文克勒地基板極限承載力的彈塑解

談至明， 姚　堯， 郭晶晶

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

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文克勒地基板極限承載力的彈塑解

談至明， 姚堯， 郭晶晶

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

摘要：將圓形均布荷載作用下的文克勒地基板出現(xiàn)環(huán)狀裂縫時(shí)的板劃分為二個(gè)區(qū)域，環(huán)內(nèi)屈服區(qū)仍采用剛塑性假設(shè)，而環(huán)外彈性區(qū)采用線彈性假設(shè)，進(jìn)而推導(dǎo)得到了文克勒地基上板極限承載力的彈塑性解，其中，環(huán)狀裂縫出現(xiàn)位置由板承載力最小化條件求出，從而彌補(bǔ)了現(xiàn)有剛塑性理論解中不能確定環(huán)狀裂縫出現(xiàn)位置的缺陷，使理論解更完備且具有良好的拓展性.分析結(jié)果表明，梅依爾霍夫的地基板承載力的解偏大且在圓形均布荷載相對半徑ρa(bǔ)=2.925時(shí)發(fā)散，在ρa(bǔ)=0.09～0.70范圍時(shí)，梅氏解偏大6%～10%.最后，為簡便使用給出了彈塑性解的板極限承載力系數(shù)φE回歸式.

關(guān)鍵詞：地基板； 極限承載力； 剛塑性； 彈塑性； 混凝土鋪面； 環(huán)狀裂縫位置

水泥混凝土地坪、堆場和路面等鋪面結(jié)構(gòu)的極限承載力是土木工程力學(xué)中典型問題之一，早在20世紀(jì)40年代，對此問題開展了不少試驗(yàn)和理論研究，發(fā)現(xiàn)水泥混凝土鋪面結(jié)構(gòu)在圓形荷載作用下，鋪面結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)可分彈性、中央?yún)^(qū)屈服、環(huán)狀裂縫出現(xiàn)和沖剪破壞四個(gè)階段，并將環(huán)狀裂縫出現(xiàn)時(shí)的荷載量作為水泥混凝土鋪面極限承載力[1-2].對此的力學(xué)解析以梅依爾霍夫?yàn)榇?，他將水泥混凝土鋪面視為文克勒地基板，并用剛塑理論擬合板的變形，這種忽略板彈性變形的近似處理方式導(dǎo)致無法在理論上獲得環(huán)狀裂縫的位置，對此，梅依爾霍夫總結(jié)了大量試驗(yàn)結(jié)果,給出了環(huán)狀裂縫位置經(jīng)驗(yàn)值[1].梅氏的水泥混凝土極限承載力計(jì)算方法獲得了廣泛的應(yīng)用，例如，在英國工業(yè)混凝土地坪設(shè)計(jì)方法中被采用[3-4].但是，從理論上來看梅氏方法是不夠完善的，一旦當(dāng)?shù)鼗褰Y(jié)構(gòu)或荷載圓半徑超過梅氏當(dāng)年的試驗(yàn)范圍，直接應(yīng)用梅氏公式的精度就難以保證了.另外，蔣大驊[2]指出梅氏板中荷載的板極限承載力公式僅是一個(gè)上限解，葉又等[5]應(yīng)用彈塑性有限元研究了鋼纖維混凝土路面板的極限承載力后指出，板環(huán)狀破裂面與梅氏解不符，但未能總結(jié)其規(guī)律，因此，有必要對此問題開展更深入的研究.

