類(lèi)比思想融入《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)的研究與實(shí)踐

李紅光

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

類(lèi)比思想融入《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)的研究與實(shí)踐

李紅光

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

從教學(xué)改革和培養(yǎng)應(yīng)用型人才的全局出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，論述了把類(lèi)比思想融入到《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)中的重要性，并且就如何實(shí)現(xiàn)類(lèi)比思想融入到復(fù)變函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的具體方案進(jìn)行了探討，希望能為以后的《復(fù)變函數(shù)》課程的教學(xué)改革提供一定的幫助.

類(lèi)比思想；復(fù)變函數(shù)；教學(xué)改革

1 引言

《復(fù)變函數(shù)》是繼數(shù)學(xué)分析之后的一門(mén)重要的分析課程，是高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和物理學(xué)專(zhuān)業(yè)的必修課程和主要課程.《復(fù)變函數(shù)》主要包括了復(fù)極限、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)和留數(shù)理論等知識(shí)點(diǎn)[1-2]，其中復(fù)極限、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的極限、積分、級(jí)數(shù)[3-4]有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。如何通過(guò)教學(xué)，幫助學(xué)生了解這種聯(lián)系，讓學(xué)生更好地理解復(fù)極限、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)等概念，為其它后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，又使學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程的過(guò)程中培養(yǎng)邏輯思維能力、類(lèi)比能力和研究能力。而類(lèi)比思想以其獨(dú)有的眼界為復(fù)變函數(shù)的教學(xué)提供了新的理解，這對(duì)學(xué)生更系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論有很大的幫助，對(duì)提高復(fù)變函數(shù)的教學(xué)效果有著深遠(yuǎn)的影響。

2 類(lèi)比思想融入教學(xué)中的重要性

類(lèi)比思想，又稱(chēng)類(lèi)推思想，是指由一類(lèi)事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類(lèi)似的事物也應(yīng)具有這種相同屬性的推理思想。類(lèi)比復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析的概念，不僅要抓住概念的本質(zhì)，弄清概念的真正含義，即區(qū)別其它概念的特有性質(zhì)，而且要理解概念的各種條件和理清結(jié)論；不僅要比較與數(shù)學(xué)分析中概念的異同，而且要比較復(fù)變函數(shù)概念間的異同與相互聯(lián)系，真正把理解和掌握基本概念作為學(xué)好復(fù)分析的首要任務(wù)，做到靈活應(yīng)用相關(guān)的基本概念。

本人從事復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)已有多年，認(rèn)為類(lèi)比思想是可以融入到復(fù)變函數(shù)教學(xué)的各個(gè)方面中的.實(shí)踐證明這種融入對(duì)復(fù)變函數(shù)的教學(xué)有著非常好的效果.在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)過(guò)程中融入類(lèi)比思想，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)的聯(lián)系；有助于學(xué)生更好地了解和掌握復(fù)變函數(shù)課程的基本內(nèi)容、概念和方法；有助于學(xué)生比較直觀地理解一些基本定理，靈活地運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題。而類(lèi)比思想可以把復(fù)變函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到“背景——類(lèi)比——推斷——解釋——啟發(fā)”上，并可使學(xué)生將“知識(shí)”迅速轉(zhuǎn)化為“能力”，復(fù)變函數(shù)不再是抽象難懂、深不可測(cè)、高不可攀、望而卻步的“難學(xué)難用”的課程了.這可使學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、用數(shù)學(xué)的能力得到大幅度提升.

3 類(lèi)比思想融入到復(fù)變函數(shù)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程

3.1 融入到課堂教學(xué)

