn)行了對比分析[3];黃觀文等利用頻譜分析的方法,對鐘差序列的周期項(xiàng)進(jìn)行建模和預(yù)報(bào),并取得了較高的預(yù)報(bào)精度[4];范旭亮等基于ARIMA模型對衛(wèi)星鐘差的短期預(yù)報(bào)性能進(jìn)行了分析[5]。盡管國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作,但仍然存在預(yù)報(bào)算法難以克服粗差、相位跳變等數(shù)據(jù)異常、預(yù)報(bào)模型多樣化但普適性不強(qiáng)、預(yù)報(bào)模型沒有充分結(jié)合原子鐘的物理特性等諸多問題,上述問題將極大程度地制約衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的服務(wù)性能。因此,研究高精度的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)算法,進(jìn)一步提高衛(wèi)星鐘

差的預(yù)報(bào)精度和適應(yīng)性具有重要的意義。

本文在多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法。先詳細(xì)闡述了其相關(guān)理論及實(shí)現(xiàn)方法,然后結(jié)合算例,利用IGS實(shí)測的鐘差數(shù)據(jù)對算法的短期預(yù)報(bào)效果進(jìn)行了論證。

1改進(jìn)的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法

由于多項(xiàng)式模型基本能反映衛(wèi)星鐘鐘速和鐘漂的物理特性,且算法的復(fù)雜程度較低,因此,本文采用的預(yù)報(bào)模型基于多項(xiàng)式模型進(jìn)行改進(jìn)?？傮w而言,算法的實(shí)現(xiàn)方法共包含三個(gè)步驟: 1) 進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。排除粗差、相位跳變、數(shù)據(jù)中斷等異常對后續(xù)處理的影響; 2) 在多項(xiàng)式模型的基礎(chǔ)上,對多項(xiàng)式模型的選擇進(jìn)行改進(jìn),并對周期項(xiàng)進(jìn)行建模; 3 )利用AR模型對消除趨勢項(xiàng)后的殘差進(jìn)行建模[8]。算法的實(shí)現(xiàn)流程圖如圖1所示。本文重點(diǎn)對模型的改進(jìn)策略及建模方法進(jìn)行闡述。

圖1　改進(jìn)的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)算法流程圖

1.1多項(xiàng)式模型的自適應(yīng)選擇

對于衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)而言,選擇多項(xiàng)式模型的擬合階次主要取決于衛(wèi)星鐘的頻漂特性是否明顯。由于星載原子鐘的變化具有不穩(wěn)定性。不同衛(wèi)星會表現(xiàn)出不同的物理特性;對于同一顆衛(wèi)星而言,在不同的時(shí)間段的物理特性也會發(fā)生變化。因此,在實(shí)際應(yīng)用中,不能籠統(tǒng)地將其歸類至單一的模型,需要利用擬合數(shù)據(jù)段的殘差標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)進(jìn)行多項(xiàng)式模型的自適應(yīng)選擇。模型的具體表達(dá)式及判斷準(zhǔn)則為

(1)

式中: x(tj)表示第j個(gè)歷元的衛(wèi)星鐘差值; tj表示第j個(gè)歷元的時(shí)刻; v(j)為該衛(wèi)星鐘第j個(gè)歷元鐘差的殘差; RMSLine、RMSQuadratic分別為利用一次多項(xiàng)式及二次多項(xiàng)式擬合的殘差標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2周期項(xiàng)建模

利用二次多項(xiàng)式模型對GPS所有在軌衛(wèi)星的1天數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,其擬合的殘差序列如圖2所示。從圖2中可以發(fā)現(xiàn),幾乎所有的在軌衛(wèi)星的擬合殘差序列均表現(xiàn)出不同幅度的周期特性,其周期特性將對鐘差序列的擬合及后續(xù)的預(yù)報(bào)工作產(chǎn)生較大的負(fù)面影響。受星載原子鐘的穩(wěn)定度因素影響,其中G04、G10、G29的擬合殘差較大。

圖2　GPS在軌衛(wèi)星擬合殘差序列圖

采用頻譜分析的方法對鐘差序列的周期項(xiàng)進(jìn)行建模。頻譜分析主要利用數(shù)據(jù)形式呈波形的性質(zhì),通過對數(shù)據(jù)波形的幅值進(jìn)行分析,對頻譜圖中具有較大幅值特性的顯著周期項(xiàng)進(jìn)行提取,達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。對于鐘差殘差序列中的系統(tǒng)性誤差,通過快速傅立葉級數(shù)展開式計(jì)算序列中各數(shù)值的頻譜值。傅立葉變換的展開式

(2)

式中,X(k)為k時(shí)段的頻譜值,x(n)為時(shí)間序列的值。其具體的理論及實(shí)現(xiàn)見參考文獻(xiàn)[9-10]。在公式1的基礎(chǔ)上,顧及周期項(xiàng)改正的多項(xiàng)式模型為

(3)

式中: x0,y0,β,Am和Bm分別為待求的模型參數(shù),m=1,2,…n,m的大小由功率譜決定; ωk表示該衛(wèi)星鐘的頻率變化特征參數(shù);利用頻譜分析進(jìn)行周期項(xiàng)建模的具體步驟為

1) 采用多項(xiàng)式模型對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到其擬合殘差序列vi.

