飄浮基兩桿柔性空間機(jī)械臂的振動分析與振動抑制

于瀟雁，陳　力

(1．福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350116；2．福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116)

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飄浮基兩桿柔性空間機(jī)械臂的振動分析與振動抑制

于瀟雁1,2，陳力1

(1．福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350116；2．福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116)

摘要:對載體位置無控、姿態(tài)受控的飄浮基兩桿柔性空間機(jī)械臂操作過程中的振動進(jìn)行了分析，并提出了對振動進(jìn)行有效抑制的方法。首先利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程。然后對該系統(tǒng)操作過程中的振動進(jìn)行了分析。接著利用奇異攝動法，將兩桿柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個關(guān)于載體姿態(tài)、桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)和一個描述柔性臂變形的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出了一個由慢變控制項和一個快變控制項組成的復(fù)合控制器，使得機(jī)械臂在操作過程中跟蹤上載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)期望軌跡的同時柔性臂的振動得到了有效的抑制。該控制方案的顯著優(yōu)點(diǎn)為不需要測量反饋載體的位置、移動速度、移動加速度。

關(guān)鍵詞:飄浮基柔性空間機(jī)械臂；載體姿態(tài)受控；奇異攝動法；振動分析；振動抑制

1引言

在未來的空間操作作業(yè)中，空間機(jī)器人將扮演著重要的角色，其應(yīng)用將減少宇航員艙外活動的危險和載人航天的費(fèi)用，因此各國研究人員對空間機(jī)器人進(jìn)行了廣泛的研究[1-5]。由于工作地點(diǎn)是太空這一特殊環(huán)境，空間機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械臂與載體之間存在著強(qiáng)烈的動力學(xué)耦合問題，其動力學(xué)和控制問題遠(yuǎn)比地面固定基機(jī)器人來得復(fù)雜。為了節(jié)省發(fā)射費(fèi)用，空間機(jī)械臂系統(tǒng)需越來越輕，從而導(dǎo)致機(jī)械臂的柔性越來越大。由于剛性運(yùn)動和柔性振動的相互作用，每一個關(guān)節(jié)的控制力矩不但要保證跟蹤上關(guān)節(jié)期望運(yùn)動軌跡，同時要控制相應(yīng)的柔性臂的振動，使得控制漂浮基柔性空間機(jī)器人要比相應(yīng)的剛性空間機(jī)器人復(fù)雜得多。

目前對空間機(jī)械臂的研究主要集中在剛性空間機(jī)械臂和剛?cè)峄旌系目臻g機(jī)械臂。Walker[6]和馬保離等[7]討論了載體位置無控、姿態(tài)受控空間機(jī)械臂的自適應(yīng)控制問題。Gu等[8]對載體位置和姿態(tài)均不受控制的情形，提出了自適應(yīng)控制的標(biāo)準(zhǔn)形式增廣法。陳力[9]則給出了帶滑移鉸空間機(jī)械臂慣性空間的復(fù)合自適應(yīng)控制方案。洪昭斌等[10]利用奇異攝動理論實現(xiàn)了剛?cè)峄旌系娘h浮基空間機(jī)械臂的模糊控制。

從節(jié)省控制燃料、增加空間機(jī)器人系統(tǒng)的有效使用壽命、減少發(fā)射費(fèi)用的角度考慮，使用載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機(jī)器人系統(tǒng)將非常必要。但為了保證通信設(shè)備、視覺設(shè)備和太陽能帆板正常工作，空間機(jī)器人系統(tǒng)的載體必須保持一定的姿態(tài)，因此空間機(jī)器人系統(tǒng)也常設(shè)計為載體位置不控、姿態(tài)受控的形式。本文對載體位置不控、姿態(tài)受控的飄浮基柔性空間機(jī)械臂操作過程中的振動進(jìn)行了分析，并提出了對振動進(jìn)行抑制的方法。首先利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程；然后對該系統(tǒng)操作過程中的振動進(jìn)行了分析；接著利用奇異攝動法，將柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個關(guān)于載體姿態(tài)和桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)和一個描述柔性臂振動快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出了一個由慢變控制項和快變控制項組成的復(fù)合控制器。其中，慢變控制項實現(xiàn)載體姿態(tài)、桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制。柔性臂快變控制項使柔性臂振動得到有效的抑制。

