多指標(biāo)約束下齒輪傳動機(jī)構(gòu)模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計

胡啟國，謝國賓，羅天洪,庹　奎

多指標(biāo)約束下齒輪傳動機(jī)構(gòu)模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計

胡啟國，謝國賓，羅天洪,庹奎

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與汽車工程學(xué)院，重慶 400074)

摘要：針對齒輪傳動的優(yōu)化設(shè)計問題，以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，運用可靠性優(yōu)化設(shè)計理論，將膜厚比、臨界轉(zhuǎn)速比納入約束條件，考慮齒輪應(yīng)力及強(qiáng)度的概率分布，建立了泥漿泵齒輪傳動機(jī)構(gòu)的模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，并通過運用Matlab遺傳算法工具箱編程求解，得出全局最優(yōu)解.結(jié)果顯示，齒輪傳動的綜合性能得到有效改善，并證明了優(yōu)化方法的正確性與合理性，為齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計提供了新的參考.

關(guān)鍵詞：齒輪傳動；多指標(biāo)約束；模糊可靠性；優(yōu)化設(shè)計

0引言

隨著齒輪傳動機(jī)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，齒輪的潤滑問題也日益引起人們的關(guān)注. 美國齒輪制造者協(xié)會(AGMA)曾建議把彈流油膜厚度計算作為齒輪設(shè)計的一個重要部分[1]. 也正因如此，潤滑膜厚度被認(rèn)為是齒輪傳動設(shè)計評價的指標(biāo)之一[2]，所以，為提高齒輪傳動的抗膠合能力和潤滑性能，將膜厚比作為約束條件是有必要的.

基于振動理論，齒輪動力學(xué)中提出了關(guān)于臨界轉(zhuǎn)速比的計算公式，可以將此公式直接引入到優(yōu)化設(shè)計約束條件中，這樣，所建立的靜態(tài)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型就隱含了一些動態(tài)性能指標(biāo)[3].

在機(jī)械設(shè)計領(lǐng)域中出現(xiàn)的眾多現(xiàn)代設(shè)計方法中，可靠性優(yōu)化設(shè)計方法的發(fā)展給整個機(jī)械設(shè)計學(xué)科帶來了深刻的影響，該方法的應(yīng)用取得了良好的效果[4-6]. 根據(jù)國內(nèi)外對齒輪的相關(guān)實驗結(jié)果及對齒面強(qiáng)度和應(yīng)力的研究分析[7-8]，筆者將圓柱齒輪應(yīng)力及強(qiáng)度按對數(shù)正態(tài)分布計算，弧線圓錐齒輪應(yīng)力及強(qiáng)度按正態(tài)分布計算.

筆者以泥漿泵齒輪傳動機(jī)構(gòu)設(shè)計為例，在靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計中引入部分動態(tài)性能指標(biāo)，同時考慮潤滑油膜厚度的影響，針對存在的模糊因素，運用模糊可靠性優(yōu)化理論，以尋求最優(yōu)的設(shè)計參數(shù)為宗旨，建立單目標(biāo)模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型.

1可靠性優(yōu)化設(shè)計建模

1.1建立目標(biāo)函數(shù)

泥漿泵齒輪傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示. 第一級傳動為弧線圓錐齒輪副，兩齒輪軸軸交角∑=90°；第二級傳動為斜齒圓柱齒輪副；第三級傳動為直齒圓柱齒輪副.

圖1　泥漿泵齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

為使整個系統(tǒng)重量較輕，達(dá)到齒輪傳動結(jié)構(gòu)最緊湊的目的，應(yīng)使齒輪傳動機(jī)構(gòu)的總體積最小. 筆者以6個齒輪的體積之和最小作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù).

根據(jù)圓錐齒輪副的正確嚙合條件及各參數(shù)之間的計算關(guān)系，并以m1、β1、Z1、i1、φR分別代表圓錐齒輪大端模數(shù)、名義螺旋角、小錐齒輪齒數(shù)、傳動比和齒寬系數(shù)，可得圓錐齒輪副的體積為

式中：δ1、δ2分別為兩錐齒輪的節(jié)錐角；cos (0.5β1)是考慮到該齒輪為弧線錐齒輪而引入的，加入此項，使螺旋角β1對目標(biāo)函數(shù)有所影響，能滿足優(yōu)化計算的需要.