復(fù)變函數(shù)中包含很多與數(shù)學(xué)分析相似的概念和定理.因此，在復(fù)變函數(shù)課堂教學(xué)過(guò)程中，如何讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比數(shù)學(xué)分析的知識(shí)來(lái)掌握這些抽象的概念和定理變得尤其重要.對(duì)于復(fù)變函數(shù)的教學(xué)，以往的方式是注重概念的數(shù)學(xué)表達(dá)和邏輯方式，這樣的方式讓學(xué)生覺(jué)得復(fù)變函數(shù)的概念繁多、無(wú)趣和難以理解.現(xiàn)在我們可以在概念和定理的講授中融入類(lèi)比的思想，從而改變以往的教學(xué)方式，可取得很好的教學(xué)效果.其實(shí)，復(fù)變函數(shù)中的眾多概念與定理，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)都是可以從數(shù)學(xué)分析中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等概念和定理類(lèi)比過(guò)來(lái)，這樣學(xué)生就會(huì)感到課本里的概念和定理不再是那么陌生，而是似曾相識(shí)的，也不再感到這些概念抽象、難懂了.這種融入類(lèi)比思想的教學(xué)方法，有助于培養(yǎng)和造就學(xué)生的認(rèn)知能力和創(chuàng)新能力.

例如，在復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性（從而判斷函數(shù)解析性）的充要條件中，為什么要求函數(shù)的實(shí)部和虛部必須滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程？

先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)分析導(dǎo)數(shù)的定義和復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義去思考問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生自己去解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì).

又如，一元實(shí)函數(shù)的微分中值定理能推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生用Rolle定理和復(fù)指數(shù)的知識(shí)考慮問(wèn)題，從而達(dá)到學(xué)生能用數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)復(fù)變函數(shù)的知識(shí).

答：不能。我們僅以Rolle定理為例來(lái)說(shuō)明。一元實(shí)函數(shù)的Rolle定理是說(shuō)，若y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，并且f（a）=f（b），則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0.該定理不能推廣到復(fù)變函數(shù)的原因如下：

（1）討論復(fù)變函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性時(shí)，要求該函數(shù)定義在z0的某個(gè)鄰域（或的某個(gè)區(qū)域）上，僅在實(shí)（或虛）軸的某個(gè)區(qū)間上不能討論連續(xù)性與可導(dǎo)性，即使定義在復(fù)平面內(nèi)某個(gè)以z1和z2為端點(diǎn)的線段上也不行.

（2）若將Rolle定理的前兩個(gè)條件放寬為f（z）在復(fù)平面的某區(qū)域D內(nèi)解析，將第三個(gè)條件f（a）=f（b）改為f（z）在D內(nèi)某線段的兩個(gè)端點(diǎn)z1與z2上相等，即f（z1）=f（z2），結(jié)論也不一定成立.例如，設(shè)f（z）=ez，根據(jù)復(fù)指數(shù)函數(shù)ez的周期性，對(duì)任何z∈D，ez=ez+2kπi（k為整數(shù)），但由于（ez）′=ez≠0，所以在以z1與z2為端點(diǎn)的線段內(nèi)，沒(méi)有一點(diǎn)使（ez）′=0，故Rolle定理不成立.

3.2 融入到實(shí)驗(yàn)教學(xué)

伴隨著計(jì)算機(jī)的飛越發(fā)展和數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica，Matlab）的迅速成長(zhǎng)，許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的解決都需要通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完成.目前，數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院正在探索專(zhuān)業(yè)課程的教學(xué)改革，復(fù)變函數(shù)課程也納入了該改革中.結(jié)合以往的實(shí)踐教學(xué)改革，認(rèn)為在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中增開(kāi)實(shí)驗(yàn)課，不但可以提高學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的興趣，同時(shí)還可以增強(qiáng)他們的實(shí)際動(dòng)手能力.復(fù)變函數(shù)的實(shí)驗(yàn)一般要結(jié)合物理應(yīng)用背景，以數(shù)學(xué)軟件為工具，模擬實(shí)際環(huán)境進(jìn)行教學(xué).在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，可開(kāi)設(shè)2～3次實(shí)驗(yàn)課，主要是讓學(xué)生利用類(lèi)比的方法來(lái)解決復(fù)變函數(shù)方面的一些實(shí)際問(wèn)題，從而達(dá)到提高學(xué)生的積極性，創(chuàng)造性和解決問(wèn)題的能力.

