中美兩本經(jīng)典微積分教材的比較分析與借鑒

王華昌　楊志鵬　范卓

摘 要 通過對(duì)中外兩本微積分教材的在章節(jié)設(shè)置、講解風(fēng)格、練習(xí)應(yīng)用實(shí)例，前言等方面的比較，分析兩本教材的各自特點(diǎn)，并提出教材要有針對(duì)性、轉(zhuǎn)變應(yīng)試教育觀念、實(shí)行分專業(yè)分層次教學(xué)等一些值得思考的觀點(diǎn)，為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供一些啟示。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 微積分讀本 比較分析 借鑒

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

微積分作為大學(xué)里的課程已經(jīng)有100 多年的歷史了，其教學(xué)方式一直沒有多大的變化，到20 世紀(jì)80 年代，中外有些數(shù)學(xué)家要求對(duì)微積分進(jìn)行改革的呼聲越來越高，在深刻反思了傳統(tǒng)微積分教學(xué)的弊端后，中、 美對(duì)微積分教學(xué)進(jìn)行了大規(guī)模的改革，產(chǎn)生了一批新型的微積分課程。其中具有代表性的就是一批優(yōu)秀教材的誕生，其中同濟(jì)大學(xué)編寫、高等教育出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》和Adrian Banner編著的《微積分讀本》分別是在此次背景下產(chǎn)生的國內(nèi)外最為經(jīng)典的教材之一。同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》1首版為1978 年，至今已經(jīng)歷6個(gè)版本，第六版是普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材。本書最初的目標(biāo)是作為高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程的試用教材或教學(xué)參考書。從第四版開始，目標(biāo)調(diào)整為符合大多數(shù)院系的需要，對(duì)一部分內(nèi)容進(jìn)行了增刪。第五版開始增加了應(yīng)用方面的內(nèi)容，在例題和習(xí)題中增加了經(jīng)濟(jì)管理、日常生活等內(nèi)容。第六版對(duì)教材的定位進(jìn)一步調(diào)整，以適應(yīng)各類高校工科類本科專業(yè)根據(jù)不同的教學(xué)要求實(shí)施分層次教學(xué)的需要。從歷史沿襲而言，本書是為高等院校工科類各專業(yè)修訂。本書作為理工類的經(jīng)典教材，還是有不少學(xué)校在借用其為經(jīng)管專業(yè)的教材或參考書。Adrian Banner 編著的《微積分讀本》2010年第一版發(fā)行。本書源于美國普林斯頓大學(xué)Adrian Banner的微積分復(fù)習(xí)課程。本書重點(diǎn)在于創(chuàng)建問題求解技巧，所涉及的例題由簡單到復(fù)雜并對(duì)微積分理論進(jìn)行了深入的探討，本書的特點(diǎn)：洋溢著非正式的娛樂性的但非強(qiáng)求的對(duì)話語境風(fēng)格；豐富的在線視頻；大量的精選例題提供了一步一步的推理過程等等。本書將易用性與可讀性以及內(nèi)容的深度與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)完美地結(jié)合在一起。

1兩本教材的比較分析

1.1前言的比較

同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》前言主要是介紹與前一版相比做了哪些修改，以及根據(jù)廣大同行和讀者在教學(xué)實(shí)踐中的意見和建議，進(jìn)行局部修訂，前言之前有個(gè)內(nèi)容提要，對(duì)本書的內(nèi)容和特點(diǎn)進(jìn)行簡單的介紹?！段⒎e分讀本》相比較而言，就很人性化，在前言部分介紹了讀者可能想知道的所有問題。如本書為什么這么長；閱讀本書前需要有哪些基礎(chǔ)知識(shí)；定理的證明在哪找；本書提到的有關(guān)資料在哪找等等。另外還介紹了如何使用本書備考，兩個(gè)通用的學(xué)習(xí)小貼士（具體的學(xué)習(xí)方法）。從讀者的角度來看，《微積分讀本》更貼近讀者，回答了讀者更加關(guān)心的問題。

