平面上的向量與點(diǎn)不加區(qū)別的代數(shù)解釋

方又超

【摘要】xOy平面上的既有方向又有大小的向量和該平面上的點(diǎn)是兩個(gè)不同的幾何對(duì)象，在初等數(shù)學(xué)中它們不加區(qū)別，甚至在大學(xué)的解析幾何中對(duì)它們也不加區(qū)別.用歐氏空間的同構(gòu)理論可解釋xOy平面上的向量和該平面上的點(diǎn)不加區(qū)別的數(shù)學(xué)處理方法是合理的.

【關(guān)鍵詞】xOy平面；向量；點(diǎn)；歐氏空間的同構(gòu)

一、引 言

首先指出文中的平面是建立了笛卡爾直角坐標(biāo)系的xOy平面.在初等數(shù)學(xué)中處理xOy平面上的既有方向又有大小的向量時(shí)，建立了平面上的向量與平面上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用了一個(gè)描述性的結(jié)論：“平面上的既有方向又有大小的向量與平面上的點(diǎn)不加區(qū)別.”按照這一結(jié)論，如圖所示，

五、結(jié) 論

同構(gòu)的歐氏空間本質(zhì)上是一樣的，它們具有相同的結(jié)構(gòu).去掉元素的形式外衣，只著眼于運(yùn)算方式，V2與R2的運(yùn)算方式相同，且?guī)缀味攘糠绞揭粯?；在V2中由向量的運(yùn)算及由幾何度量決定的結(jié)論如果成立，相應(yīng)的結(jié)論在R2中也一定成立，反之亦然.因而我們可以把V2中由向量的運(yùn)算及由幾何度量決定的性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化到R2中探討，把V2中的向量α=aε1+bε2簡(jiǎn)記為α=（a，b），這不會(huì)引起任何邏輯上的矛盾，是合理的.同理可得歐氏空間V3與歐氏空間R3同構(gòu)，V3中的向量與V3中的點(diǎn)