雙冪變換下參數(shù)的極大似然估計存在唯一性研究
——以線性回歸模型為例

丘　甜，華偉平，李新光，白　鵬

（1.武夷學院商學院，福建武夷山354300；2.武夷學院生態(tài)與工程學院，福建武夷山354300；3.云南財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院，云南昆明650221）

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雙冪變換下參數(shù)的極大似然估計存在唯一性研究
——以線性回歸模型為例

丘甜1，華偉平2，李新光1，白鵬3

（1.武夷學院商學院，福建武夷山354300；2.武夷學院生態(tài)與工程學院，福建武夷山354300；3.云南財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院，云南昆明650221）

摘要：在雙冪變換下，使用極大似然估計方法估計正態(tài)線性回歸模型中的變換參數(shù)，并研究其存在唯一性。根據(jù)極大似然函數(shù)性質(zhì)可知，0是其無條件駐點。模擬研究表明，極大似然估計的取值滿足存在唯一性，但模型中抽樣的隨機性會影響其取值是否為無條件駐點0。

關鍵詞：雙冪變換；存在唯一性；正態(tài)線性回歸模型；極大似然估計；模擬研究

目前，現(xiàn)代科學技術仍在快速發(fā)展中，同時統(tǒng)計分析相關理論也在不斷發(fā)展與完善，統(tǒng)計推斷已成為極為重要的分析方法之一。在考察可觀測隨機因變量Y和解釋變量X之間的關系時，經(jīng)常采用如下正態(tài)線性回歸模型［1-2］：

其中β∈Rp為回歸系數(shù)，ε為不可觀測隨機誤差向量。模型（1）實際上需要Y滿足Gauss-Markov條件［3］：Y～Nn（Xβ，σ2In）。若數(shù)據(jù)不滿足Gauss-Markov條件，則將對該數(shù)據(jù)進行某種“治療”。數(shù)據(jù)變換就是一種常用的處理有問題數(shù)據(jù)的辦法。

Box-Cox變換是至今為止研究的最為透徹的變換［4-5］。通過引入?yún)?shù)λ，可以使Y1（λ），Y2（λ），…，Yn（λ）來自一正態(tài)線性回歸模型，達到對原來數(shù)據(jù)的“綜合治理”。但注意到Box-Cox變換存在截斷問題，即當λ＜0時，Y（λ）在-1/λ處右截斷，而λ＞0時，Y（λ）在-1/λ處左截斷，只有在λ=0時，Y（λ）取值范圍是（-∞，+∞），從而認為Y經(jīng)過Box-Cox變換得到的Y（λ）是一組正態(tài)樣本是不正確的（除了λ=0這種情況）。

為了克服Box-Cox變換中的截斷問題，ZhenLin Yang［6-7］引入了雙冪變換：

當假定其來自正態(tài)線性回歸模型的正值觀測數(shù)據(jù)Y=（Y1，…，Yn）T經(jīng)雙冪變換變換為Y（λ）=（Y1（λ），…，Yn（λ））T，即滿足

其中Y是n×1維的觀測向量，X是n×p階的已知設計矩陣，β是p×1維的回歸系數(shù)向量，隨機誤差項ε是n×1維隨機誤差項，其需滿足E（εi）=0，Coν（εi，εj）= 0，i≠j，i，j=1，2，…，n且Var（ε）=σ2In，其中In是n維的單位矩陣，λ∈（-∞，+∞），β∈Rp，σ2＞0是未知參數(shù)。而在具體變換過程中，尋找合適的λ值很重要。顯然，Y（λ）=Y（-λ），對一切λ∈（-∞，+∞）成立，這意味著根據(jù)樣本Y=（Y1，…，Yn）T不能唯一確定模型（3）中的參數(shù)λ。為了消除這種不確定性，本文研究將λ限制在區(qū)間［0，+∞）內(nèi)。本文的目的在于探討模型中參數(shù)λ極大似然估計的存在唯一性，為雙冪變換的應用提供理論依據(jù)。

