實(shí)現(xiàn)離散Hilbert變換所需階數(shù)的分析

陳 喆, 王 睿, 李小兵, 郭成安, 馬曉冬

(1. 大連理工大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023) (2 . 富士通元器件科技發(fā)展有限公司， 遼寧 大連 116023)

實(shí)現(xiàn)離散Hilbert變換所需階數(shù)的分析

陳 喆1, 王 睿1, 李小兵1, 郭成安1, 馬曉冬2

(1. 大連理工大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023) (2 . 富士通元器件科技發(fā)展有限公司， 遼寧 大連 116023)

連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的Hilbert變換之間存在偏差，不利于學(xué)生理解。本文從理論上分析了信號(hào)的最高頻率、采樣頻率、想要達(dá)到的信噪比與離散Hilbert變換項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，給出了離散Hilbert變換的特性及適用于實(shí)驗(yàn)的項(xiàng)數(shù)確定依據(jù)。數(shù)值仿真表明了相關(guān)結(jié)論的正確性。

Hilbert變換；數(shù)字信號(hào)處理

0 引言

Hilbert變換是信號(hào)分析與處理中的有力工具，在信號(hào)處理、時(shí)頻分析等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1, 2]。在隨機(jī)信號(hào)分析類課程中，Hilbert變換也是主要講授內(nèi)容之一。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)Hilbert變換的理解，特別是其在窄帶信號(hào)處理中的作用，常常輔之以實(shí)驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為演示。目前，Hilbert變換的具體實(shí)現(xiàn)多基于離散時(shí)間數(shù)據(jù)，用Matlab編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。

連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的Hilbert變換定義為

(1)

其中，‘*’表示卷積。理論上，Hilbert變換可等效為x(t)通過(guò)一單位沖激響應(yīng)為h(t)=1/πt的濾波器的輸出，這里h(t)的Fourier變換為

(2)

上述連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Hilbert變換物理概念清晰，在國(guó)內(nèi)外相關(guān)教材中都有較為詳細(xì)的介紹[1, 2]。與上述H(jΩ)類似，離散Hilbert變換等效濾波器h(n)的離散時(shí)間Fourier變換定義為[3, 4]

(3)

h(n)的單位脈沖響應(yīng)為

(4)

(5)

與h(t)類似，h(n)也是非因果濾波器，兩者皆在物理上不可實(shí)現(xiàn)，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只能截取其有限項(xiàng)，且需適當(dāng)右移，以滿足n<0，h(n) = 0的因果性要求。顯然，這種近似會(huì)帶來(lái)如下問(wèn)題：截取多少項(xiàng)可以滿足要求？盡管理論上是截取的項(xiàng)數(shù)越多越好，但從計(jì)算量、存儲(chǔ)量等角度考慮，則是越少越好。因此，很有必要探討Hilbert變換實(shí)現(xiàn)時(shí)保留其項(xiàng)數(shù)的依據(jù)。本文將研究該問(wèn)題，并得到一些對(duì)Hilbert變換實(shí)現(xiàn)有指導(dǎo)意義的結(jié)論。

1 數(shù)字Hilbert變換的誤差

不失一般性，設(shè)中心頻率為f0的窄帶隨機(jī)連續(xù)信號(hào)為

x(t)=A(t)cos[2πf0t+φ(t)]

(6)

其中，A(t)和φ(t)分別是窄帶隨機(jī)信號(hào)的包絡(luò)和相位，它們相對(duì)f0均是慢變隨機(jī)過(guò)程，t(-∞, +∞)。令A(yù)c(t)=A(t)cosφ(t)，As(t)=A(t)sinφ(t)，根據(jù)文獻(xiàn)[1, 2]，Ac(t)、As(t)相對(duì)于f0也是慢變的隨機(jī)過(guò)程，且具有相同的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。x(t)可寫(xiě)為

x(t) =Ac(t) cos2πf0t-As(t)sin2πf0t

(7)

(8)

(9)

(10)

在Hilbert變換實(shí)現(xiàn)時(shí)，式(4)中的n只能取有限項(xiàng)，如2M個(gè)非0項(xiàng)(此時(shí)，h(n)總長(zhǎng)度為4M-1)，于是有

(11)

(12)

式(12)中使用了Ac(t)和As(t)在t=n/fs處的一階Taylor展開(kāi)，即

(13)

(14)

(15)

其中

2 等效濾波器系數(shù)數(shù)目的確定

(16)

由式(15)和(16)可得如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)f0、fs和M滿足(pfs)/(4f0)=M時(shí)，g(n) = 0，此時(shí)可獲得Hilbert變換的精確結(jié)果，其中p為正整數(shù)。

(2) 當(dāng)完全不滿足(1)中條件時(shí)，g(n)主要由fH/fs決定。為了達(dá)到一定SNR，fH/fs需小于某個(gè)值。特別是，當(dāng)信號(hào)的fH給定時(shí)，有效改善變換精度的手段是提高采樣頻率。這隱含著要以計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)。