2機(jī)械臂動力學(xué)建模

圖1　飄浮基柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1　A planar flexible free-floating space manipulator

建立平動的慣性坐標(biāo)系(O-xy)，設(shè)各分體在(x,y)平面作平面運(yùn)動，θ0、θ1和θ2分別為系統(tǒng)載體姿態(tài)及機(jī)械臂關(guān)節(jié)鉸的相對轉(zhuǎn)角，載體和柔性臂B1、B2的質(zhì)心OCi(i=0,1,2)相對于慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑為ri。

由系統(tǒng)位置幾何關(guān)系及利用系統(tǒng)總質(zhì)心定義，載體質(zhì)心矢徑r0可表示為式(1)：

(1)

(2)

忽略太空中的微重力，整個系統(tǒng)的總勢能V為式(3)：

(3)

可以得到系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) L=T-V。根據(jù)第二類Lagrange方程，可以推導(dǎo)得到這個載體位置不控、姿態(tài)有控的柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程如式(4)：

(4)

3機(jī)械臂操作過程中的振動分析

(5)

由于Dff可逆，由(5)式第二式可得式(6)：

(6)

將(6)式代入(5)式第一式得到式(7)：

(7)

設(shè)計基于模型的控制律如式(8)：

(8)

仿真運(yùn)動初始值均取為：δ11(0)=δ12(0)=0 m，δ21(0)=δ22(0)=0 m，θ0(0)=0.1 rad，θ1(0)=0.05π-0.1 rad，θ2(0)=0.4π+0.2 rad，整個追蹤過程所用的時間t=10 s?？刂破鞯膮?shù)Kd=Kp=diag([40,40,40])。

仿真結(jié)果如圖2—圖7所示。圖2為機(jī)械臂載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤圖；圖3、圖4分別為柔性桿1一階、二階振動模態(tài)；圖5、圖6分別為柔性桿2一階、二階振動模態(tài)；圖7為系統(tǒng)的輸入力矩。

圖2　系統(tǒng)載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤圖Fig.2　Comparison between the actual angular trajectory and the desired one of the base attitude and the joints

圖3　桿1一階振動模態(tài)Fig.3　The first vibration mode of link 1

圖4　桿1二階振動模態(tài)Fig.4　The second vibration mode of link 1

圖5　桿2一階振動模態(tài)Fig.5　The first vibration mode of link 2

圖6　桿2二階振動模態(tài)Fig.6　The second vibration mode of link 2

圖7　輸入力矩Fig.7　The input torque

從仿真結(jié)果可以看出，在有著較大初始誤差的情況下，PID控制能夠使載體姿態(tài)、機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡快速而穩(wěn)定地追蹤上期望運(yùn)動軌跡。但是系統(tǒng)始終存在比較大的振動。為了消除柔性臂的振動，提高柔性空間機(jī)械臂的操作性能，有必要對柔性臂的振動進(jìn)行抑制。

4機(jī)械臂操作過程中的振動抑制

由于與載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)鉸的運(yùn)動相比，柔性桿的振動為高頻振動，所以載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制和柔性臂的振動抑制的時間尺度是可以通過奇異攝動理論[12]分開考慮的。

4.1動力學(xué)模型的奇異攝動分解

由于系統(tǒng)慣性矩陣D是對稱、正定的，因此其逆矩陣可定義為式(9)所示N：

(9)

式中：

則式(5)可以寫為式(10)：

(10)

(11)

為了得到漂浮基柔性空間機(jī)械臂的慢變子系統(tǒng)，設(shè)(11)式中的ε等于零，那么可得式(12)：

(12)

由(12)式第二式可得式(13)：

(13)

(14)