(2)

式中:φd2、φd3分別為第二、三級傳動中齒輪副的齒寬系數(shù)；i2、i3分別為第二、三級傳動的傳動比；Z3、Z4、Z5、Z6分別為第3、4、5、6號齒輪的齒數(shù)；mn2為第二級傳動中齒輪副的法面模數(shù)；m3為第三級傳動中齒輪副的模數(shù)；β2為第二級傳動中齒輪副的螺旋角.

由式(1)、(2)可得該齒輪傳動機(jī)構(gòu)的總體積，即模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)為：

(3)

1.2確定設(shè)計變量

設(shè)計變量的選取應(yīng)結(jié)合目標(biāo)函數(shù)，同時必須考察這種參數(shù)是否能夠控制，變量之間是否相互獨立.

由式(3)可知，式中所包含的參數(shù)都能對齒輪的體積造成影響，且均為錐齒輪或圓柱齒輪的設(shè)計參數(shù)，相互獨立，故取設(shè)計變量為：

1.3建立約束條件

1.3.1接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度可靠度約束

根據(jù)設(shè)計要求，接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度的可靠度需不小于0.999，即：

(4a)

(4b)

由應(yīng)力-強(qiáng)度正態(tài)分布的干涉模型可知，可靠度R與可靠度系數(shù)ZR有一一對應(yīng)的關(guān)系，故式(4)亦可表示為：

(5a)

(5b)

根據(jù)應(yīng)力及強(qiáng)度分布規(guī)律，可分別得出圓錐齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度可靠度系數(shù)：

(6a)

(6b)

圓柱齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度和彎曲疲勞強(qiáng)度可靠度系數(shù)：

(7a)

(7b)

1.3.2齒輪傳動節(jié)點處膜厚比約束

研究表明，基于Dowson-Higginson公式計算的油膜厚度的結(jié)果同實驗測量值非常接近[1]. 根據(jù)Dowson-Higginson公式，線接觸問題的最小油膜厚度hmin為hmin=2.65α0.54(ηoU)0.7R0.48E′-0.03(F/L)-0.13.

(8)

式中:α為潤滑油黏壓系數(shù)，m2/N；ηo為潤滑油常壓下的黏度，Pa·s；U為接觸點處潤滑油卷吸速度，m/s；E′為當(dāng)量彈性模量，N/m2；R為齒輪嚙合點的當(dāng)量曲率半徑，m；F/L為單位接觸寬度上的載荷，N/m. 查閱參考文獻(xiàn)[9]可得式(8)中參量的計算方法.

根據(jù)摩擦學(xué)知識，可以用膜厚比λ來大致估計兩滑動表面所處的摩擦(潤滑)狀況，其大小不僅取決于最小油膜厚度，還與滑動表面的形貌輪廓有關(guān)，膜厚比公式為

(9)

式中:Rq1、Rq2分別為兩接觸齒面形貌輪廓的均方根偏差，μm. 潤滑理論方面的專家Akbarzadeh曾指出：當(dāng)λ介于1和3之間時，兩齒面處于混合摩擦(潤滑)狀態(tài)，齒面間磨損緩慢；當(dāng)λ大于3時，兩齒面處于流體摩擦(潤滑)狀態(tài)，為理想狀態(tài)，齒面通常不會發(fā)生磨損和膠合[10]. Nogueira在分析齒輪損傷與油膜參數(shù)的關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)λ大于1.5時，齒輪處于正常工作狀態(tài)(非邊界潤滑狀態(tài))[11]. 結(jié)合齒輪傳動系統(tǒng)工作的實際情況，取膜厚比1.5<λ<3.0，則齒輪傳動節(jié)點處膜厚比約束為

1.53.

(10)

1.3.3動態(tài)性能約束

對于大多數(shù)工業(yè)齒輪，都是工作在亞臨界區(qū). 國標(biāo)中規(guī)定，當(dāng)臨界轉(zhuǎn)速比N≤0.85時，定義為亞臨界區(qū).故得到臨界轉(zhuǎn)速比的約束條件為

(11)

式中：Nc為允許臨界轉(zhuǎn)速比，Nc=0.85；N為臨界轉(zhuǎn)速比，N=n1/nE1，n1代表小齒輪轉(zhuǎn)速，nE1表示臨界轉(zhuǎn)速.

1.3.4設(shè)計變量的邊界約束條件

(1)齒輪模數(shù)的約束.

考慮到齒輪傳動機(jī)構(gòu)隨著速度的降低，各級齒輪所受圓周力將逐級增大的特性，同時結(jié)合設(shè)計經(jīng)驗，應(yīng)使各級模數(shù)符合遞增的原則，所以有：

m1-mn2≤0，mn2-m3≤0.