(3) 幅度補(bǔ)償系數(shù)k對(duì)SNR也有輕微影響：由于k不是M的單調(diào)函數(shù)，因此增大M也可能導(dǎo)致SNR略微下降，但這個(gè)問(wèn)題在M較大時(shí)，可以忽略不計(jì)。

(4) 考慮一種極端情況，當(dāng)fH=0時(shí)，即輸入信號(hào)為單頻正弦波時(shí)，有g(shù)(n)=0，此時(shí)M可取最小值M=1，即h(n)為一典型二階差分器(對(duì)應(yīng)于連續(xù)信號(hào)的微分器)。正弦波的Hilbert變換為余弦波；而差分器(微分器)恰能把正弦波變換為余弦波，這也符合通常的認(rèn)知。

(5) 考慮另一種極端情況，當(dāng)M→∞時(shí)，總可以找到一個(gè)正整數(shù)p，使得f0、fs、M滿足(pfs)/(4f0) →M時(shí)，g(n)→0，即SNR足夠大。這也符合M越大，Hilbert變換精度越高的常識(shí)。

為了進(jìn)一步說(shuō)明根據(jù)給定的SNR，如何綜合確定M的問(wèn)題，本文給出一些數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)(1)：實(shí)驗(yàn)參數(shù)取f0=1 MHz，fs= 8 MHz，fH= 5 kHz。當(dāng)M= 2, 4, 6, …為偶數(shù)時(shí)，SNR→∞，這說(shuō)明得到了Hilbert變換的精確結(jié)果，與結(jié)論(1)相符。

實(shí)驗(yàn)(2)：實(shí)驗(yàn)參數(shù)取f0= 1 MHz，fs= 2.048 MHz或8.912 MHz，fH= 0.5 kHz或5 kHz。表1為不同fH和fs下能夠達(dá)到的最大SNR。由表1可見(jiàn)，當(dāng)fH一定時(shí)，提高fs能夠增加信噪比；當(dāng)fs一定時(shí)，fH越大信噪比越低，與結(jié)論(2)相符。

實(shí)驗(yàn)(3)：實(shí)驗(yàn)參數(shù)取f0= 1 MHz，fs= 8.912

MHz，fH= 0.5 kHz。當(dāng)M= 1, 2, …, 5變化時(shí)，SNR值如表2所示。SNR值隨著M值的遞增不是單調(diào)增大，而是略有起伏，這與結(jié)論(3)相符。

表1 不同fH和fs下能夠達(dá)到的最大SNR

表2 不同M的對(duì)應(yīng)的SNR

實(shí)驗(yàn)(4)：實(shí)驗(yàn)參數(shù)取f0=1 MHz，fs= 2.048 MHz，fH= 0.5 kHz或0.8 kHz。當(dāng)已知fH和fs時(shí)，要達(dá)到某一信噪比所需的M值如表3所示。由表3可見(jiàn)，當(dāng)想要達(dá)到的SNR在fH和fs能達(dá)的最大SNR范圍內(nèi)時(shí)，M取一定值時(shí)就能達(dá)到要求的SNR。因此，可據(jù)此選擇適當(dāng)?shù)腗來(lái)降低Hilbert變換的計(jì)算復(fù)雜度。

表3 不同SNR要求下的M值

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了Hilbert變換在離散時(shí)間域?qū)崿F(xiàn)時(shí)需要注意的一些問(wèn)題，重點(diǎn)研究了對(duì)信號(hào)進(jìn)行離散Hilbert變換時(shí)其截?cái)嗪髴?yīng)保留的項(xiàng)數(shù)問(wèn)題。這些結(jié)論可為Hilbert變換的數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)提供依據(jù)，對(duì)工程實(shí)現(xiàn)也有一定參考價(jià)值。

[1] 趙淑清，鄭薇. 隨機(jī)信號(hào)分析[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1999

[2] 羅鵬飛，張文明. 隨機(jī)信號(hào)分析與處理(第二版)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2012

[3] 胡廣書(shū). 數(shù)字信號(hào)處理--理論、算法與實(shí)現(xiàn)(第二版)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2003

[4] A.V. Oppenheim著，劉樹(shù)棠譯. 信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社，1998

Analysis of Required Order for Discrete Hilbert Transform

CHEN Zhe1, WANG Rui1, LI Xiao-bing1, GUO Cheng-an1, MA Xiao-dong2

(1SchoolofInformationandCommunicationEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023,China) (2Fujitsucomponentstechnologydevelopmentco.,LTD,Dalian116023,China)

Some deviations exist between the continuous Hilbert transform and its discrete version, which makes students confused. This paper analysis the relation among signal maximum frequency, sample frequency, desired signal to noise ratio and the number of terms in discrete Hilbert transform theoretically. Besides, some properties of discrete Hilbert transform and the criterion for determining the number of terms are given. The numerical simulations indicate the correctness of relevant conclusions.

Hilbert transform; digital signal processing

2015-08-18;

2016-11-09

陳 喆(1975-)，男，副教授，主要從事信號(hào)處理方面的教學(xué)和科研工作，E-mail: zhechen@dlut.edu.cn

TN911.7

A

1008-0686(2016)03-0025-03