1文克勒地基板極限承載力的剛塑解

隨著作用于文克勒地基板的圓形均布荷載的荷載集度持續(xù)增大，荷載圓中心點(diǎn)的板底彎拉應(yīng)力達(dá)到材料抗彎強(qiáng)度，板由彈性轉(zhuǎn)入屈服狀況，而后，從荷載圓中心為起點(diǎn)的徑向裂縫開始萌生、擴(kuò)展、伸長，直到距離板中心某一半徑r=b處的最大負(fù)彎矩所產(chǎn)生的彎拉應(yīng)力達(dá)到板的抗彎強(qiáng)度，板結(jié)構(gòu)到達(dá)了極限狀態(tài)：環(huán)形裂縫出現(xiàn).根據(jù)剛塑性理論，板的極限狀態(tài)如圖1所示意，其中，w0為荷載中點(diǎn)的板撓度;a為圓形均布荷載半徑;q為荷載集度.

圖1　板中受荷的極限狀態(tài)

在r

(1)

由靜力平衡條件，圓形均布荷載合力P為

(2)

式中：k為文克勒地基的反應(yīng)模量.

取板一微分單元(圖2)，其板平衡微分方程為

(3)

式中：Mr為徑向彎矩；Qr為徑向剪力；Mθ為切向彎矩，它在整個(gè)屈服區(qū)均達(dá)了屈服彎矩，即Mθ=Me.

圖2　板微分單元

解式(3)得：

(4)

r=b時(shí)，剪力Q(b)=0，徑向彎矩達(dá)到板限彎矩Mr(b)=-Ms，由此得到文克勒地基板極限承載力的剛塑性解為

(5)

式中：λe為板屈服彎矩與極限彎矩之比，即λe=Me/Ms.

由于Ps與b之間關(guān)系是單調(diào)，Ps隨著b增大而減小，因此，無法求出Ps極值.梅依爾霍夫根據(jù)大量試驗(yàn)指出，荷載圓半徑a與環(huán)形裂縫半徑b之比a/b在0.050～0.750范圍時(shí)，b=3.9l，其中，l為文克勒地基板的相對剛度半徑,即

式中：E,ν分別為板彈性模量和泊松比；h為板厚度.

2文克勒地基板極限承載力的彈塑解

在環(huán)形裂縫之外的區(qū)域(r≥b)，地基板始終處于彈性狀態(tài)，其力學(xué)問題即為文克勒地基帶孔無限大薄板的邊值問題，在r=b邊界，有徑向彎矩Mr(b)=-Ms，Qr(b)=0(可從式(3)推出)，由此得到以下帶孔無限大文克勒地基板的邊值問題：

(6)

本問題屬齊次軸對稱問題，板撓曲微分方程解可表示為[5]

(7)

由無窮收斂條件得到待定常數(shù)B3=B4=0，徑向彎矩Mr和徑向剪力Qr的表達(dá)式為

(8)

將ρ=ρb=b/l的二邊界條件代入式(8)聯(lián)立解得待定常數(shù)B1,B2為

(9)

環(huán)形裂縫內(nèi)側(cè)的板撓度可表示為

(10)

由靜力平衡條件，得到圓形荷載合力P與板中心點(diǎn)及環(huán)形裂縫處撓度w0,wb的關(guān)系為

(11)

由此得到，文克勒地基板的極限承載力Ps的表達(dá)式為

(12)

式中：ξb為環(huán)裂處的撓度系數(shù).

(13)

式中：ρa(bǔ)=a/l.

式(13)是非常系數(shù)微分方程，需應(yīng)用數(shù)值解求得.計(jì)算結(jié)果表明，材料泊松比的影響甚小，可忽略.圖3給出了不同屈服彎矩與極限彎矩比λe條件下ρa(bǔ)與ρb的關(guān)系曲線.從圖3中可以看出，λe值對出現(xiàn)環(huán)狀裂縫的相對位置ρb影響也很小；ρb值隨著圓形均布荷載相對半徑ρa(bǔ)的增大而增大，在ρa(bǔ)很小時(shí)，ρb稍小于2，當(dāng)ρa(bǔ)>4以上，ρb與ρa(bǔ)的關(guān)系近似線性，兩者之比ρb/ρa(bǔ)趨近1.25.

