數(shù)字信號處理的兩個知識點的教學思考

萬 群， 孫奕髦， 殷吉昊， 鄒 麟

(電子科技大學 電子工程學院， 四川 成都 611731)

數(shù)字信號處理的兩個知識點的教學思考

萬 群， 孫奕髦， 殷吉昊， 鄒 麟

(電子科技大學 電子工程學院， 四川 成都 611731)

在研究生課程“數(shù)字信號處理理論及算法”中，離散傅立葉變換和最小方差無失真響應是兩種重要的濾波和功率譜估計方法。本文將這兩個分散的知識點有機的結合一起，不僅可起到歸納課程內重要知識點的作用，還可讓學生在課程學習過程中更好的理解離散傅里葉變換和最小方差無失真響應的內在聯(lián)系與本質差異，在深刻理解它們的最優(yōu)性的同時，明確它們固有的局限，從而避免實際應用中可能遇到的風險。

離散傅里葉變換；最小方差無失真響應；最小二乘解；線性半定規(guī)劃

0 引言

“數(shù)字信號處理理論與算法”是我校國家重點學科信號與信息處理專業(yè)的研究生課程之一，主要研究信號統(tǒng)計模型、功率譜估計、自適應濾波等，是一門重要的基礎課程[1]。該課程介紹了很多經典的信號處理理論和算法，在理論上涉及到的數(shù)學知識較廣泛[2]。離散傅立葉變換和最小方差無失真響應就是其中兩種重要的濾波和功率譜密度估計方法，在雷達、語音信號處理、無線通信、地球物理探測、圖像增強和圖像識別等科技和工程領域得到了廣泛的研究和應用[3]。

離散傅里葉變換和最小方差無失真響應通常是分開介紹給學生的，學生很難理解兩者之間的內在聯(lián)系和本質差異[4]。本文將離散傅里葉變換作為基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問題的最小二乘解，將最小方差無失真響應作為基于單位稀疏自相關模型的自相關擬合問題的線性半定規(guī)劃解，從而讓學生理解到離散傅里葉變換和最小方差無失真響應這兩個知識點之間的內在聯(lián)系與本質差異[5]。從這個角度出發(fā)，啟發(fā)學生思考，在深刻理解離散傅里葉變換方法和最小方差無失真響應方法的最優(yōu)性的同時，明確它們固有的缺陷，從而避免實際應用中可能遇到的風險。

本文組織結構如下：第1節(jié)簡要地分析了有關的信號模型和自相關模型；第2節(jié)對離散傅里葉變換進行了新的思考，分析了它作為基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問題的最小二乘解的最優(yōu)性和固有的缺陷。第3節(jié)對最小方差無失真響應進行了新的思考，分析了作為基于單位稀疏自相關模型的自相關擬合問題的線性半定規(guī)劃解的最優(yōu)性和固有的局限。最后一節(jié)，給出一個總結性評述結束本文。

1 問題提出

通常，觀測向量通常用線譜模型表示[2]：

(1)

其中，v是噪聲向量，ωk和sk分別是第k個分量的角頻率、復振幅，K是信號分量的個數(shù)，a(ωk)=[1,e-jωk,…,e-j(M-1)ωk]T。這里的問題是用觀測向量x估計ωk和sk。

我們可以直接利用非線性最小二乘問題的解估計信號模型參數(shù)[6]：

(2)

雖然這是個數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)化模型，但是獲得這個多維非線性優(yōu)化問題的解并不容易，因為它在一般情況下沒有閉式的解析解。

觀測向量的自相關矩陣：

Rx=E(xxH)

(3)

其中，[ ]H表示共軛變換。如果信號和噪聲不相關，我們可以得到

(4)

同樣的，我們可以用一個非線性最小二乘問題的解估計自相關矩陣模型的參數(shù)[7]：

(5)

在下一節(jié)中，我們將討論由簡化的單位稀疏模型的數(shù)據(jù)和自相關的擬合分別得到的離散傅立葉變換方法和最小方差無失真響應方法。籍此我們不僅能讓學生理解離散傅立葉變換和最小方差無失真響應之間的內在聯(lián)系和本質差異，還能啟發(fā)學生思考，在深刻理解離散傅里葉變換方法和最小方差無失真響應方法的最優(yōu)性的同時，明確它們固有的局限，從而避免實際應用中可能遇到的風險。

2 單位稀疏信號模型擬合

2.1 離散傅立葉變換

數(shù)據(jù)的離散傅立葉變換(DFT)表示為

離散傅里葉變換通常用于估計模型參數(shù)、功率譜密度以及空間譜密度等。要在本質上把握該方法，不僅需要清楚該方法在什么情況下是最優(yōu)的，還要清楚該方法的固有局限。

2.2 單位稀疏信號擬合

實際上，DFT是以下優(yōu)化問題的解：

(6)

換句話說，DFT通過一個簡化的數(shù)據(jù)擬合模型估計模型參數(shù)，不管觀測向量x實際上包含多少分量，都只利用角頻率為ω的一個分量來擬合觀測向量x。解由下式給出：

因此，離散傅立葉變換的結果就是基于單位稀疏模型的信號擬合的最小二乘解。

由于s(ω)是復數(shù)，而功率譜密度是非負數(shù)，因此，經典的周期圖法得到的功率譜密度估計對應的是|s(ω)|2，周期圖方法的頻率估計是|s(ω)|2的峰值位置。

