高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)、立體幾何以及數(shù)列問(wèn)題分析

沈慧

為了更加有效地幫助學(xué)生提高高考成績(jī)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列問(wèn)題的學(xué)習(xí)效果，有必要針對(duì)高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)、立體幾何以及數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行深入分析。

一、解答高考中三角函數(shù)問(wèn)題的策略

高中三角函數(shù)知識(shí)中的難點(diǎn)較多，很多學(xué)生都難以理解深刻，因此學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握效果普遍不佳，而三角函數(shù)又是高考中主要考查的知識(shí)點(diǎn)之一，教師必須幫助學(xué)生攻克難關(guān)。我認(rèn)為，教師應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生分散難點(diǎn)和轉(zhuǎn)化難點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生遇到陌生而復(fù)雜的三角函數(shù)式子時(shí)，首先要認(rèn)真審題，弄清本道題考查的知識(shí)點(diǎn)是什么，之后要利用三角函數(shù)的性質(zhì)，并充分運(yùn)用倍角公式、降冪公式、化二為一公式來(lái)把該式將式子變形，分散和轉(zhuǎn)移難點(diǎn)，再利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

例如，在求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值時(shí)，假如學(xué)生對(duì)此式子感到陌生，此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生來(lái)分散和轉(zhuǎn)移難點(diǎn)，該題可以利用倍角公式降冪，再利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，通過(guò)教師一步步的引導(dǎo)，最終學(xué)生可以將y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x轉(zhuǎn)化為y=（1-sin2x）2+6，這樣一來(lái)此題就容易解答了，因?yàn)楹瘮?shù)z=（u-1）2+6在[-1，1]中的最大值為Zmax=（-1-1）2+6=10，最小值為Zmin=（1-1）2+6=6，因此該題最終答案即是“當(dāng)sin2x=-1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin2x=1時(shí)y取得最小值6”。

二、解答高考中立體幾何問(wèn)題的策略

很多高考學(xué)生在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，都是因?yàn)閷?duì)知識(shí)掌握不牢固，或者是因?yàn)閷W(xué)生頭腦中缺乏空間感和立體感，也有個(gè)別學(xué)生由于書(shū)寫(xiě)不規(guī)范導(dǎo)致沒(méi)能取得理想的成績(jī)。教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行易錯(cuò)題練習(xí)，教師在平時(shí)的日常教學(xué)過(guò)程中，一定要善于總結(jié)，歸納出學(xué)生容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的題型，進(jìn)而針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練，并且在訓(xùn)練過(guò)程中要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，分析每道題中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生引以為鑒。

例如，在下面這個(gè)圖形中：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)等于b，斜三棱柱的底面為正三角形，正三角形的邊長(zhǎng)等于a，AB和AC是底面兩條鄰邊，AB、AC與側(cè)棱AA1都成45°角，求斜三棱柱的側(cè)面積。

在解答這道題時(shí)，一些學(xué)生沒(méi)有給出任何證明而直接計(jì)算結(jié)果，也有一部分學(xué)生在作直截面時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，過(guò)BC作平面AA1垂直于M，還有一些學(xué)生由∠A1AB=∠A1AC？圯AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線，沒(méi)有給出結(jié)論，這些都是學(xué)生比較容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，針對(duì)這些問(wèn)題，教師應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生找到正確答案，引導(dǎo)學(xué)生過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AA1于M，之后再啟發(fā)學(xué)生連結(jié)CM，最后一步步指引學(xué)生找出正確的解題思路：在△ABM和△ACM中，AB=AC，同時(shí)∠MAB=∠MAC=45°，并且MA為公用邊，所以可以證明△ABM≌△ACM，進(jìn)而又可以證明∠AMC=∠AMB=90°，因此AA1⊥面BHC，根據(jù)上述步驟就可以證明平面BMC為直截面，在此基礎(chǔ)上通過(guò)BM=CM=ABsin45°=a，又可以證明△BMC的周長(zhǎng)等于2×a+a=（1+）a，已知條件中給出了棱長(zhǎng)等于b，所以最終S側(cè)=（1+）ab。

高中學(xué)生在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，常常由于缺乏立體感和空間感而出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此教師還應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生的立體感和空間感。

例如以下這道題：一個(gè)密封的正方體盒子中有一個(gè)小球，正方體盒子的棱長(zhǎng)為6 cm，小球的半徑為1 cm，無(wú)論怎樣搖動(dòng)這個(gè)正方體盒子，盒子中都有一部分空間是小球不能到達(dá)的，求小球在盒子中不能到達(dá)的空間的體積。

這道題的題目只有文字?jǐn)⑹?，沒(méi)有圖形，因此需要學(xué)生在大腦中形成立體圖形，個(gè)別學(xué)生在解答過(guò)程中，誤以為小球就是正方體的內(nèi)切球，直接用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積，這樣就出現(xiàn)了錯(cuò)誤，而出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)主要原因就是學(xué)生想象力不足，缺乏立體感和空間感，教師應(yīng)該多通過(guò)類(lèi)似的練習(xí)題來(lái)提升學(xué)生的立體感和空間感。

另外，書(shū)寫(xiě)是否規(guī)范也對(duì)學(xué)生的成績(jī)有一定影響，因此教師還要幫助學(xué)生鍛煉書(shū)寫(xiě)能力，使學(xué)生能夠熟練做好“作”“證”“算”各個(gè)步驟，幫助學(xué)生正確地表述，糾正他們的邏輯錯(cuò)誤，使他們可以將自己想表達(dá)的內(nèi)容完整、有序地表達(dá)出來(lái)。

三、解答高考數(shù)列問(wèn)題的策略

在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)該幫助學(xué)生明確以下幾條思路：

（1）在處理數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分、靈活地利用等比以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，同時(shí)要妥善利用數(shù)列的性質(zhì)；

（2）在處理等比以及等差數(shù)列的證明問(wèn)題時(shí)，要充分運(yùn)用定義；

（3）在遇到數(shù)列方面的難題時(shí)，應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣就可以通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解答問(wèn)題；

（4）想要順利地處理數(shù)列問(wèn)題，就要熟練掌握一些數(shù)學(xué)思想，包括分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想、整體解決問(wèn)題思想等等，因此教師要幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。

此外，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中多積累知識(shí)，首先應(yīng)該讓學(xué)生勤看課本，課本中的范例難度適中，有助于幫助學(xué)生加深對(duì)立體幾何知識(shí)的印象。當(dāng)學(xué)生熟練掌握課本內(nèi)容之后，再帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，教師一定要注意，開(kāi)展習(xí)題練習(xí)不能盲目采取題海戰(zhàn)術(shù)，習(xí)題練習(xí)不僅需要“量”，更需要“質(zhì)”，一定要明確學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練。

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列問(wèn)題是三個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在多年的高考試題中，都要涉及這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，本文分別探討了解答這三種問(wèn)題的策略，希望對(duì)教學(xué)工作有所借鑒。

編輯 薄躍華