數(shù)形結合，提升解題策略

林雅聞

解析幾何的核心思想就是數(shù)形結合.利用平面直角坐標系，幾何對象、幾何概念可以表示為代數(shù)形式，幾何目標可以通過代數(shù)運算、化簡得到；反過來，數(shù)、式可以借用幾何直觀解釋，啟發(fā)人們得出新的結論.面對學生在解析幾何學習過程中普遍感到繁、難的現(xiàn)狀，不妨充分發(fā)揮數(shù)形結合思想方法的作用.

1.問題呈現(xiàn)

高二學生學完橢圓、雙曲線后的一次統(tǒng)練中有一道題，題目如下：

（1）求這個橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上有一點C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線l的斜率.

此題是常規(guī)題，考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查數(shù)形結合思想、分類討論思想，考查學生分析問題、解決問題的能力，屬中檔題.第二小題解題思路清晰，利用平行四邊形對角線平分的性質(zhì)，用直線l的斜率表示出點C的坐標，代入橢圓方程即可.然而學生解決這類問題的水平遠低于教學期望.

2.學情分析

學生剛學了用代數(shù)的方法解決幾何問題，解題還處在模仿階段.若思路不清，則只會機械地聯(lián)立方程組、運用韋達定理，造成“只見樹木，不見森林”的結果.本題只能用順推法解題，方向單一.學生知識體系不夠強大，沒有解題的大局觀，找不到未知與已知之間的聯(lián)系，所以造成無從下手、解題受阻的現(xiàn)象.

3.講評實錄

3.1數(shù)形結合、重轉(zhuǎn)化

師：誰來講講自己在考場上的解題思路？

生1：我只知道把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組，寫出韋達定理，然后一點思路都沒了.

生2：設而不求！因為|OA|=|BC|，我就算這兩個長度，結果花了20多分鐘，唉！

師：第2小題的條件是什么？問題是什么？

生3：條件是四邊形AOBC是平行四邊形，問題是求直線的斜率.

師：條件只提供了“形”方面的定性描述，所求的是斜率這個數(shù)量.平行四邊形有哪些性質(zhì)，能不能把條件中的“形”，用“數(shù)”的形式表示出來？

4.教學反思

4.1滲透數(shù)形結合，提升解題策略

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結合，該思想方法的實質(zhì)就是通過對同一數(shù)學對象進行代數(shù)釋意與幾何釋意的互補，實現(xiàn)“形”與“數(shù)”的語義轉(zhuǎn)換.將“數(shù)”解釋為“形”，利用“形”的知識解決“數(shù)”的問題，即“以形助數(shù)”；將“形”解釋為“數(shù)”，利用“數(shù)”的知識解決“形”的問題，即“以數(shù)助形”.其中“以數(shù)助形”是解決解析幾何綜合題的常用方法，在運用過程中需遵循三個原則：等價性原則、數(shù)形互補原則、求解簡單化原則.

在圓錐曲線教學過程中，教師應有計劃、有步驟地進行數(shù)形結合思想方法的教學.學生的問題在統(tǒng)練中充分暴露的時候是滲透思想方法教學的最佳契機.教師引導學生分析問題、解決問題，明確運用數(shù)形結合思想的三個原則，并且正面地、直截了當?shù)攸c明數(shù)形結合解決問題的要領，激發(fā)學生學習圓錐曲線的積極性，感悟到數(shù)學方法的魅力.

4.2解題教學注重過程

解題的目的不是只為了得到答案，而是要讓學生從中學到知識，促進基本技能的掌握.所以解題教學不是對題型、套解法，因引導學充分暴露自己的思維過程，并加以優(yōu)化，讓學生自己解決問題、得出結論.教師在進行教學設計時，先考慮：怎樣才能想到這些解答方法？是什么促使學生想出這樣的解答方法？在教學過程中做到有的放矢，揭示解法“來龍去脈”，總結提煉出解決問題的方法策略，使枯燥的習題講解變得生動具體、豐滿充實，使學生知其然更知其所以然.

參考文獻：

[1]錢珮玲，邵光華.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學[M].北京師范大學出版社，1997：50.