將對應(yīng)極限承載力極小值的ρb代入式(7)即可得到環(huán)狀裂縫處的板撓度系數(shù)ξb，進(jìn)而利用式(11)求出文克勒地基板極限承載力Ps.

圖3　板極限狀態(tài)ρa(bǔ)與ρb的關(guān)系

3彈塑性解的討論和比較

彈塑性解中，板出現(xiàn)環(huán)狀裂縫時(shí)的地基板撓曲形狀如圖4示意.在剛塑解中，環(huán)狀裂縫位置b和板撓度零點(diǎn)位置c合一，在彈性解中兩者相距(c-b)為1.32l～1.16l；其次，環(huán)狀裂縫處的板撓度系數(shù)ξb變化幅度較小，荷載圓相對半徑ρa(bǔ)從0增至8，ξb從0.61增至0.95，見圖5.

圖4　地基板撓曲示意圖

按梅依爾霍夫所言,a/b在0.05～0.75范圍內(nèi),當(dāng)b=3.9l時(shí)，ρa(bǔ)值的變化范圍在0.20～2.93之間，而對應(yīng)b=3.9l的彈塑性解的ρa(bǔ)值為2.40，即a/b=0.615，也就是說ρa(bǔ)值縮減至0.09～2.40之間；若將剛塑性解的環(huán)狀裂縫位置b改為板撓度零點(diǎn)位置c，則ρa(bǔ)適用范圍縮小至0.20～0.70之間.

為了比較彈塑性解和剛塑性梅氏解的差異，將板極限承載力Ps表示為

(14)

圖5　ξb與ρa(bǔ),(ρc-ρb)與ρa(bǔ)關(guān)系圖

式中：φi可稱為之板極限承載力系數(shù)，i=E為彈塑性解，i=M為梅氏解.

兩種不同解的板極限承載力系數(shù)φ見圖6.從圖6可以看到，梅氏解是偏大，在ρa(bǔ)很小時(shí)，φM偏大5%，ρa(bǔ)=0.70時(shí)φM偏大10%；ρa(bǔ)=0.09～0.70范圍內(nèi)，梅氏解平均偏大8%；ρa(bǔ)超過1.5之后，偏差迅速上升，并在ρa(bǔ)=2.925時(shí)趨向無窮.

圖6　極限承載力系數(shù)φ圖

常見荷載的ρa(bǔ)值不大于0.7，載重卡車的輪載相對道路水泥混凝土路面而言，ρa(bǔ)值約在0.1～0.3之間；集裝箱單箱角荷載相對水泥混凝土堆場鋪面的ρa(bǔ)值不大于0.1，多列箱箱角荷載的ρa(bǔ)值在0.1～0.4之間；吊車、起重機(jī)支腿的ρa(bǔ)值一般小于0.6，因此，利用梅氏解估計(jì)混凝土鋪面板極限承載力約偏大5%～10%，破裂環(huán)出現(xiàn)位置偏差更大些，兩者之差超過1倍板相對剛度半徑.

考慮到開爾文函數(shù)不常用，且計(jì)算環(huán)狀裂縫位置b和該處彈性撓度wb不太簡便，為此對φE與ρa(bǔ)之間關(guān)系進(jìn)行回歸.當(dāng)ρa(bǔ)<8且誤差不足1%時(shí),回歸式為

(15)

若ρa(bǔ)值在0.09～0.70范圍內(nèi)，即滿足梅氏關(guān)于荷載圓半徑與環(huán)狀裂縫半徑(板撓度零點(diǎn)半徑)比的要求，板極限承載力Ps可直接對梅氏解除以1.08即可，其偏差不大于2%.