2.3 性能分析

模型參數(shù)可以用數(shù)據(jù)DFT絕對值峰值位置來估計。雖然很容易實現(xiàn)，但是這種方法對多分量的線性譜不是最優(yōu)的。例如，當K>1時，我們不能僅用一個角頻率為ω的分量精確擬合觀測向量x。在只有一個分量的情況下，離散傅立葉變換方法與問題(2)的非線性最小二乘法的解是一致的。

然而，當K>1時，將式(1)代入到式(6)可得

(7)

當ω=ω1時，有

(8)

可見，s(ω1)=sk不一定是上述最小二乘問題的解，因為存在其它具有不同角頻率的分量引起的干擾。此外，值得一提的是，離散傅立葉變換的結果并不是自適應的，因為最優(yōu)線性濾波的權向量是a(ω)，并不依賴數(shù)據(jù)x[7]。

3 單位稀疏自相關模型擬合

3.1 最小方差無失真響應

最小方差無失真響應方法利用以下最優(yōu)化問題的解來估計角頻率[4]：

(9)

解由下式給出

(10)

對比離散傅里葉變換的結果，最小方差無失真響應方法具有抑制不同分量相互干擾的能力。

3.2 單位稀疏自相關擬合

為了揭示離散傅立葉變換和最小方差無失真響應之間的內在聯(lián)系，我們可以將最小方差無失真響應問題重新表述為線性半定規(guī)劃問題[6]：

(11)

因為上述約束手段：

(12)

對任意向量w成立，我們有：

(13)

而上述不等式約束與向量w的范數(shù)無關，不失一般性，不妨假設：

aH(ω)w=1

(14)

因此有

(15)

為了得到式(11)在約束條件式(15)下的最小值，有

(16)

結果和式(10)是一樣的。

3.3 性能分析

自相關模型參數(shù)可以用最小方差無失真響應輸出的峰值位置來估計，可以將式(10)代入到式(16)得到：

(17)

然而，當K>1時，將式(4)代入到式(11)可得

(18)

當ω=ω1時，我們有

(19)

4 結語

在我校研究生課程“數(shù)字信號處理理論與算法”對離散傅里葉變換和最小方差無失真響應的教學過程中，很多學生會疏忽兩者之間的內在聯(lián)系與本質差異。本文分析了離散傅里葉變換與基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問題的最小二乘解之間、最小方差無失真響應與基于單位稀疏自相關模型的自相關擬合問題的線性半定規(guī)劃解之間的關系，討論了簡單算法與問題復雜性之間的矛盾及應對策略。一方面，可以讓學生從本質上理解離散傅立葉變換、最小方差無失真響應之間的內在聯(lián)系和本質差異；另一方面，也為學生進一步學習現(xiàn)代數(shù)字信號處理的相關知識提供方法和導向[8]。

[1] Wan Q., He Z.S. Mathematics education research in signal processing[C]. Fourth International Conference on Education and Sports Education, Hong Kong, 2013, pp.340-343

[2] 龍佳樂, 張建民. “數(shù)字信號處理”課程驅動式教學改革[J]. 南京: 電氣電子教學學報, 2014, 36(4):85-86.

[3] Stoica P, Moses R L. Spectral analysis of signals [M]. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Prentice Hall, 2005.

[4] Souden M, Benesty J, Affes S. A study of the LCMV and MVDR noise reduction filters[J]. New York, IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(9): 4925-4935.

(萬 群等文)

[5] 王景芳, 侯玉寶. 數(shù)字信號處理教學改進探索[J]. 長沙:湖南涉外經濟學院學報, 2009, (4).

[6] Guo X, Wan Q, Zhang Y, et al. Teaching notes of MVDR in digital signal processing (DSP)[C]// Teaching, Assessment and Learning for Engineering (TALE), 2012 IEEE International Conference on IEEE, 2012:H3A-5-H3A-8.

[7] Wan Q. Teaching Notes on Linear Optimal Algorithms in Signal Processing. International Conference on Education and Teaching, Wuhan, 2013, pp.169-173.

[8] Wan Q., Yin J. H. Teaching notes on Subspace Method in Signal Processing. International Conference on Information, Business and Education Technology, 2013, pp.980-982.

Teaching Thinking of Two Knowledge Points on Discrete Fourier Transform

WAN Qun, SUN Yi-mao, YIN Ji-hao, ZOU Lin

(UniversityofElectronicsScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,China)

Discrete Fourier transform (DFT) and minimum variance distortless response (MVDR) are two of most important methods in the graduate course of Theory and Algorithm of Digital Signal Processing. Combining these two knowledge points not only can contribute to summarize the important knowledge points in the course, but also help the students to have a better understanding about the intrinsic relationship and the essential difference between DFT and MVDR. Moreover, when deeply understanding their optimality, the students should be clear on their inherent limitation to avoid the possible risks in practical application.

discrete fourier transform; minimum variance distortless response; least squares solution; semi-definite linear program

2015-04-12;

2016-05-02

四川省高等教育人才培養(yǎng)質量和教學改革項目、電子科技大學研究生教研教改重點項目(No. 901002003)

萬 群(1971-)，教授、主要從事陣列信號處理、無線定位等方面的教學和科研工作, E-mail:wangqun@uestc.edu.cn

G426

A

1008-0686(2016)03-0028-04