一類奇攝動三階擬線性邊值問題的漸近解

許　進(jìn)，　林樂義

(河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031)

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一類奇攝動三階擬線性邊值問題的漸近解

許進(jìn)，林樂義

(河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽馬鞍山243031)

[摘要]研究了一類具有邊界層性質(zhì)的三階擬線性奇攝動邊值問題.在適當(dāng)?shù)臈l件下，用合成展開法構(gòu)造出該問題的形式近似式，并應(yīng)用改進(jìn)的不動點(diǎn)定理證明了解的存在性及其漸近性質(zhì).

[關(guān)鍵詞]奇攝動； 邊值問題； 邊界層； 合成展開法； 不動點(diǎn)定理； 逆算子定理

1引言

奇攝動問題已成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)問題之一. 對奇攝動問題的研究不僅在理論上具有重要的意義，而且在流體力學(xué)和量子力學(xué)等自然科學(xué)的研究中也具有廣泛的應(yīng)用. 近年來，對微分方程的奇攝動邊值問題的研究已從二階方程跨越到三階方程甚至高階方程，并已取得顯著成果[1-8]. 文獻(xiàn)[9]應(yīng)用改進(jìn)的不動點(diǎn)定理在相對較弱的條件下，研究了二階擬線性方程奇攝動邊值問題的漸近解. 本文將在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用改進(jìn)的不動點(diǎn)定理進(jìn)一步研究三階擬線性方程奇攝動邊值問題的漸近解.

考察如下形式的三階擬線性Dirichlet問題：

εy?+f(t,y)y″+g(t,y)y′+h(t,y)=0,0

(1)

y(0,ε)=A,y(1,ε)=B,y′(1,ε)=C,

(2)

其中0<ε?1,A,B,C均為常數(shù). 并作如下假設(shè)：

[H1] f,g,h在[0,1]×R上連續(xù)可微;

[H2] 退化問題

f(t,u)u″+g(t,u)u′+h(t,u)=0,u(1)=B,u′(1)=C

在[0,1]上有一個解u0(t)，且在[0,1]上f(t,u0(t))>0;

[H3] 存在K>0,使對介于A和u0(0)之間的任意y,都有f(0,y)≥K.

2主要引理

引理1[10](不動點(diǎn)定理)設(shè)(N,‖·‖1)是賦范線性空間，(B,‖·‖)是Banach空間，F(xiàn)是N到B的非線性映射，F(xiàn)[0]=0，且F可分解為

F[p]=L[p]+Ψ[p],p∈,

其中L是F在p=0的線性化算子，L和Ψ滿足如下兩個條件：

(i) L是雙射，其逆L-1連續(xù)，即存在常數(shù)l>0使

‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖≤m(ρ)‖p2-p1‖1,?p1,p2∈ΩN(ρ),

引理2[11](逆算子定理)設(shè)X和Y都是Banach空間，如果L是從X到Y(jié)上的一對一有界線性算子，則L的逆算子L-1也是有界線性算子.

3構(gòu)造形式近似式

由假設(shè)[H2]可知：邊界層出現(xiàn)在左邊.

采用合成展開法[12]，先將外部解

代入(1)及y(1,ε)=B, y′(1,ε)=C,其中

f(t,U)=f(t,u0)+fy(t,u0+θ1(U-u0))(U-u0)(0<θ1<1),

g(t,U)=g(t,u0)+gy(t,u0+θ2(U-u0))(U-u0)(0<θ2<1),

h(t,U)=h(t,u0)+hy(t,u0+θ3(U-u0))(U-u0)(0<θ3<1),

并比較等式兩邊ε0的系數(shù)得到

f(t,u0)u″0+g(t,u0)u′0+h(t,u0)=0,u0(1)=B,u′(1)=C.

再由假設(shè)[H2]可知，它在[0,1]上有一個解u0(t).