1.2兩本教材的章節(jié)內(nèi)容設(shè)置的比較

從純數(shù)學(xué)理論的角度來看，兩本所涉及的知識(shí)點(diǎn)比較接近，基本內(nèi)容大體相同：一元函數(shù)的微積分；無窮級(jí)數(shù)；常微分方程。差別在于：Adrian Banner 編著的《微積分讀本》教材的沒有平面解析幾何知識(shí)，多元函數(shù)的微積分部分，專辟章節(jié)結(jié)合積分計(jì)算介紹了初等超越函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)）的概念，這可能與其中學(xué)數(shù)學(xué)的課程設(shè)置及銜接有關(guān)，用積分定義對(duì)數(shù)函數(shù)并用其反函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)也有特色；無窮級(jí)數(shù)部分，國外教材都沒有傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)容，可能在其他課程中介紹。從數(shù)學(xué)理論的深度來看，國內(nèi)外教材相差不大，部分內(nèi)容國外教材敘述稍深些。從相同知識(shí)點(diǎn)設(shè)置章節(jié)看《微積分讀本》明顯多于《高等數(shù)學(xué)》，講解更細(xì)起點(diǎn)更低。比如：定積分，《高等數(shù)學(xué)》列為一章共五節(jié)，分別為：定積分的概念與性質(zhì)；微積分基本公式；定積分的換元法和分部積分法；反常積分；反常積分的審斂法 函數(shù)。《微積分讀本》分為七章，三十五節(jié)（二級(jí)標(biāo)題），有的節(jié)又下分若干小節(jié)（三級(jí)標(biāo)題）。所以同樣的內(nèi)容，《高等數(shù)學(xué)》大概用了三百多頁，而《微積分讀本》用了六百多頁?！段⒎e分讀本》通過大量實(shí)例說明導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，給學(xué)生印象深刻，將極值問題與簡單的數(shù)學(xué)建模緊密結(jié)合引進(jìn)有實(shí)際背景的應(yīng)用問題 對(duì)提高學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力有幫助，本教材要多一些向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其物理意義的介紹，突出等量線面，梯度等概念和向量值函數(shù)的應(yīng)用， 突出對(duì)條件極值和拉格朗日乘子法的幾何解釋，應(yīng)用內(nèi)容和術(shù)語較現(xiàn)代，與實(shí)際背景的聯(lián)系比較緊密

1.3講解風(fēng)格的比較

《微積分讀本》2教材文字通俗易懂， 圖文并茂、 語言生動(dòng)幽默、形式活潑，洋溢著非正式的娛樂性但非強(qiáng)求的對(duì)話語境風(fēng)格；教材可讀性強(qiáng)，在教材內(nèi)容和教材呈現(xiàn)形式上很好地體現(xiàn)了為遷移而教的目標(biāo)，積極地確保學(xué)生能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。《高等數(shù)學(xué)》經(jīng)過幾次修訂對(duì)教材的深廣度進(jìn)行了適度的調(diào)整是學(xué)生都能達(dá)到合格的要求，并設(shè)置部分帶“*”號(hào)的內(nèi)容以適應(yīng)分層次教學(xué)的需要；吸收國內(nèi)外優(yōu)秀教材的優(yōu)點(diǎn)對(duì)習(xí)題的類型和數(shù)量進(jìn)行了調(diào)整和充實(shí)，以幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去解決實(shí)際問題的能力。但是中外微積分最主要的差別在于：是外文教材更重視數(shù)學(xué)思想的引入，而不拘泥于數(shù)學(xué)概念以及邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)，有時(shí)候書中出現(xiàn)的概念可能是不太嚴(yán)格的，但在數(shù)學(xué)上并沒有錯(cuò)誤。鼓勵(lì)學(xué)生直觀形象地思考問題，把加強(qiáng)解決問題的方法和技能的訓(xùn)練作為重點(diǎn)。由于直觀的、面向應(yīng)用的內(nèi)容更多，學(xué)生理解起來相對(duì)容易。值得一提的是，外文教材也并非不關(guān)注數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，它只是把一些更嚴(yán)格的論證或理論上有意義但是比較難懂的例子放在了探索性的習(xí)題中或者教材后的附錄里，方便感興趣的學(xué)生去閱讀。外文教材特別重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，注重實(shí)際問題的建模，總會(huì)有單獨(dú)的章節(jié)來介紹某個(gè)概念或者法則的運(yùn)用，并且涉及到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程技術(shù)等廣泛領(lǐng)域。國內(nèi)教材更注重知識(shí)的完整性，邏輯上嚴(yán)密。

1.4習(xí)題、應(yīng)用實(shí)例方面的比較

兩本教材在習(xí)題數(shù)量和類型上區(qū)別較大?！陡叩葦?shù)學(xué)》類型多，內(nèi)容豐富，覆蓋面廣，每章節(jié)后都有相應(yīng)類型的復(fù)習(xí)題，應(yīng)用實(shí)例主要是幾何、物理，復(fù)習(xí)題的總題量大概兩千道題左右；結(jié)合實(shí)際問題、數(shù)值計(jì)算、借助于計(jì)算機(jī)作圖及一些探索性習(xí)題幾乎沒有。大量精選例題（從簡單到復(fù)雜）提供了一步一步的推理過程，有常規(guī)計(jì)算、證明題和大量的應(yīng)用題及討論和探索題（討論和探索題目極具啟發(fā)性，為進(jìn)行創(chuàng)新教育提供了保障）；設(shè)計(jì)新穎、風(fēng)格各異的習(xí)題，可服務(wù)于特定的教學(xué)目的，滿足不同能力培養(yǎng)的需要。有很多習(xí)題來自生活和實(shí)際科技問題。