令ε=0并利用(12)式中的第二式，可得快變子系統(tǒng)近似表達(dá)式如式(15)：

(15)

(16)

4.2振動抑制的復(fù)合控制器設(shè)計

對于式(17)所示的慢變子系統(tǒng)，設(shè)計基于模型的控制律：

(17)

(18)

其中P為Ricatti方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=O的解。

仿真結(jié)果如圖8～13所示。圖8為機(jī)械臂載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)鉸的跟蹤位置誤差圖，圖9、圖10分別為柔性桿1一階、二階振動模態(tài)，圖11、圖12分別為柔性桿2一階、二階振動模態(tài)，圖13為系統(tǒng)的輸入力矩。

圖8　系統(tǒng)載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤圖Fig.8　Comparison between the actual angular trajectory and the desired one of the base attitude and the joints

圖9　桿1一階振動模態(tài)Fig.9　The first vibration mode of link 1

圖10　桿1二階振動模態(tài)Fig.10　The second vibration mode of link 1

圖11　桿2一階振動模態(tài)Fig.11　The first vibration mode of link 2

圖12　桿2二階振動模態(tài)Fig.12　The second vibration mode of link 2

圖13　輸入力矩Fig.13　The input torque

從仿真結(jié)果可以看出，在有著較大初始誤差的情況下，所設(shè)計的基于奇異攝動理論的復(fù)合控制器能夠快速跟蹤上載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)鉸期望軌跡，同時也使柔性臂的振動得到了有效的抑制。

5結(jié)論

1)本文利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，建立了一個具有兩個柔性臂的飄浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型。

2)在有較大初始誤差的情況下，對飄浮基柔性空間機(jī)械臂進(jìn)行PID控制，使載體姿態(tài)、機(jī)械臂桿件關(guān)節(jié)軌跡快速而穩(wěn)定地追蹤上機(jī)械臂期望的運(yùn)動軌跡。但是系統(tǒng)始終存在比較大的周期性振動。

3)利用奇異攝動法，將這個柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個慢變子系統(tǒng)和一個柔性臂快變子系統(tǒng)。對慢變子系統(tǒng)設(shè)計PID子控制器跟蹤載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)期望軌跡，對柔性臂快變子系統(tǒng)設(shè)計一個最優(yōu)線性子控制器來抑制柔性臂的振動。然后將慢變子控制器與柔性臂快變子控制器組合成一個復(fù)合控制器。在有著較大初始誤差的情況下，這個基于奇異攝動理論設(shè)計出的復(fù)合控制器能夠快速跟蹤上載體姿態(tài)、機(jī)械臂關(guān)節(jié)期望軌跡，同時也使柔性臂的振動得到了有效的抑制。這種方法可以推廣到具有任意個柔性桿的飄浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)中。

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Vibration Analysis and Suppression of Free-floating Space Manipulator with Two Flexible Links

YU Xiaoyan1,2, CHEN Li1

(1.School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fujian 350116, China;2. Fujian Provincial Collaborative Innovation Center for High-end Equipment Manufacturing,Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

Abstract:A free-floating flexible space manipulator with two flexible links was presented in this paper. The dynamical Lagrange equation was established and the flexible links’ vibration was analyzed. Then a singularly perturbed model was formulated and applied to the design of a reduced-order controller. This controller consists of a rigid control component and a fast control component. The rigid subsystem controller will track the desired trajectories of the base attitude and the joints. The flexible-link fast subsystem controller will damp out the vibration of the flexible links. Numerical simulations showed that the links’ vibration was stabilized effectively with good tracking performance.

Key words:free-floating flexible space manipulator; controlled base attitude; singular perturbation approach; vibration analysis; vibration suppression

收稿日期：2014-09-12；修回日期：2016-04-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11372073，11072061)；福建省自然科學(xué)基金(2016J01228)

作者簡介：于瀟雁(1974-)，女，博士，副教授，研究方向為機(jī)構(gòu)學(xué)、空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)與非線性控制。E-mail：cool09@163.com

中圖分類號：TP241

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1674-5825(2016)03-0354-07