再將U(t,ε)+V(ξ,ε)代入(1)可得

+ε2[g(ξ ε,U+V)-f(ξ ε,U)]U′+ε2[h(ξ ε,U+V)-h(ξ ε,U)]=0

或

+ε[fy(ξ ε,U+θ4V)U″+gy(ξ ε,U+θ5V)+hy(ξ ε,U+θ6V)]V=0,

(3)

式中fy(ξ ε,U+θ4V), gy(ξ ε,U+θ5V), hy(ξ ε,U+θ6V)分別寫為

fy(ξ ε,U+θ4V)=fy(0,u0(0)+θ4v0)+fyt(0,u0(0)+θ4v0)ξ ε

(4)

gy(ξ ε,U+θ5V)=gy(0,u0(0)+θ5v0)+gyt(0,u0(0)+θ5v0)ξ ε

(5)

hy(ξ ε,U+θ6V)=hy(0,u0(0)+θ6v0)+hyt(0,u0(0)+θ6v0)ξ ε

(6)

將(4)-(6)代入(3)，并比較等式兩邊ε0的系數(shù)可得

(7)

而由U(0,ε)+V(0,ε)=A可得

v0(0)=A-u0(0),

(8)

且v0(ξ)應(yīng)滿足

(9)

滿足(7)-(9)的解v0(ξ)可隱式地表示為

由假設(shè)[H3]可知：當(dāng)ξ→+∞時, v0(ξ)是指數(shù)型小項(xiàng), 即

v0(ξ)=O(exp(-Kξ))，ξ→+∞.

(10)

4解的存在性及漸近性質(zhì)

應(yīng)用引理來證明解的存在性，并給出解的漸近估計. 令

(11)

將(11)代入(1)-(2)可得

(12)

(13)

且由(10)可知：當(dāng)ε→0時，R(1,ε)為指數(shù)型小項(xiàng).

再令

其中φ(t)∈C2[0,1]且滿足

于是有

現(xiàn)在定義N→B的映射F：

則B是一個Banach空間，而N是Banach空間的一個閉線性子空間，故也是一個Banach空間. 顯然，F(xiàn)[0]=0，且F在p=0的線性化算子為

于是

檢驗(yàn)引理1中的兩個條件. 注意到L[p]=0的兩個線性無關(guān)的解可表示為

p1(t,ε)=φ(t,ε),

其中當(dāng)ε→0時，

由于當(dāng)ε>0時，

故對?q∈B,邊值問題L[p]=q,p(0,ε)=p(1,ε)=0有唯一解. 因此L是雙射. 又因?yàn)?/p>

=M‖p‖1,

引理1中的條件(i)成立.

任取p1,p2∈ΩN(ρ)(0<ρ<1),有

‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖

故存在常數(shù)c>0，使

‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖≤cρ‖p2-p1‖1.

即引理1中的條件(ii)也成立，其中m(ρ)=cρ. 易知

綜上所述，可得到如下定理：

定理在[H1]-[H3]的假設(shè)下，對充分小的ε>0，問題(1)-(2)存在解y(t,ε)，且當(dāng)ε→0時在[0,1]上一致地有

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Asymptotic Solution of Singularly Perturbed Boundary Value Problem for the Third Order Quasilinear Equation

XUJin,LINLe-yi

(Department of Basic Course, Wentian College of Hohai University, Maanshan Anhui 243031, China)

Abstract:A class of the third-order quasilinear singularly perturbed boundary value problem with boundary layer properties is studied. Under the appropriate conditions, the formal approximation of the problem is constructed by using the method of composite expansions, and the existence and asymptotic behavior of the solution are proved by the improvement of the fixed point theorem.

Key words:singularly perturbation; boundary value problem; the boundary layer; the method of composite expansions; the fixed point theorem; the inverse operator theorem

[收稿日期]2015-11-10

[基金項(xiàng)目]河海大學(xué)文天學(xué)院校級自然科學(xué)課題(WT15007)

[作者簡介]許進(jìn)(1984-)，男，碩士研究生，助教，從事應(yīng)用微分方程方向的研究.Email:privatemyye@163.com

[中圖分類號]O175.14

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2016)02-0012-05