美式期權(quán)有限差分定價(jià)方法綜述

丁露濤

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美式期權(quán)有限差分定價(jià)方法綜述

丁露濤

摘要：本文針對(duì)不支付紅利的美式看跌期權(quán)定價(jià)，介紹了基于B-S模型的美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，基礎(chǔ)闡述顯隱式及高精度的高階有限差分方法，對(duì)美式期權(quán)定價(jià)B-S模型的發(fā)展進(jìn)行了綜述，最后，總結(jié)了各種方法的特點(diǎn)和效果。

關(guān)鍵詞：綜述；美式期權(quán)定價(jià)；B-S模型；有限差分方法

一、引言

期權(quán)是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定費(fèi)用為代價(jià)獲得的一種權(quán)力，這種權(quán)力賦予期權(quán)持有人在將來(lái)的某一時(shí)刻按照規(guī)定的價(jià)格買(mǎi)賣(mài)合約指定的基礎(chǔ)資產(chǎn)。期權(quán)已成為最具活力的金融衍生產(chǎn)品，得到迅速發(fā)展和廣泛利用。

布萊克和斯科爾斯[1]給出不支付紅利下的歐式期權(quán)的定價(jià)公式重要論文，同年，莫頓[2]可以用來(lái)對(duì)支付已知紅利的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，奠定了期權(quán)定價(jià)理論基礎(chǔ)。后來(lái)，各類(lèi)學(xué)者在B-S模型基礎(chǔ)上做出了大量的理論研究與數(shù)值方法探討。本文主要針對(duì)不支付紅利的美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，進(jìn)行各種有限差分方法的綜述，首先，介紹了基于B-S模型的美式期權(quán)的定價(jià)模型，然后，基礎(chǔ)闡述顯式、更高精度的高階有限差分方法，最后,對(duì)各種方法的特點(diǎn)和效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

二、美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的模型

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

布萊克和斯科爾斯推導(dǎo)出不支付紅利下歐式期權(quán)價(jià)格滿足著名的B-S方程，進(jìn)而得到歐式期權(quán)的解析式，基本假設(shè)有：

2、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)，

3、不支付利息，

4、不支付交易費(fèi)和稅收，

5、不存在套利機(jī)會(huì)。

基本思想是形成一個(gè)投資組合，包含衍生資產(chǎn)和原生資產(chǎn)，由于無(wú)套利原理，該組合的收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，于是得到刻畫(huà)期權(quán)價(jià)格-V(S,t)變化的偏微分方程—B-S方程：

歐式期權(quán)的解析解定價(jià)在實(shí)際應(yīng)用中意義不大，但作為各種數(shù)值定價(jià)方法的一個(gè)標(biāo)桿，對(duì)于學(xué)者研究以及實(shí)際金融市場(chǎng)上衍生物的定價(jià)是頗具意義的。

(二)美式看跌期權(quán)自由邊界定價(jià)模型

美式期權(quán)定價(jià)模型一般有三種：自由邊界問(wèn)題，線性互補(bǔ)模型，變分不等式模型，本文主要介紹引用文獻(xiàn)中的自由邊界問(wèn)題定價(jià)模型。

Gutachter[3]提到美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題是一個(gè)自由邊界定價(jià)問(wèn)題，需要確定的最優(yōu)執(zhí)行邊界，把區(qū)域分為繼續(xù)持有區(qū)域和終止持有區(qū)域，在前者美式期權(quán)的價(jià)值等于歐式期權(quán)價(jià)值，在后者等于支付方程，顯然，對(duì)每個(gè)美式期權(quán)持有者來(lái)說(shuō)，需要知道曲線的位置，以便制訂出最佳的實(shí)施方案。對(duì)于未知的美式期權(quán)定價(jià)，有限差分方法是比較有效果的。

三、直接有限差分方法

美式看跌期權(quán)的有限差分，首先是進(jìn)行網(wǎng)格劃分，S區(qū)域截?cái)啵缓?，低階有限差分方法是將B-S方程通過(guò)前向差分、后向差分以及中心差分的格式轉(zhuǎn)化為一系列差分方程后，通過(guò)迭代法求解，它的思想與二叉樹(shù)方法基本相似，既能用于歐式期權(quán)又能用于美式期權(quán)。

(一)顯式有限差分方法[4]

在(Si,tj+1)點(diǎn)的差分格式，得到：

由終值進(jìn)行反向歸納過(guò)程，逐步求出美式期權(quán)的期權(quán)金。由于這個(gè)算法不需要求解代數(shù)方程組，因此它是一個(gè)顯性差分格式。

(二)隱式有限差分方法[5]

在(Si,tj)點(diǎn)的差分格式，得到：

這個(gè)算法類(lèi)似于顯式格式的基本思想，但是這里要求求解一個(gè)線性代數(shù)方程組，所以稱(chēng)為隱式差分格式。

四、高階有限差分方法

有限差分方法的直接法，在時(shí)間和空間上最多具有二階精度，不一定有精確解，在Tangman等人的研究[6]中，提出了高階緊致有限差分方法，利用更多的點(diǎn)得到更高的精度。具體如下：B-S模型可以寫(xiě)為如下一般擬線性拋物線方程：

左邊采用半隱式差分方法，右邊采用Crandall離散差分方法得到：

其中：

利用mathmatic可以得到一個(gè)三對(duì)角矩陣線性方程組，從而迭代得到最后的期權(quán)價(jià)值，這里的邊界條件和初始條件均不變。

五、結(jié)論

對(duì)于美式看跌期權(quán)的定價(jià)，各種文獻(xiàn)的數(shù)值仿真過(guò)程與結(jié)果證明：

在最基礎(chǔ)的B-S模型上，流行的有限差分直接方法簡(jiǎn)單易操作，顯式差分方法最易，但與隱式差分格式相比穩(wěn)定性較弱，CN介于顯隱式之間比二者效果好，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求低，這些方法都有一個(gè)共同的弱點(diǎn)，在時(shí)間和空間上的點(diǎn)數(shù)過(guò)少，最多只能達(dá)到二階精度，最優(yōu)執(zhí)行邊界不夠平滑。高階有限差分利用更多的點(diǎn)得到空間和時(shí)間上的四階精度，操作比較復(fù)雜，必須用到mathmatic進(jìn)行符號(hào)計(jì)算，對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求更高，對(duì)方法使用人的要求自然也高。

有關(guān)美式期權(quán)定價(jià)有限差分方法的研究還在不斷的探討和發(fā)展，因?yàn)閺睦碚撋现v期權(quán)發(fā)展是無(wú)止境的,從實(shí)際上講期權(quán)是復(fù)雜多變和應(yīng)用廣泛的,因此,研究探討美式期權(quán)定價(jià)有限差分方法的優(yōu)缺點(diǎn),對(duì)于深入研究復(fù)雜期權(quán)的定價(jià)有重要意義。(作者單位：廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院)

參考文獻(xiàn)：

[1]Fisher B,Myron S.The pricing of options and corporate liabilities,Journal of Political Economy 81(1973)637-654.

[2]R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1(1973)141-183.

[3]Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.(2004).

[4]Sukha.Advanced mathematics of finance honours project:finite-difference methods for pricing the American put option.(2001).

[5]H.K.Versteeg,W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume method.Pearson Education(1995).

[6]D.Y.Tangman,1,A.Gopaul,M.Bhuruth.Numerical pricing of options using high-order compact finitedifference schemes.Journal of Computational and Applied Mathematics 218(2008)270 - 280