2) 對擬合殘差vi進(jìn)行降噪處理,利用快速傅立葉變換進(jìn)行處理,通過對其功率譜進(jìn)行分析,確定其顯著周期項(xiàng),在程序設(shè)計(jì)中只選取了前6個(gè)最大的功率譜對應(yīng)的頻率。

3) 利用最小二乘的參數(shù)方法求解待估參數(shù),并利用求解的參數(shù)進(jìn)行后續(xù)的鐘差預(yù)報(bào)。

1.3隨機(jī)項(xiàng)建模

通過周期項(xiàng)建模使得鐘差序列的趨勢項(xiàng)得到較大幅度的削弱,利用AR模型對扣除多項(xiàng)式項(xiàng)及周期項(xiàng)后的殘差v(j)進(jìn)行建模。AR模型,即自回歸模型,由ARIMA模型簡化而來,使用該模型的一個(gè)重要前提是需要分析的時(shí)間序列是平穩(wěn)的。在實(shí)際應(yīng)用中,通常通過差分的方法消除數(shù)據(jù)的趨勢項(xiàng),從而滿足模型對數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的要求。基于差分處理的ARIMA模型通常記為{Xt}～ARIMA(p,d,q)。其中,{Xt}為時(shí)間序列,p,q為模型階數(shù),d為差分的次數(shù)。當(dāng)d為0時(shí),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p-

θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q+at,

(4)

式中: φ,θ為待估參數(shù); {at}為白噪聲序列,當(dāng)p,q分別為0時(shí),模型可相應(yīng)地變化為MA模型和AR模型。

為了確定更為準(zhǔn)確的模型參數(shù),可通過AIC準(zhǔn)則確定模型參數(shù),對于AR模型而言,其AIC判別函數(shù)

(5)

2試驗(yàn)和結(jié)果

本文所提出的鐘差模型的預(yù)報(bào)精度,利用IGS采樣率為30 s的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)分析。采用的數(shù)據(jù)的時(shí)段為2015年3月1日至3月14日,共兩周的數(shù)據(jù),并以IGS精密鐘差值作為基準(zhǔn),計(jì)算預(yù)報(bào)鐘差與鐘差基準(zhǔn)值的殘差和均方根誤差(RMS),并以此作為評估依據(jù),評估衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度。由于G26衛(wèi)星在采用的數(shù)據(jù)時(shí)段內(nèi)未提供服務(wù),因此,本文及后續(xù)實(shí)驗(yàn)中未涉及對該顆衛(wèi)星的結(jié)果分析。

為了分析改進(jìn)方法利用不同擬合時(shí)長的預(yù)報(bào)精度,試驗(yàn)分別采用6 h、12 h、18 h和24 h的數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,表1～表3分別示出了不同類型的衛(wèi)星利用不同模型預(yù)報(bào)的均方根誤差。其中BLOCK IIA衛(wèi)星采用一次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)結(jié)果與之對比,其余衛(wèi)星采用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行對比分析[11-12]。表中的預(yù)報(bào)精度為利用2周數(shù)據(jù)計(jì)算的平均統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表1　不同類型衛(wèi)星6 h預(yù)報(bào)精度(單位:ns)

表2　不同類型衛(wèi)星12 h預(yù)報(bào)精度(單位:ns)

表3　不同類型衛(wèi)星24 h預(yù)報(bào)精度(單位:ns)

從表1～表3中可以得到,總體而言,采用改進(jìn)的預(yù)報(bào)算法的預(yù)報(bào)精度優(yōu)于多項(xiàng)式模型,能夠較為顯著地提高不同類型衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度。改進(jìn)算法的衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)6 h預(yù)報(bào)精度總體優(yōu)于1 ns,24 h預(yù)報(bào)精度優(yōu)于2 ns.

從數(shù)據(jù)擬合長度與預(yù)報(bào)精度的關(guān)系方面分析,并非擬合弧段越長,預(yù)報(bào)的精度越高。其原因可歸結(jié)為擬合時(shí)段距離預(yù)測時(shí)段越遠(yuǎn),其對預(yù)報(bào)的相關(guān)性越弱。但當(dāng)采用的擬合數(shù)據(jù)量較少時(shí),由于對少量數(shù)據(jù)擬合并不能完全反映星載原子鐘物理特性的變化規(guī)律,因此預(yù)報(bào)精度較低。通過表中數(shù)據(jù)可以得到看出,當(dāng)擬合弧段為6 h時(shí),采用改進(jìn)模型的預(yù)報(bào)精度明顯低于采用更長擬合弧段的預(yù)報(bào)精度;當(dāng)擬合弧段為12 h時(shí),改進(jìn)的預(yù)報(bào)模型能夠達(dá)到較優(yōu)的預(yù)報(bào)效果,當(dāng)擬合數(shù)據(jù)量繼續(xù)增多時(shí),預(yù)報(bào)精度稍有降低,但變化并不顯著。

