函數(shù)展開為階乘冪級(jí)數(shù)的方法

孫建新

(紹興文理學(xué)院　數(shù)學(xué)系，浙江　紹興312000)

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函數(shù)展開為階乘冪級(jí)數(shù)的方法

孫建新

(紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江紹興312000)

摘要：借鑒Taylor展開法與Stirling公式，給出一般初等函數(shù)展開為階乘冪級(jí)數(shù)的兩種方法：直接展開法與間接展開法.此外還探討了應(yīng)用這些方法的若干實(shí)例.

關(guān)鍵詞：Taylor展開；Stirling公式；階乘冪級(jí)數(shù)；直接展開法；間接展開法

引言

記x!k=x(x-1)…(x-k+1)，x!k=x(x+1)…(x+k-1)，x∈R,k∈Z+

前者稱為x的k階降序階乘冪，后者稱為x的k階升序的階乘冪[1].

一個(gè)無限可導(dǎo)的初等函數(shù)f(x)展開為普通冪級(jí)數(shù)的Taylor展開法，是指

(1)

這里所謂的Stirling公式，是指普通冪與階乘冪之間轉(zhuǎn)換公式：

(2)

(3)

其中S1(k, j)與S2(k, j)分別稱為第一類與第二類Stirling數(shù)[2].

Δ是向前差分算子[3]，定義為Δf(x)=f(x+1)-f((x)，且Δk+1f(x)=Δ(Δkf(x))；

類似于普通冪高階導(dǎo)數(shù)公式

Dk(xn)=n!kxn-k,kn.

(4)

對(duì)于兩類差分算子也有相應(yīng)的高階差分公式[3]：

(5)

(6)

其中規(guī)定x!0=x!0=1.

1直接展開法

所謂直接展開法，就是一次性確定級(jí)數(shù)每個(gè)系數(shù)的方法.其定理如下：

定理1函數(shù)f(x)的降序冪級(jí)數(shù)展開式必定存在，且有

(7)

注意到0!n-k=0(n>k),令前式中的x=0,即得

定理2函數(shù)f(x)的升序冪級(jí)數(shù)展開式必定存在，且有

(8)

注意到0!n-k=0(n>k),令前式中的x=0,即得

2間接展開法

所謂間接展開法，就是先將函數(shù)展開為普通冪級(jí)數(shù)，再利用Stirling公式⑶將普通冪轉(zhuǎn)化為階乘冪的方法.其定理如下：

定理3假設(shè)函數(shù)f(x)存在普通冪級(jí)數(shù)展開式

則必定存在f(x)的降序與升序的兩類階乘冪展開式，且有

(9)

代入前式即得.(證畢)

3函數(shù)展開為階乘冪級(jí)數(shù)的實(shí)例

下面舉若干實(shí)例來說明上述三個(gè)定理的應(yīng)用.

例3.1試將下面的函數(shù)f(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

解根據(jù)文獻(xiàn)4的Δax=ax(a-1)與ax=ax(1-a-1),易知：

(10)

(11)

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得bk=(a-1)k/k!.于是

(12)

利用定理2的公式⑻且取x=0,即得ck=(1-a-1)k/k!.于是

(13)

特別地，若在(12)式中取a=2,則有

(14)

特別地，若在(13)式中取a=2-1,則有

(15)

例3.2試將下面的函數(shù)f(x)與g(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

解對(duì)于f(x),由高階差分的定義可知：

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得

于是有

(16)

對(duì)于g(x),應(yīng)該考慮向后差分與升序階乘冪，即有

于是有

(17)

例3.3試將下面的函數(shù)f(x)與g(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

解對(duì)于f(x),由高階差分的定義可知：

利用定理1的公式⑺且取x=0,即得

于是有

(18)

對(duì)于g(x),應(yīng)該考慮向后差分與升序階乘冪，即有

于是有

(19)

例3.4試將下面的函數(shù)f(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

解試用兩種方法求解.

A)考慮用復(fù)指數(shù)函數(shù),其中i為虛數(shù)單位：

eix=cosx+isinx.

