一類考慮存活率的時(shí)滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究

李亞男， 馮廣慶， 王玉光

一類考慮存活率的時(shí)滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究

李亞男1， 馮廣慶1， 王玉光2*

(1．河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南焦作454000; 2．寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川750021)

研究了一類考慮存活率的時(shí)滯SIR傳染病模型，首先得到了模型的無病平衡點(diǎn)和病態(tài)平衡點(diǎn)的存在條件及局部穩(wěn)定條件;其次，對于病態(tài)平衡點(diǎn)，討論了當(dāng)時(shí)滯τ由小增大并經(jīng)過τ0時(shí)，病態(tài)平衡點(diǎn)將由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，進(jìn)而破裂產(chǎn)生Hopf分支;最后，利用Simulink仿真驗(yàn)證了結(jié)論．

基本再生數(shù);穩(wěn)定性;Hopf分支;Lyapunov函數(shù)

種群模型和傳染病動(dòng)力學(xué)模型背景雖然不同，但在模型表述、研究方法和研究內(nèi)容上具有較多的相似之處，而無論哪種類型的問題都已經(jīng)被進(jìn)行了廣泛的研究［1－4］．經(jīng)典的 SIR模型最早由 K．L．Cooke提出［5］，其中S、I、R分別代表易感者、染病者和移出者．隨后，在此基礎(chǔ)上各種變形和衍生的模型諸如SIS、SIRS、SEIR、SEIRS等被許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究［6－14］．

而許多疾病都有一定的潛伏期，例如患登革熱病后3～14 d才有癥狀，禽流感的潛伏期一般在7 d以內(nèi)，流行性腮腺炎為14～21 d，狂犬病潛伏期短則10～15 d，長則一年甚至更長，而肺癌的潛伏期則長達(dá)10～20 a．對于這些疾病，當(dāng)前時(shí)刻的傳染強(qiáng)弱往往和某個(gè)時(shí)間段τ之前有關(guān)，這里的τ是對潛伏期的簡單化處理．但實(shí)際情況是并非所有的被感染者在經(jīng)過τ之后仍然存活，即有一部分被感染者可能會(huì)在潛伏期間由于疾病或疾病以外原因引起死亡，這類種群比例不能包含進(jìn)易感者向染病者的傳播比例中，因此引入存活系數(shù)e－μτ∈(0，1］就顯得很有必要．

本文研究了一類考慮存活率的時(shí)滯SIR類型的傳染病模型，首先計(jì)算得到系統(tǒng)的2個(gè)平衡點(diǎn)，利用Jacobian矩陣得到2個(gè)平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定的條件，并同時(shí)得到疾病傳播的基本再生數(shù)表達(dá)式;其次得到了系統(tǒng)的病態(tài)平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的條件，進(jìn)一步得到系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的具體條件;最后，利用Simulink仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論．

1 系統(tǒng)描述

考慮如下傳染病模型

這里所有參數(shù)均為正數(shù)，其中，τ、β、Λ分別代表潛伏期、平均單位接觸率、治愈率，η代表外界進(jìn)入系統(tǒng)的比例并且假設(shè)剛進(jìn)入時(shí)均為易感者，μi(i=1，2，3)分別代表S(t)、I(t)、R(t)的自然死亡率，e－μτ為被感染者經(jīng)過潛伏期后的存活率．E．Beretta等［11］研究了不考慮存活率的情況，R．Xu等［6］在Berreta的基礎(chǔ)上加入了出生率并對持久性作了研究，J．M．Tchuenche等［15］研究了系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性以及一致存在性，并研究了系統(tǒng)失去免疫時(shí)系統(tǒng)的變化．本文利用Jacobian矩陣更細(xì)致地研究了平衡點(diǎn)的局部性質(zhì)，并討論了系統(tǒng)病態(tài)平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定時(shí)產(chǎn)生Hopf分支的情況．

容易知道系統(tǒng)(1)有無病平衡點(diǎn)和病態(tài)平衡點(diǎn)分別記為E0、E1，具體形式為對于系統(tǒng)(1)，J．M．Tchuenche等［15］利用比較判別法和分析方法定性的討論了其局部穩(wěn)定性，并通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論了其全局穩(wěn)定性．本文利用特征方法討論了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，并著重討論了其計(jì)算其Jacobian矩陣為

其對應(yīng)的特征方程表達(dá)式為

2 無病平衡點(diǎn)E0的局部性質(zhì)

首先討論平衡點(diǎn)E0的局部性質(zhì)，將E0的具體形式代入(2)式中，得到3個(gè)特征根分別為λ1=－μ3，λ2= －μ1和λ3，其中λ3由方程

確定，即是直線 g1(λ)=λ和曲線 g2(λ)=βe－μτ的交點(diǎn)．對于 g (λ)，易知 g (+22∞)=－μ2－Λ＜0，因此由分析性質(zhì)可知，特征值λ3一定存在，且其正負(fù)號(hào)由g2(0)的正負(fù)號(hào)決定．