1 參數(shù)的極大似然估計

由模型（3）可得未知參數(shù)λ，β，σ2基于Y=（Y1，…，Yn）T的對數(shù)似然函數(shù)為：

其中J（Y，λ）表示變量Y（λ）=（Y1（λ），…，Yn（λ））T和Y=（Y1，…，Yn）T之間的變換Jacob行列式，其表達式為：

當λ≥0已知時，由式（4）利用熟知的正態(tài)線性回歸模型極大似然估計的結(jié)果可得知（β，σ2）的極大似然估計分別為：

其中PX=X（XTX）-1XT為一正交投影陣［8］。將式（6）代入式（4）中可得：

由此可知：

2 存在唯一性模擬研究

function func_dpt2（n，p，Lambda，Lambda，beta，sigma2，a，b，N） %畫出極大似然函數(shù)（λ|Y）與一階導數(shù)的散點圖。其中，n、p分別為樣本量及回歸系數(shù)β的維數(shù)，Lambda表示參數(shù)λ的真實值，Lambda是設計矩陣X進行奇異值分解中的Λ，Beta為β的真實值，Sigma2 是σ2的真實值，a、b是模擬圖像中λ的取值范圍，N代表畫出點的個數(shù)。

圖1 函數(shù)（λ|Y），λ≥0及其一階導數(shù)，λ≥0

圖2 函數(shù)（λ|Y），λ≥0及其一階導數(shù)，λ≥0

3 結(jié)論

雙冪變換下正態(tài)線性回歸模型中未知參數(shù)的估計常用極大似然估計法，本文通過研究極大似然函數(shù)的圖像性質(zhì)，得到了λ=0是對數(shù)似然函數(shù)（λ|Y），λ≥0的無條件駐點的結(jié)論，并通過大量模擬研究表明極大似然估計的取值滿足存在唯一性，但模型中抽樣的隨機性會影響其取值是否為無條件駐點0。由于造成此現(xiàn)象的機制較為復雜，不是本文工作能夠弄清的，只有留待以后細致的研究。

參考文獻：

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（責任編輯：葉麗娜）

An Existence and Uniqueness Study on Maximum Likelihood Estimation for Parameters under Dual Power Transformation——Taking Linear Regression ModeL as an exampLe

QIU Tian1，HUA Weiping2，LI Xinguang1，BAI Peng3

（1. SchooL of Business，Wuyi University，Wuyishan，F(xiàn)ujian 354300；2. SchooL of EcoLogy Resource Engineering，Wuyi University，Wuyishan，F(xiàn)ujian 354300；3. SchooL of Statistics and Mathematics，Yunnan University of Finance and Economics，Kunming，Yunnan 650221）

Abstract:Under duaL power transformation，the maximum LikeLihood estimation is used to estimate the parameters in normaL Linear regression modeL and then study the existence of uniqueness for the parameters. According to the properties of maximum LikeLihood function，0 is the unconditionaL stationary point. The simuLation study shows that the existence of uniqueness of the vaLue of maximum LikeLihood estimate is satisfied. However，the randomLy sampLing in modeL may affect whether the vaLue is unconditionaL stationary point.

Key words:duaL power transformation；existence of uniqueness；normaL Linear regression modeL；maximum LikeLihood estimate；simu-Lation study

中圖分類號：O213.9

文獻標識碼：A

文章編號：1674-2109（2016）03-0055-04

收稿日期：2015-09-20

基金項目：福建省自然科學基金項目（B0010019）；福建省社科項目（FJ2015C241）；福建省中青年教師教育科研項目（JAS150608）；?？蒲谢痦椖浚╔D201402）。

作者簡介：丘甜（1988-），女，漢族，助教，主要從事空間計量模型的統(tǒng)計推斷研究。

通訊作者：白鵬（1968-），男，漢族，教授，主要從事時間序列數(shù)據(jù)分析研究。