4結(jié)語

將圓形均布荷載下的文克勒地基上板出現(xiàn)環(huán)狀裂縫時(shí)的板劃分為二個(gè)區(qū)域，環(huán)狀裂縫內(nèi)側(cè)的中心屈服區(qū)采用剛塑性假設(shè)，即為倒圓錐形；環(huán)外區(qū)域采用線彈性假設(shè)，即為開孔無限大文克勒地基薄板的邊值問題，聯(lián)立上述兩個(gè)解，由板承載力最小化條件求得環(huán)狀裂縫出現(xiàn)位置，從而得到了板極限承載力的彈塑性解.對于有限尺寸圓板，出現(xiàn)環(huán)狀裂縫的圓板臨界相對半徑ρR約比出現(xiàn)環(huán)狀裂縫的相對位置ρb大1～2；大于臨界相對半徑的有限尺寸圓板極限承載力變化很小,可忽略.此解彌補(bǔ)了現(xiàn)有基于剛塑性理論的極限承載力解存在不能確定環(huán)狀裂縫出現(xiàn)位置的缺陷，使理論解更完備且具有良好的拓展性.

隨后，分析了彈塑性解的特征規(guī)律，并與剛塑性解進(jìn)行比較.分析比較結(jié)果表明，環(huán)狀裂縫出現(xiàn)在地基反力錐形區(qū)內(nèi)，其相對位置ρb的板撓度系數(shù)ξb在0.61～0.95范圍內(nèi)變化；梅依爾霍夫給出的環(huán)狀裂縫位置(3.9l)僅是a/b=0.615的特例，其解偏大且在ρa(bǔ)=2.925時(shí)發(fā)散，在ρa(bǔ)=0.09～0.70范圍時(shí)，梅氏解偏大6%～10%.最后，為簡便使用給出了彈塑性解的板極限承載力系數(shù)φE回歸式.

參考文獻(xiàn):

[1]Meyerhof G G. Load carrying capacity of concrete pavements[J]．Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1962, 88(2): 11.

[2]蔣大驊．關(guān)于混凝土地面的承載能力[J]．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，1980(1): 17．

JIANG Dahua. On the bearing capacity of concrete ground[J]. Journal of Tongji University, 1980(1): 17．

[3]Geoffrey Griffiths，Nick Thom. Concrete pavement design guidance notes[M]. New York: Routledge Press, 2007.

[5]葉又,劉效堯,吳長春.鋼纖維混凝土路面板極限承載力的有限元分析[J]．中國公路學(xué)報(bào)， 1997,10(2):11.

YE You, LIU Xiaoyao, WU Changchun. Analysia of load carrying capacity of steel fibre concrete pavement by FEM[J]. China Journal of Highway and Transport, 1997, 10(2):11.

Elastic-Plastic Solution to Ultimate Bearing Capacity of Plate on Winkler Foundation

TAN Zhiming, YAO Yao, GUO Jingjing

(Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：The plate on Winkler foundation with circumferential crack was divided into two areas under circular uniformly distributed load. Rigid-plastic hypothesis was used inside the circumferential crack and linear-elastic hypothesis was used outside it. Then, the elastic-plastic solution to ultimate bearing capacity of plate on Winkler foundation was given. Besides, the position of annular crack was found on the condition of minimal ultimate bearing capacity, which could compensate for the defects that the location of the annular cracks could not be solved using the existing rigid-plastic theory. It is more complete and has good expansibility. The result shows that the Meyerhof’s solution to ultimate bearing capacity of plate is larger and divergent when the relatively radius of circular uniformly distributed load is 2.925. The Meyerhof’s solution is 6% to 10% larger when the relatively radius of circular uniformly distributed load is between 0.09 and 0.7. Finally, a more convenient regression formula of ultimate bearing capacity of plate coefficient was proposed.

Key words：foundation plate; ultimate bearing capacity; rigid-plastic; elastic-plastic; concrete pavement; position of annular crack

收稿日期：2015-06-02

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51378394)

中圖分類號：TU313

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

第一作者： 談至明(1960—)，男，教授，博士生導(dǎo)師,工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)槁访婀こ?E-mail：13901779114@126.com