逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王世楷

摘 要：逆向思維是一種突破常規(guī)的定性模式和超越傳統(tǒng)理論的框架，把思路指向新的領(lǐng)域和新的客體的思維方式。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)，不僅可以提高學(xué)生思維的主動(dòng)性和積極性，還可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：逆向思維；探究性學(xué)習(xí)；創(chuàng)新意識(shí)

所謂逆向思維，是指人們?yōu)檫_(dá)到一定目標(biāo)，從相反的角度來思考問題，從中引導(dǎo)啟發(fā)思維的一種思維方式。通過平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，我認(rèn)為逆向思維應(yīng)從以下幾方面培養(yǎng)：

一、加強(qiáng)定義和概念的逆用

數(shù)學(xué)概念、規(guī)律是推理論證和運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地理解概念、規(guī)律是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在教學(xué)中，教師除了要引導(dǎo)學(xué)生透徹理解定義和概念外，還要注意根據(jù)教學(xué)內(nèi)容對(duì)定義逆向思考進(jìn)行指導(dǎo)與訓(xùn)練，從而加深對(duì)概念的進(jìn)一步理解與拓展。例如，在講“余角”概念時(shí)，應(yīng)要求學(xué)生從兩個(gè)方面去理解：如果α+β=90°，那么α和β互為余角；如果α和β互為余角，那么α+β=90°。使學(xué)生把握住“互為余角”的實(shí)質(zhì)：（1）α與β“互為余角”表示α是β的余角，β也是α的余角；（2）互余的定義規(guī)定的是“兩個(gè)角”，而不是一個(gè)角，也不是兩個(gè)以上的角；（3）“互為余角”是兩個(gè)角的一種“數(shù)量關(guān)系”，與兩個(gè)角的位置無關(guān)。

二、加強(qiáng)公式、法則、定理的逆用

大家知道，數(shù)學(xué)中的許多公式、法則都可以用等式表示，等式具有雙向性，但很多學(xué)生只習(xí)慣于從左到右運(yùn)用公式，而對(duì)于逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣。因此，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)明確等式既可以用左邊的式子替換右邊的式子，也可以用右邊的式子替換左邊的式子。

例如，（1）a（b+c）=ab+ac，反過來ab+ac=a（b+c）也成立。

（2）在代數(shù)中公式的逆向應(yīng)用頻繁出現(xiàn)。如分式的減法法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題。

這道題從正向思考繁瑣復(fù)雜，甚至解答不了，但如果靈活逆用所學(xué)的法則，則會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的奇跡。

在定理教學(xué)中，每個(gè)定理都有它的逆命題，但它的逆命題不一定正確，經(jīng)過證明后成立即為逆定理。因此，應(yīng)強(qiáng)調(diào)慎重對(duì)待定理的逆命題。對(duì)于一個(gè)定理，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探求其逆命題的真假，使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)中的許多重要定理。如，在教材中研究勾股定理的逆定理時(shí)，給出了判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法，教科書通過例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這種方法解決問題。勾股定理以及逆定理都成立，而且它們的應(yīng)用也十分廣泛。如：在△ABC中，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0），求證△ABC是直角三角形。

分析：已知三邊，欲證△ABC是直角三角形，可考慮用勾股定理的逆定理。

三、解題思路的逆向分析

1.利用分析法逆向?qū)で蠼忸}方法

在解題教學(xué)中，如果只進(jìn)行由此及彼的單一訓(xùn)練，而忽視由彼及此的逆向聯(lián)想，很容易造成學(xué)生思維過程的單向定勢(shì)，因此，應(yīng)重視逆向思維的訓(xùn)練，適時(shí)采用分析法，培養(yǎng)學(xué)生雙向考慮問題的良好習(xí)慣。例如，現(xiàn)對(duì)甲、乙、丙三個(gè)小組的人員作如下調(diào)整：第一次丙組不動(dòng)，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第二次乙組不動(dòng)，甲、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動(dòng)，乙、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組。三次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有13人，丙組有6人，問甲、乙、丙三個(gè)小組原來各有多少人？

分析：用列方程的方法“正面”求解將很繁瑣，因?yàn)槲覀儾⒉恢赖谝淮握{(diào)整是甲組調(diào)進(jìn)乙組7個(gè)人，還是乙組調(diào)進(jìn)甲組7個(gè)人，需要分別討論，然而用“逆推”的方法就簡(jiǎn)潔明快得多了。

2.運(yùn)用反證法從反面尋求解題方法

反證法是教學(xué)中一種重要的證明方法。在平時(shí)數(shù)學(xué)練習(xí)中，要認(rèn)真審題，細(xì)致觀察，對(duì)解題起關(guān)鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力。因此，我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)不僅要學(xué)會(huì)從條件到結(jié)論去分析，還要學(xué)會(huì)從結(jié)論到條件逆向分析的方法。如，已知：n是整數(shù)，n2是2的倍數(shù)，求證：n是2的倍數(shù)。

分析：假設(shè)n不是2的倍數(shù)，即n不能被2整除，n被2除余1，即n=2m+1（m為整數(shù)），則n2=（2m+1）2=4m2+4m+1=2（2m2+2m）+1，所以n2不是2的倍數(shù)，這與題設(shè)矛盾，故n不是2的倍數(shù)的假設(shè)不成立，從而得出n是2的倍數(shù)。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生儲(chǔ)備豐富的知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的前提。經(jīng)常使用這種思維訓(xùn)練方式，可以拓寬學(xué)生思維的空間，特別是逆向思維的培養(yǎng)，是形成創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)。因此，逆向思維是對(duì)舊觀念的一種突破，是思維創(chuàng)新的一條新途徑，是“反其道而行之”，是“出人意料之外”，是“出奇制勝之本”，應(yīng)引起高度重視。

編輯 趙飛飛