1.5數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)軟件結(jié)合方面的比較

《高等數(shù)學(xué)》現(xiàn)有教材在一些數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容介紹上，包括軟件介紹上看顯得比較薄弱點(diǎn)，與《微積分讀本》相比有一定的差距，國外教材中經(jīng)常穿插了大量的利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算作圖或其它的一些簡單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或建模的問題中間穿插了較多的圖片， 這些圖片或用數(shù)學(xué)軟件制作或來自于新聞圖片精美漂亮賞心悅目，這些有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美。

2對(duì)教學(xué)的啟示

（1）在教材的建設(shè)上，應(yīng)結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，有針對(duì)性。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)，應(yīng)注重應(yīng)用?，F(xiàn)在的情況是很多學(xué)生上完高等數(shù)學(xué)后很迷茫，不知道學(xué)高等數(shù)學(xué)有什么用，即使學(xué)了過一兩年，甚至半年忘記大部分內(nèi)容，很多內(nèi)容回憶不起來。根本原因是在教學(xué)中沒有滲透專業(yè)知識(shí)，學(xué)生感到枯燥，學(xué)習(xí)積極性不高。要改變這方面的不足，首先應(yīng)與專業(yè)課程教師組建聯(lián)合教研室，加強(qiáng)專業(yè)知識(shí)的滲透。任課教師結(jié)合專業(yè)知識(shí)，聯(lián)合高等數(shù)學(xué)原理進(jìn)行講解，有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析處理實(shí)際專業(yè)問題的能力和綜合素質(zhì)，滿足后繼專業(yè)課程對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求。其次，應(yīng)通過案例教學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將理論學(xué)習(xí)與知識(shí)應(yīng)用相結(jié)合，強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生既會(huì)動(dòng)腦更會(huì)動(dòng)手的能力。在教材中適當(dāng)增加一些來源于多個(gè)領(lǐng)域的各種簡單而有趣的數(shù)學(xué)建模材料，更加突出應(yīng)用的同時(shí)增加教材的趣味性

（2）轉(zhuǎn)變應(yīng)試教育觀念，推進(jìn)評(píng)價(jià)學(xué)生考核方式的轉(zhuǎn)變。學(xué)生由小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)一路考過來，已經(jīng)習(xí)慣于老師把題型和做法總結(jié)起來，然后“填鴨式”地填給他們，已經(jīng)習(xí)慣于中學(xué)的應(yīng)試教育了。他們更看重于 “老師的所講內(nèi)容，期末考試考不考”，更關(guān)心“我的考試及不及格”；另一方面，高校教師受一些學(xué)校教學(xué)制度約束，不得不把“重概念，重思想，重應(yīng)用”的教學(xué)轉(zhuǎn)化為“應(yīng)試教育”。如，在有些高校實(shí)行“考教分離”的同時(shí)實(shí)行“學(xué)生選老師”、“學(xué)生評(píng)價(jià)老師”制度。在課時(shí)有限的情況下，如果側(cè)重于講概念和應(yīng)用，勢必減少對(duì)題型和方法的總結(jié)和講解。而目前大多數(shù)學(xué)校的期末考試還是側(cè)重于一些解題技巧的考查，這樣就會(huì)使學(xué)生考試成績不理想。在這種情況下，勢必會(huì)促使教師，尤其是青年教師，盡可能多地在課堂上講一些題型和解法，使得學(xué)生更有機(jī)會(huì)獲得高分。因此，教學(xué)內(nèi)容改革需要與學(xué)校教學(xué)制度改革相協(xié)調(diào)，尤其是考試制度、教師講授水平評(píng)價(jià)制度等。

（3）實(shí)行分層次、分專業(yè)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)內(nèi)容不分專業(yè)、不分層次，實(shí)行一刀切。各個(gè)高校的人才培養(yǎng)目標(biāo)不同，不同專業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容的要求也不同，所以，分層次、分專業(yè)教學(xué)非常必要。對(duì)純數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，需要注意教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)密性、系統(tǒng)性，并希望學(xué)生在此基礎(chǔ)上繼續(xù)深入研究下去。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，必須以數(shù)學(xué)的應(yīng)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)為主要教學(xué)內(nèi)容，在嚴(yán)密性和清晰性相抵觸時(shí)應(yīng)該選擇清晰性，更重要的是要讓學(xué)生理解嚴(yán)格的證明和不嚴(yán)密的、但是直觀易于理解的推導(dǎo)之間的不同，使其明白什么情況下敘述推導(dǎo)是不正規(guī)的及其原因。對(duì)偏向文科的學(xué)生，不需要把定理證明全講，可以將形象化的內(nèi)容加入，注意植入一些專業(yè)知識(shí)，既保證課程的趣味性，又保證課程的實(shí)用性，使學(xué)生更容易理解一些抽象的東西，可以達(dá)到相對(duì)好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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[2] [美]Adrian Banner.微積分讀本[M].北京：人民郵電出版社，2010.