為了更加直觀地分析不同星載原子鐘的預(yù)報(bào)效果,利用2015年3月13日的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)報(bào)后續(xù)24 h的衛(wèi)星鐘差。對不同類型星載原子鐘的預(yù)報(bào)鐘差與IGS鐘差基準(zhǔn)的殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其預(yù)報(bào)殘差隨時(shí)間序列的變化關(guān)系如圖3～圖6所示。

圖4　BLOCK IIR-M在軌衛(wèi)星預(yù)報(bào)殘差序列 　　　(a) 預(yù)報(bào)模型； (b)改進(jìn)的預(yù)報(bào)模型

圖5　BLOCK IIA在軌衛(wèi)星預(yù)報(bào)殘差序列 　　　(a) 預(yù)報(bào)模型； (b)改進(jìn)的預(yù)報(bào)模型

圖6　BLOCK IIR在軌衛(wèi)星預(yù)報(bào)殘差序列 　　　(a) 預(yù)報(bào)模型； (b)改進(jìn)的預(yù)報(bào)模型

從圖3～圖6中可以得到,衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度與星載原子鐘的穩(wěn)定度相關(guān),星載原子鐘的穩(wěn)定度越差,其預(yù)報(bào)的精度越低。同其他類型的衛(wèi)星相比,BLOCK IIA衛(wèi)星的預(yù)報(bào)精度最低,且預(yù)報(bào)序列呈現(xiàn)不規(guī)則的變化特性。由于改進(jìn)的模型充分對周期項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行了建模,同多項(xiàng)式模型相比,改進(jìn)模型的誤差積累的程度有較大幅度的降低,對于穩(wěn)定度較差的衛(wèi)星預(yù)報(bào)的改進(jìn)效果尤為顯著。

3結(jié)束語

本文在多項(xiàng)式模型研究的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法,該模型充分考慮了星載原子鐘的物理特性,并重點(diǎn)對多項(xiàng)式模型的選擇、周期項(xiàng)修正、殘差隨機(jī)項(xiàng)修正等方面進(jìn)行了改進(jìn)。試驗(yàn)表明,改進(jìn)的鐘差預(yù)報(bào)模型能夠顯著地提高短期鐘差的預(yù)報(bào)精度,對于穩(wěn)定度較差的衛(wèi)星的預(yù)報(bào)效果尤為顯著。改進(jìn)算法的衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)6 h預(yù)報(bào)精度總體優(yōu)于1 ns,24 h預(yù)報(bào)精度優(yōu)于2 ns.在實(shí)際應(yīng)用中,可依據(jù)具體情況對模型進(jìn)行擴(kuò)充或簡化。

文中僅研究了改進(jìn)算法對GPS衛(wèi)星的短期預(yù)報(bào)效果。在后續(xù)工作中,探索衛(wèi)星鐘差的中長期變化規(guī)律,并將算法應(yīng)用于BDS衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)工作,是下一步的研究重點(diǎn)。

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馬卓希(1991-),男,碩士生,主要從事GNSS精密鐘差解算及其預(yù)報(bào)方面的研究。

楊力(1965-),男,博士,教授,主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航定位等教學(xué)研究。

賈小林(1972-),男,博士,研究員,主要從事導(dǎo)航衛(wèi)星定軌方面的研究。

趙海山(1991-),男,碩士生,主要從事GNSS理論與數(shù)據(jù)處理方面的研究。

The Optimization Method for the Satellite Clock Error Prediction Based on Polynomial Model

MA Zhuoxi1,YANG Li1,JIA Xiaolin2,ZHAO Haishan1

(1.InstituteofNavigationandSpaceTargetEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China;2.Xi'anInstituteofSurveyingandmapping,Xi'an710054,China)

Abstract: According to the physical characteristics of satellite clock, this paper adopts a universal clock offset model based on polynomial prediction model. Multiple improvements have been verified,which contains the self-adaptive selection of polynomial model, modeling for periodic term and modeling for the residual term. Firstly, the adaptive selection of polynomial fitting model is judged by the standard deviation of residual. Then the periodical term of clock offset is modeled using spectrum analysis. Finally the stochastic model after removing the periodical term is constructed using AR model. The experiment results show that the proposed model can greatly improve the short-term prediction accuracy, especially for less stable satellite clock. The overall accuracy of 6 h prediction can be better than 1 ns and 24 h prediction accuracy better than 2 ns.

Keywords:GPS; satellite atomic clock; Polynomial model; clock offset prediction

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.02.005

收稿日期：2015-11-02

中圖分類號：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9268(2016)02-0027-06

作者簡介

聯(lián)系人： 馬卓希 E-mail: mzhx-1991@163.com