由公式⑺即得

于是

(20)

B)對(duì)cosx與sinx分別求高階差分，可得

(21)

利用定理1的公式⑺且取x=0,對(duì)于f(x)=cosx即得

(22)

對(duì)于g(x)=sinx即得

(23)

比較有(20)(22)(23)可得如下一組離散恒等式：

(24)

例3.5試將下面的函數(shù)f(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

解由(12)、(13)可得

則

于是

(25)

如果函數(shù)的高階差分比較復(fù)雜，而其普通冪級(jí)數(shù)可以找到時(shí)，應(yīng)該使用間接展開法.舉例如下：

例3.6試將下面的函數(shù)f(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

f(x)=arctanx.

于是由定理3的⑼式有

(26)

例3.7試將下面的函數(shù)f(x)展開為階乘冪級(jí)數(shù)：

f(x)=arcsinx.

于是由定理3的⑼式有

4混合型冪和的展開問題

下面考慮混合型離散和展開為統(tǒng)一階乘冪的問題.

所謂混合型離散和，是指和式中既含有普通冪又含有階乘冪，且階乘冪中既含有降序又含有升序的各種可能的冪和式.

混合型冪和的展開方法一般有兩種：或者先統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為降序形式，再求出各階差分的零點(diǎn)值，利用公式⑺展開為統(tǒng)一階乘冪之和；或者利用⑵式都轉(zhuǎn)化為普通冪之和，再由⑶式化為同一的階乘冪之和.

舉例如下.

例5試將下列混合和函數(shù)展開為統(tǒng)一的降序階乘冪之和：

f(x)=x!5+x!5+x5.

解法1f(x)=x!5+(x+4)!5+(x!5+10x!4+25x!3+15x!2+x)

Δf(x)=10x!4+5(x+4)!4+40x!3+75x!2+30x+1

Δ2f(x)=40x!3+20(x+4)!3+120x!2+150x+30

Δ3f(x)=120x!2+60(x+4)!2+240x+150

Δ4f(x)=240x+120(x+4)+240

Δ4f(x)=240x+120(x+4)

Δ5f(x)=240+120=360.

于是由定理1的公式⑺可得

f(x)=x!5+x!5+x5=∑bkx!k=3x!5+30x14+145x!3++255x!2+121x.

(27)

解法2f(x)=x!5+x!5+x5

=(x5-10x4+35x3-50x2+24x)+(x5+10x4+35x3+50x2+24x)+x5

=3x5+70x3+48x

=3(x!5+10x!4+25x!3+15x!2+x)+70(x!3+3x!2+x)+48x

=3x!5+30x!4+145x!3+255x!2+121x.

(28)

比較(27) (28)，可知兩種方法所得結(jié)果相同.

參考文獻(xiàn):

[1]孫建新.階乘冪多項(xiàng)式及其基本恒等式[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2004,24(7)：4-37.

[2]方開泰,有限差算子及其應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué),1984(4)：22-31.

[3]孫建新,胡金杰.階乘冪的差分算子及其逆[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào),2005，25(7)：22-25.

[4]孫建新.擬初等函數(shù)的差分性質(zhì)及其應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2015,35(9)：31-36.

(責(zé)任編輯魯越青)

Methods of FunctionExpanding into Factorial-Power Series

Sun Jianxin

(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang 312000)

Abstract：Inspired by Taylor’ expansion method and Stirling’ formula, we provide two methods for the generally elementary function to be expanded into factorial power series: direct method and indirect method. In addition, several examples about the application of these methods are discussed.

Key words：Taylor’ expansion method; Stirling’ formula; factorial power series; direct expansion method; indirect expansion method.

收稿日期：2015-12-31

作者簡(jiǎn)介：孫建新(1946-)，男，浙江紹興人，副教授，研究方向：離散數(shù)學(xué)與建模等.

doi：10.16169/j.issn.1008-293x.k.2016.07.06

中圖分類號(hào)：O15

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-293X(2016)07-0029-06