J．M．Tchuenche等［15］利用反證法證明了 λ3的實(shí)部不可能非負(fù)，由此得到了當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部穩(wěn)定的結(jié)論．本文說明了當(dāng)無病平衡點(diǎn)E0存在時(shí)，λ3更具體的取值為實(shí)數(shù)而非復(fù)數(shù)，并給出了λ3符號(hào)與R0－1符號(hào)的具體關(guān)系．

定理1 對于系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)E0，其局部穩(wěn)定性由g2(0)的符號(hào)決定，具體為:

1)當(dāng)g2(0)＞0時(shí)，E0是不穩(wěn)定的;

2)當(dāng)g2(0)＜0時(shí)，E0是穩(wěn)定的;

3)當(dāng)g2(0)=0時(shí)，E0的穩(wěn)定性不能確定．

證明 由于g1(λ)為單調(diào)增函數(shù)，g2(λ)為單調(diào)減函數(shù)，且g1(－∞)=－∞，g1(+∞)=+∞，g2(－∞)=+∞，g2(+∞)=－μ2－Λ＜0，因此由方程根的存在定理知g1(λ)和g2(λ)一定有唯一的交點(diǎn)，且其交點(diǎn)的正負(fù)性由g2(0)的符號(hào)唯一確定．當(dāng)g2(0)＞0時(shí)，有唯一正交點(diǎn)，所以平衡點(diǎn)E0對應(yīng)的3個(gè)特征根符號(hào)分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＞0，即E0為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn);當(dāng)g2(0)＜0時(shí)，有唯一負(fù)交點(diǎn)，所以平衡點(diǎn)E0對應(yīng)的3個(gè)特征根符號(hào)分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＜0，即E0為穩(wěn)定的平衡點(diǎn);當(dāng)g2(0)=0時(shí)，λ3=0，此時(shí)尚需要對系統(tǒng)做進(jìn)一步分析方可做出判斷．證畢．

需要注意到，g2(0)=0對應(yīng)形式為=1，記

則定理結(jié)論變?yōu)镽0＞1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的;R0＜1時(shí)，E0是穩(wěn)定的;R0=1時(shí)，E0穩(wěn)定性不能確定，而這里的R0正是文章中的基本再生數(shù)的表達(dá)式．即當(dāng)R0＞1時(shí)，疾病得以傳播，因此無病平衡點(diǎn)將不會(huì)存在(不穩(wěn)定);當(dāng)R0＜1時(shí)，病癥不會(huì)擴(kuò)散并趨于消失，因此只剩余易感者(無病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的)．

3 病態(tài)平衡點(diǎn) E1的局部性質(zhì)和系統(tǒng)的Hopf分支

對于病態(tài)平衡點(diǎn)E1，由方程(2)知系統(tǒng)(1)始終有一負(fù)特征根λ1=－μ3，因此平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性由剩余2個(gè)特征根的符號(hào)進(jìn)行判斷．令(2)式等于0，將(2)式中方括號(hào)內(nèi)表達(dá)式重新寫為

這里，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ，為病態(tài)平衡點(diǎn)E1的第一、二分量形式．

取τ=0代入(3)式，并注意到此時(shí)L1=β，珔S=，則(3)式變?yōu)橐辉畏匠?/p>

經(jīng)過計(jì)算得

1121＞μ1μ2．故當(dāng)E1存在時(shí)，b＞0，同時(shí)a＞0恒成立，所以(4)式有2個(gè)負(fù)的特征根．

定理2 當(dāng)R0＞1時(shí)，E1存在，并且當(dāng)τ=0時(shí)E1為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)．

證明 因?yàn)閑－μτ＜1，所以當(dāng)R0＞1時(shí)，有βη＞μμ+μΛ，即＞0，故E存在．由上述分1211析得a，b＞0，所以在τ=0時(shí)E1是穩(wěn)定的．證畢．

接下來討論系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分支的情形，令λ=iω代入方程(3)中，并利用歐拉公式 e－iωτ= cos ωτ－i sin ωτ并分離實(shí)虛部得

方程組(5)兩式取平方求和得

這里，Q1=L1μ2+L1Λ+L3，Q2=L1+L2，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ．關(guān)于方程(6)的根的存在性和系統(tǒng)(1)的Hopf分支有以下結(jié)論．

引理1 當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時(shí)，方程(6)至少有一正根ω0．

證明 當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時(shí)，所以病態(tài)平衡點(diǎn)E1存在．方程(6)的二次冪系數(shù)為，將Q1、Q2、L2的具體表達(dá)式代入得到其符號(hào)為正．具體過程如下:

將常數(shù)項(xiàng)改寫為

經(jīng)過代換

所以當(dāng)h2＜0時(shí)，h1*h2＜0，所以方程(6)恰好有一個(gè)正根．證畢．定理3 若且(2L1+ 3μ1)(μ2+Λ)＜L1η成立，則系統(tǒng)(1)在E1處當(dāng)τ =τ0時(shí)發(fā)生Hopf分支．