(2)小齒輪齒數(shù)的約束.

(3)螺旋角的約束.

(4)傳動比的約束.

(5)齒寬系數(shù)的約束.

1.3.5結(jié)構(gòu)約束條件

為避免齒輪5與錐齒輪2發(fā)生碰撞，取最小間隙Δ=5 mm，得到：

(12)

式中：da2為齒輪2的大端直徑；da5為齒輪5的齒頂圓直徑；a34為齒輪3和4的中心距.

2模糊約束條件轉(zhuǎn)化為普通約束

2.1模糊約束的轉(zhuǎn)換

(13)

式中:λ*表示最優(yōu)水平截集值，可以運用模糊綜合評判法求出其值.

對設(shè)計變量的邊界約束和膜厚比約束，采用線性隸屬函數(shù)中的對稱梯形分布；對結(jié)構(gòu)約束、可靠度約束，采用升半梯形分布；對動態(tài)性能約束，采用降半梯形分布.

2.2最優(yōu)水平截集值的求解

2.2.1因素集的建立

針對泥漿泵齒輪傳動系統(tǒng)，找出對其性能的主要影響因素，按每一因素影響的不同分為5個等級如表1所示， 因素集為：

U=(u1,u2,…,u6).

2.2.2備擇集的建立

把評判者對評判對象截集水平做出的各種評判結(jié)果作為一個集合，此集合由12個離散值組成，且λ∈[0，1]，其備擇集為：

2.2.3權(quán)重集的建立

1)因素等級的權(quán)重集.表1中，uij表示第i個因素的第j個等級對該因素的隸屬度. 將uij歸一化，即可得第j個因素等級的權(quán)重aij，由此可得第i個因素等級的權(quán)重集為：

2)因素的權(quán)重集.根據(jù)各個因素對評判對象的影響，賦予各個因素相應(yīng)的權(quán)重，確定因素權(quán)重集為

2.2.4建立因素等級評判矩陣

根據(jù)各個因素等級對備擇集中第k(k=1, 2,…,12)個元素的隸屬度，建立各因素的各個等級對備擇集中各元素的單因素評價，得到等級評判矩陣.

2.2.5模糊綜合評判

采用M(·,+)算子，可得一級模糊綜合評判集為：

綜合考慮各因素的影響，由模糊變換得二級模糊綜合評判集：

2.2.6評定指標(biāo)的處理

采用加權(quán)平均法，將bj看作權(quán)數(shù)，對各備擇元素λj進(jìn)行加權(quán)平均，所得值作為評判結(jié)果，即

計算得最優(yōu)水平截集λ*= 0.594 5. 將λ*= 0.594 5帶入到在2.1中轉(zhuǎn)化后的普通約束條件中，即可與式(3)組成模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型. 該模型由1個目標(biāo)函數(shù)、13個自變量、24個線性不等式約束和16個非線性不等式約束組成.

3應(yīng)用實例

已知泥漿泵齒輪傳動機(jī)構(gòu)的傳遞功率為P=740 kW，輸入軸轉(zhuǎn)速n1=1 800 r/min，總傳動比i=13.85，弧線圓錐齒輪材料為20CrMnTi，滲碳淬火，齒面硬度為58～65 HRC. 圓柱齒輪大齒輪材料為45號鋼，正火處理，硬度為220～260 HBW；圓柱齒輪小齒輪材料為45號鋼，調(diào)質(zhì)處理，硬度為230～300 HBW.

基于遺傳算法良好的可操作性及較高的并行全局搜索能力，筆者選用MATLAB R2010b中的GADS遺傳算法工具箱進(jìn)行求解. 對齒輪的齒數(shù)、模數(shù)這些離散型變量先將其當(dāng)做連續(xù)變量求解，然后把求出的解圓整或湊整到相近的離散值.

根據(jù)第2節(jié)中所建立的優(yōu)化模型，編寫MATALB遺傳函數(shù)程序進(jìn)行求解，經(jīng)過50代繁殖取得最優(yōu)，最優(yōu)適應(yīng)度值如圖2所示.

圖2　最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值

結(jié)合實際情況，對相應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，圓整后得到的結(jié)果與原設(shè)計參數(shù)的對比如表2所示.

表2　設(shè)計參數(shù)的對比

經(jīng)過圓整后齒輪傳動機(jī)構(gòu)的總體積為7.688 3×107mm3，相較原設(shè)計體積8.969 0×107mm3減少了14.27%，達(dá)到了減小體積、節(jié)省材料的目的.