3.3 融入到課后作業(yè)

在以往的復(fù)變函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，給學(xué)生布置的作業(yè)基本上是出自于書(shū)中的課后習(xí)題，然而，課后習(xí)題陳舊、形式缺乏、應(yīng)用性嚴(yán)重不足，這嚴(yán)重地影響了復(fù)變函數(shù)的教學(xué)效果.因此，僅僅布置課后習(xí)題作為學(xué)生的作業(yè)，不能很好地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題解決的能力和動(dòng)手能力.為改善這種不利的局面，在作業(yè)的布置上亦可融入類(lèi)比的方法，適當(dāng)增加一些開(kāi)放性的課后作業(yè)，如可以安排一些與數(shù)學(xué)分析知識(shí)相關(guān)的復(fù)變函數(shù)問(wèn)題，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力、創(chuàng)新能力；也可以增加一些利用數(shù)學(xué)軟件能完成的復(fù)變函數(shù)方面的應(yīng)用題，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng).

3.4 融入到考試考核

以往對(duì)復(fù)變函數(shù)課程考核就是采取閉卷考試，而且考試題目或者是出自于書(shū)中的例題和課后的習(xí)題；或者是出自于書(shū)中的某些基本概念和定理.這樣的結(jié)果是只能考查學(xué)生的識(shí)記能力，而無(wú)法考查學(xué)生的遷移和應(yīng)用能力，從而直接導(dǎo)致很多學(xué)生高分低能，學(xué)生無(wú)法在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中理解和提煉數(shù)學(xué)思想和方法.這樣方式與復(fù)變函數(shù)教學(xué)的初衷是相違背的，也與我校所提倡的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式相違背的.考慮到這樣一種不足的考核方式，我們可以嘗試在考核方式上做出一些調(diào)整.例如，我們可以把考核方式分為兩部分：理論考試和上機(jī)考查.對(duì)于理論考試部分，可適當(dāng)增加一些開(kāi)放型的簡(jiǎn)答題，需要學(xué)生比較復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析中一些知識(shí)點(diǎn)的異同；對(duì)于實(shí)驗(yàn)上機(jī)考查部分，主要考查學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)通過(guò)類(lèi)比的方法解決一些與復(fù)變函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

4 結(jié)論

隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，傳統(tǒng)復(fù)變函數(shù)教學(xué)不能適應(yīng)高?，F(xiàn)代化教學(xué)，教學(xué)改革勢(shì)在必行.本文從教學(xué)改革和培養(yǎng)應(yīng)用型人才的全局出發(fā)，結(jié)合自己多年教復(fù)變函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索了如何將類(lèi)比思想融入到復(fù)變函數(shù)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程的具體方法，認(rèn)為把類(lèi)比思想融入到復(fù)變函數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵是分析推廣后出現(xiàn)的新情況和新問(wèn)題及出現(xiàn)新問(wèn)題的原因，剖析新概念與新理論的本質(zhì).力爭(zhēng)將類(lèi)比思想與復(fù)變函數(shù)有關(guān)內(nèi)容相結(jié)合，從而能夠培養(yǎng)學(xué)生感知事物存在特征與變化過(guò)程本質(zhì)的能力、科學(xué)想象能力和科學(xué)推理能力，從而提高學(xué)生探討研究的能力.

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3]陳紀(jì)修，於崇華，金路編.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]孫清華，孫昊.復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

[6]付愛(ài)玲.類(lèi)比建構(gòu)對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)的啟示[J].北京：中國(guó)科技信息，2010（18）：119.

The Research and Practice of Infiltrating the Idea of Analogy in Complex Analysis Teaching

LI Hong-guang
（College of Mathematics and Computer Science，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

Starting from the overall situation of teaching reform and training applied talents，combining with years of teaching experience of the author，the importance of infiltrating the idea of analogy in complex analysis teaching is presented firstly．And then，the specific plans of infiltrating the idea of analogy in the complex analysis teaching are discussed.The author hopes that it can be of some help in the teaching reform of complex analysis.

the idea of analogy；complex analysis；teaching reform

G642

A

1671－9743（2016）11－0088－02

2016-04-11

懷化學(xué)院教改項(xiàng)目（懷院發(fā)[2015]16號(hào)No.201527）.

李紅光，1979年生，男，湖南新寧人，講師，研究方向：函數(shù)論.