證明 由引理1知，當(dāng)(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜L1η時(shí)，E1存在且方程(6)至少有一正根記為 ω0，將方程(5)變形為對此方程進(jìn)行求解，得到對應(yīng)λ=iω0的參數(shù)τ0n的具體表達(dá)式為

由引理1和定理2知，當(dāng)τ=0時(shí)系統(tǒng)(1)的病態(tài)平衡點(diǎn)E1為局部穩(wěn)定的．由Butler引理［16］知，當(dāng)τ＜τ0時(shí)，E1仍然是穩(wěn)定的，這里τ0是τ0n中當(dāng)n=0時(shí)的表達(dá)式．

接下來說明當(dāng)定理的條件滿足時(shí)有

則由Hopf分支產(chǎn)生的條件［17］可知，(1)式在平衡

點(diǎn)E1處當(dāng)ω=ω0，τ=τ0時(shí)會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的周期解．

方程(5)關(guān)于τ求導(dǎo)，得到

即

而

而

式成立，因此橫截條件成立，所以系統(tǒng)(1)在ω= ω0，τ=τ0時(shí)發(fā)生Hopf分支．證畢．

4 系統(tǒng)仿真

由于系統(tǒng)中某些項(xiàng)含有常時(shí)滯項(xiàng)，因此對于得到關(guān)于系統(tǒng)(1)的結(jié)論可以使用Matlab或XPPaut進(jìn)行驗(yàn)證，在這里采用的工具是Matlab所含仿真軟件Simulink．因?yàn)槌顺r(shí)滯項(xiàng)，Simulink對于變時(shí)滯微分方程組也有很好的處理結(jié)果．

為了說明E0的局部穩(wěn)定性，選取參數(shù)為β= 0．005，η=0．2，Λ=0．061，μ=0．003 7，μ1=0．35，μ2=0．043，μ3=0．04，τ=12，使得R0=0．026 3＜1，此時(shí)E為局部穩(wěn)定的，且=0．571 4，

0I(t)，R(t)→0，具體情況見圖1．為了說明E1的局部穩(wěn)定性，選取參數(shù)為 Λ=0．023，η=0．14，β= 0．08，μ=0．01，μ1=0．005 6，μ2=0．09，μ3=0．02，τ =10，使得R0=1．601 5＞1，此時(shí)E1為局部穩(wěn)定的，具體情況見圖2．為了說明系統(tǒng)在E1處當(dāng)τ= τ0，ω=ω0處發(fā)生Hopf分支，選取參數(shù)β=0．2，η= 0．34，Λ=0．023，μ=0．001，μ1=0．056，μ2=0．009，μ3=0．02，滿足文中定理3的條件，此時(shí)對應(yīng)的τ= 3．737 4，具體情況見圖3．

5 結(jié)論

本文考慮了一類含有時(shí)滯和存活率的變種群傳染病模型的局部性質(zhì)和Hopf分支發(fā)生的情況，著重討論了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分支的條件并利用仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論．對于無病平衡點(diǎn)E0和病態(tài)平衡點(diǎn)E1在滿足文中定理的前提下，不僅僅是局部穩(wěn)定的，利用Lyapunov函數(shù)方法更可以證明其是全局穩(wěn)定的，另外系統(tǒng)(1)還具有一致存在性等多數(shù)生態(tài)系統(tǒng)的常有性質(zhì)，具體可以查閱文獻(xiàn)［15］，在其中同時(shí)考慮了當(dāng)系統(tǒng)失去免疫時(shí)的一些相應(yīng)結(jié)論．需要說明的是本文中的定理3所得條件為充分條件，其在很大程度上應(yīng)該可以弱化，但由于表達(dá)式的復(fù)雜和規(guī)律的隱蔽，沒有找到更簡潔的形式．

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Stability and Hopf Bifurcation for an Epidemic Disease Model with Time Delay

LI Yanan1， FENG Guangqing1， WANG Yuguang2

(1．Wanfang Institute of Science and Technology，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan; 2．School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，Ningxia)

The stability and Hopf bifurcation of a SIR disease model with survival probability and time delay are analysed．The conditions of the existence and local stability of disease-free and endemic equilibrium are investigated．It is proved that there are stability switches，and Hopf bifurcation occurs for endemic equilibrium when the time delay τ passed through a sequence of critical values．The conclusions are verified by Simulink．

the basic reproductive number;stability;Hopf bifurcation;Lyapunov functional

TP273

A

1001－8395(2016)05－0649－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．006

(編輯 周 俊)

2015－05－26

國家自然科學(xué)基金(11305048)和河南省重點(diǎn)科研項(xiàng)目(17B110004)

*通信作者簡介:王玉光(1983—)，男，講師，主要從事生物數(shù)學(xué)的研究，E－mail:270238001@qq．com

2010 MSC:34H05;37H10