根據(jù)該機(jī)構(gòu)的使用期限及疲勞強(qiáng)度壽命系數(shù)公式，結(jié)合式(6)編程可計算出可靠度與時間的變化關(guān)系，與優(yōu)化前的對比結(jié)果如表3所示.

表3　接觸強(qiáng)度可靠度的對比

注：0.99表示在小數(shù)點后有9個9.

從表3中可以看出，優(yōu)化前的數(shù)據(jù)10 a后其可靠度最低的仍能達(dá)到0.946115，這很顯然造成了材料的浪費. 而按筆者的設(shè)計方法所得到的齒輪傳動的可靠度值相較之前雖略有降低，但在10 a的壽命期限內(nèi)均能達(dá)到所要求的可靠度為0.999，仍在要求范圍內(nèi)，剛好滿足設(shè)計使用期限，實現(xiàn)零部件的合理利用. 按照同樣的方法可得到齒輪彎曲強(qiáng)度可靠度與時間的對應(yīng)關(guān)系，經(jīng)過驗證，具有與接觸強(qiáng)度可靠度一致的效果，在此就不贅述.

表4為優(yōu)化前后膜厚比的對比，由表4可以看出，三級傳動中的膜厚比具有不同程度的增加，對于弧線圓錐齒輪，位于高速級，承受扭矩較小，且其結(jié)構(gòu)形式導(dǎo)致其承受復(fù)雜的載荷，使其潤滑要求也相應(yīng)較高，但在此膜厚比僅略有降低，均在要求范圍內(nèi)，因此不影響筆者分析結(jié)果.對于直齒圓柱齒輪，其位于低速級，且承受較大扭矩，潤滑油膜較易遭到破壞，對其良好潤滑極其重要，所以較高的膜厚比能夠保證其有良好的潤滑.

表4　膜厚比對比

表5為優(yōu)化前后動態(tài)性能的對比，由表5可以看出,3組齒輪的臨界轉(zhuǎn)速比均小于允許臨界轉(zhuǎn)速比，均工作在亞臨界區(qū)，滿足優(yōu)化設(shè)計的要求，且其臨界轉(zhuǎn)速比略有降低，有利于降低動載荷.

表5　動態(tài)性能對比

4 結(jié)論

1)以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，結(jié)合可靠性優(yōu)化設(shè)計理論，建立了模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，求解結(jié)果使齒輪機(jī)構(gòu)總體積減少，可見其優(yōu)化方法的正確性、合理性.

2)綜合考慮齒輪的可靠度、膜厚比、動態(tài)性能，建立了符合實際的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，最終結(jié)果使得其綜合性能得到改善，證明了此優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的正確性.

3)對于本文中復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，運用MATLAB遺傳算法工具箱能夠快速準(zhǔn)確地求解，可見該算法簡單高效，具有較好的空間適應(yīng)能力和全局搜索性能.

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Fuzzy Reliability Optimization Design of Gear Transmission Mechanism under Multi-specification Restriction

HU Qiguo，XIE Guobin，LUO Tianhong，TUO Kui

(College of Mechatronics and Automotive Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074, China)

Abstract:In view of the problem of the gear transmission optimization design, based on the integration of fuzzy mathematics and reliability optimization design theory, a mathematic model of reliability optimization design of the mud-pump gear transmission mechanism was built with its stress and intensity obeyed certain probability distributions, when the film thickness ratio and critical speeds ratio ware put into constraint. The global optimization result was found by using GA toolbox in Matlab. The optimal results show that the comprehensive performance of the gear transmission is improved efficiently, and the correctness and applicability of that optimization method is proved, hence it provides a new reference for the gear transmission optimization design.

Key words:gear transmission; multi-specification restriction; fuzzy reliability; optimization design

收稿日期:2015-03-20；

修訂日期：2015-05-10

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51375519)；重慶交通大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目(20130109)

作者簡介:胡啟國(1968—)，男，重慶人，重慶交通大學(xué)教授，博士，主要從事機(jī)械可靠性及機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)的研究，E-mail：swpihqg@126.com.

文章編號:1671-6833(2016)01-0034-06

中圖分類號：TH132.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.3969/j.issn.1671-6833.201504038

引用本文:胡啟國，謝國賓，羅天洪,等.多指標(biāo)約束下齒輪傳動機(jī)構(gòu)模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2016，37(1)：34-39.